МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

 

Рис. 6.1

Всякое тело, подвешенное в точке, лежащей выше его центра тяжести, может колебаться и представляет собой физический маятник (рис. 6.1).

Если мятник отклонить от положения равновесия на угол j, то сила тяжести создает относительно оси вращения (проходит через т. О₁ перпендикулярно к плоскости рисунка) вращающий момент

, (6.1)

где l₁ – расстояние от оси вращения до центра тяжести С, m – масса маятника, а угол j отсчитывается от вертикальной линии против часовой стрелки. Момент силы М стремится вернуть маятник в положение равновесия.

При малых углах отклонения колебания маятника будут близки к гармоническим. Действительно, при малых углах sin j» j и формула (6.1) принимает вид

. (6.2)

По основному закону динамики вращательного движения

, (6.3)

где J – момент инерции маятника относительно оси О₁; –угловое ускорение.

Подставляем M и ε в формулу (6.3):

. (6.4)

Обозначая , перепишем равенство (6.4) в виде

. (6.5)

Уравнение (6.5) – дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Решением этого уравнения является функция

, (6.6)

где j₀ – максимальный угол отклонения маятника от положения равновесия, а круговая (или циклическая) частота.

Для периода колебаний получаем

. (6.7)

Величину называют приведенной длиной физического маятника. Подставив это в выражение (6.7), найдем, что приведенная длина физического маятника равна длине математического маятника с таким же периодом колебаний.

Точка, находящаяся на расстоянии l_пр от точки подвеса по линии, проходящей через центр тяжести, называется центром качания.

Точка подвеса и центр качания обладают свойством обратимости: если центр качания сделать точкой подвеса, то прежняя точка подвеса станет новым центром качания, при этом период колебаний не изменится.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно оси z равен моменту инерции этого тела относительно оси z’, проходящей через его центр инерции параллельно оси z, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями z и z’, т.е.

, (6.8)

где J – момент инерции относительно оси z; J₀ – момент инерции относительно оси z’; m – масса тела; l – расстояние между осями z и z’.

Рассмотрим вращение физического маятника вокруг точки О₁ (см. рис. 6.1).

Проведем линию О₁С и на ее продолжении возьмем точку О₂, такую, что О₁О₂ = l_пр1. Обозначим О₂С = l₂, так что . Тогда

.

Таким образом, .

Теперь перевернем маятник и рассмотрим его вращение вокруг оси, проходящей через точку О₂, при этом

,

откуда следует, что l_пр1 =l_пр2.