Лекция 6. Кручение

Кручением называют такой вид нагружения, когда в поперечных сечениях бруса возникает только один силовой фактор – крутящий момент. Брус, работающей на кручение называется валом. При кручении вала его поперечные сечения поворачиваются друг относительно друга, вращаясь вокруг оси бруса.

Напряжения и деформации при кручении бруса. Под действием внешнего скручивающего момента, приложенного на правом конце бруса, левый конец которого жестко закреплен, брус будет закручиваться. Выделим из бруса элементарный цилиндр длиной (рис. 19). Будем считать, что левое сечение бруса жестко закреплено. Под действием крутящего момента правое сечение повернется на некоторый угол .

Рис.19

 

Из рис. 19 видно, что , откуда получаем

 

.

 

Из данной зависимости видно, что угол сдвига изменяется по радиусу вала по линейному закону.

Деформация бруса при кручении характеризуется относительным углом закручивания

 

 

Согласно закону Гука при сдвиге, имеем . Откуда получаем:

 

.

 

Из данной зависимости видно, что касательные напряжения изменяются по радиусу по линейному закону.

Рис. 20

При кручении все внутренние силы, распределенные по поперечному сечению, приводятся к одной составляющей - к крутящему моменту. Касательные напряжения перпендикулярны радиусам, проведенные через точки их действия (рис. 20). Крутящий момент в сечении бруса определяется по уравнению

 

,

 

где плечо элементарной силы.

Подставляя значение касательного ускорения, получим

.

 

Элементарный угол закручивания

 

, а полный угол закручивания бруса .

 

Максимальное касательное напряжение в поперечном сечении бруса будет определяться по зависимости:

 

 

Таким образом, максимальное касательное напряжение в поперечном сечении бруса равно частному от деления крутящего момента на полярный момент сопротивления.

Расчеты на прочность и жесткость при кручении. Условие прочности при кручении имеет вид

 

 

Условие жесткости при кручении

 

.

 

Для бруса круглого сечения эти условия имеют вид

 

.

 

Построение эпюр крутящих моментов. Крутящий момент в сечении бруса определяется методом сечений. По модулю он численно сечения равен алгебраической сумме внешних моментов слева или справа от сечения.

Брус разбивается на участке и на каждом участке проводится сечение (рис. 21).

Рис. 21

В каждом сечении определяется крутящий момент, а затем строится эпюра крутящих моментов. Для случая, изображенного на рис. 20, крутящие моменты в сечениях 1 и 2 будут равны

 

.