Определение геометрических характеристик сечений

Расчет геометрических характеристик сечения проводят в следующем порядке:

 

1.
Заданное сечение вычерчивается в определенном масштабе и разбивается на элементы, элементы нумеруются, номера элементов указываются на чертеже.

2.
Задаются начальными осями р, q. Начальные оси могут задаваться произвольно. Однако, для упрощения вычислений удобно, если начальные оси проходят через центр тяжести одного или нескольких элементов сечения, на которые разбито заданное сечение. Все начальные размеры, необходимые для вычисления геометрических характеристик элементов и определения координат центров тяжестей элементов указываются на чертеже. Для прокатных профилей на чертеже сечения указываются необходимые для расчета размеры, взятые из таблиц проката.

3.
Определяют координаты центров тяжести элементов сечения относительно начальных осей и и геометрические характеристики сечений относительно собственных осей элементов А_i, , , . Собственные оси элементов – оси, параллельные начальным осям р, q, проходящие через центры тяжестей элементов сечения.

Замечание. Необходимо проявлять внимательность при определении координат центров тяжестей элементов сечения и их геометрических характеристик, так как ошибки, допущенные на этом этапе не имеют алгоритма проверки и приводят к ошибочным результатам при дальнейших вычислениях.

 

4.
Определяют координаты центра тяжести всего сечения по формулам:

; . (2.3)

Центральные оси х, у (оси проходящие через центр тяжести всего сечения), параллельные начальным осям показываются на чертеже.

5. Определяют координаты центров тяжести элементов сечения относительно центральных осей сечения:

; . (2.4)

 

Замечание. Геометрические характеристики сечений, координаты центров тяжести сечений относительно начальных и центральных осей целесообразно оформить в виде таблицы (см. пример расчета),

6. Проводится контроль правильности определения координат центров тяжести сечения и его элементов. Для этого вычисляется статический момент сечения относительно центральных осей, которые при правильном расчете должны равняться нулю:

; . (2.5)

Замечание. Все расчеты проводятся с ограниченной точностью. Инженерные расчеты, обычно, проводят с учетом 3 – 4 значащих цифр. Оставлять большее число значащих цифр нецелесообразно, так как исходные данные (исходные размеры и значения геометрических характеристик) не обеспечивают большую точность и поэтому результаты с большим числом значащих цифр нельзя считать более достоверными. Точность результата оценивают, обычно, относя невязку (разность между приближенным и точным значением) к точному или приближенному значению. Однако, если результатом вычислений должен быть ноль, такой подход невозможен. В этом случае отдельно подсчитывают положительные и отрицательные слагаемые и абсолютное значение невязки и относят невязку к сумме положительных (или отрицательных) слагаемых:

. (2.6)

Погрешность инженерных расчетов обычно не должна превышать 3%.

7. Определяют геометрические характеристики сечения – осевые, полярный и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей

;

; ;

. (2.7)

Заметим, что площадь, осевые и полярный моменты инерции являются строго положительными характеристиками сечений. Однако, для сечений с отверстиями бывает удобным считать отверстия элементами сечений с отрицательными характеристиками.

П ример. Определить координаты центра тяжести и осевые моменты инерции сечения в виде круга радиусом r =3а с круговым отверстием радиуса r₀ = a, касающимся центра круга (рис. 2.2).

Принимаем за 1-й элемент сплошной круг радиусом r =3а, за второй элемент отверстие радиуса r₀ = a. Начальные оси проводим через центр тяжести 1-го элемента.

Тогда имеем:

; ;

; ; .

Так как ось р является осью симметрии сечения, так же как и осями симметрии элементов сечения, то эта ось является центральной осью у и . Следовательно, для определения положения центра тяжести сечения требуется определить только координату р_с

.

Координаты центров тяжести элементов относительно центральных осей:

; ; ; .

Осевые моменты инерции круга относительно собственных центральных осей определяются по формуле

. .

Следовательно, имеем:

; .

Определяем осевые моменты инерции сечения

;

.

Так как сечение имеет ось симметрии, то центробежный момент инерции сечения равен нулю и оси у, z являются главными.

8. Определяем положение главных осей сечения

Главными осями сечения являются центральные оси, относительно которых осевые моменты инерции достигают максимального и минимального значений и называются главными моментами инерции сечения. Центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю. Положение главных осей определяется поворотом центральных осей на угол a ₀, определяемый по формуле

. (2.8)

При этом берется главное значение арктангенса, т.е.

°-90 < a2₀ < °; -45°90 < a₀ <.°45

Главные оси показываются на схеме (чертеже) сечения.

9. Вычисление главных моментов инерции.

Осевые моменты инерции при повороте осей на угол a вычисляются по формулам:

;

;

. (2.9)

Значения главных моментов инерции получаем при подстановке в формулы осевых моментов (2.9) угла a ₀, определенного по формуле (2.8). Подстановка значение угла a ₀ в формулу (2.9) для центробежного момента инерции должна дать нулевое значение, что позволяет провести проверку правильности определения угла поворота главных осей.

Определяя значения главных моментов инерции по формулам (2.9) мы одновременно определяем относительно какой оси осевой момент инерции будет иметь максимальное и относительно какой минимальное значение.

Значения главных моментов инерции может быть определено без использования значения угла a ₀. В этом случае используются формулы:

. (2.10)

Формула (2.10) не дает ответа относительно какой из двух взаимно перпендикулярных осей главный момент инерции будет иметь максимальное, а относительно какой минимальное значение. Однако можно показать, что из двух главных осей, ось, относительно которой главное значение будет максимальным, будет ближе к центральной оси (у или z) с наибольшим значение осевого момента (J_y или J_z соответственно).

Так как при повороте осей полярный момент не изменяется то правильность их определения проверяется по формуле

. (2.11)

Отметим, что знание значений главных моментов инерции и положение главных осей поперечных сечений стержня необходимо при проведении расчетов напряженно деформированного состояния стержней на изгиб, кручение и различные виды сложных видов сопротивления стержней.

 

17. Напряжения в наклонных сечениях при плоском
напряженном состоянии
Напряженное состояние называется плоским, если одно из главных напряжений равно нулю.

Определим нормальные и касательные напряжения в наклонном сечении (см. рис. 1.9).

Их можно представить как сумму нормальных и касательных напряжений, возникающих отдельно от и .
,
где и — нормальные напряжения в наклонной площадке, возникающие соответственно от и .

Рисунок 1.9
Значение можно определить по формуле (1.1), так как угол между напряжением и нормалью n-n составляет , а — по формуле (1.3), так как угол , но в формулу вместо нужно подставить :

(1.5)

Аналогично для касательных напряжений:

Значение находится по формуле (1.2), — по формуле (1.4)
с заменой и .

;
(1.6)
Из формулы (1.5) следует, что наибольшие касательные напряжения будут при ; ; .
(1.7)
Наибольшие касательные напряжения возникают в площадках под углом и равны половине разницы главных напряжений.

Преобразуем формулу (1.5). Учитывая, что , а , получим

(1.8)
Формулы (1.6) и (1.8) удобно исследовать с помощью круга Мора. Для этого преобразуем эти формулы, возведем в квадрат и сложим
;
.
Получим следующее уравнение

Это уравнение изображается окружностью, центр которой имеет координаты

и ,
а радиус

.
По этим данным строится окружность (на рис.1.10 для определенности принято, что ). Очевидно,
ОА = ; ОВ = ;
ОС = ;
ВС = СА = .
Чтобы найти по чертежу величины и для наклонной площадки, заданной углом , достаточно через точку В, соответствующую главному напряжению , провести прямую BD под углом к оси . В пересечении с окружностью получится точка D, координаты которой изображаются отрезками ОЕ и ЕD. По чертежу легко находим, что
ОЕ = ОС + СЕ = + ;
ЕD = .
Отрезок ОD изображает полное косое напряжение .

Меняя угол и наблюдая за перемещением точки D поокружности, можно отметить следующие характерные особенности данного напряженного состояния. Подчеркнем, что рассматриваются только такие наклонные площадки, которые перпендикулярны к третьей главной площадке.

1. Главное напряжение является наибольшим возможным для данной задачи; оно соответствует площадкам, характеризуемым углом , т. е. параллельным 1-й главной площадке.

2. Главное напряжение является наименьшим возможным для данного семейства площадок: оно соответствует площадкам, параллельным 2-й главной площадке.

3. Наибольшее по абсолютной величине касательное напряжение численно равно полуразности главных напряжений и :
.
Эти напряжения изображаются точками Т и Т ₁ круговой диаграммы. Соответствующие площадки составляют углы с 1-й и 2-й главными площадками.

4. Напряжения на взаимно перпендикулярных площадках изображаются двумя точками D и D ₁ диаграммы, расположенными по концам одного диаметра. Отсюда следует, что
.
Формула выражает приведенный выше закон взаимности (парности) касательных напряжений.

Рисунок 1.10 Рисунок 1.11

 

Необходимо обратить внимание на тот факт, что слова «наибольшее» и «наименьшее» в пп. 1 и 2 данных выводов следует понимать
в алгебраическом, а не в арифметическом смысле.

Здесь разобран случай двустороннего растяжения, когда . Нетрудно убедиться, что в случае двустороннего сжатия (рис. 1.11 б) или в случае смешанного двухосного напряженного состояния (рис.1.11 а) аналитический вид формул остается без изменения.

 

18. Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается момент, лежащий в плоскости проходящей через продольную ось. В поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. При изгибе возникают деформация, при которой происходит искривление оси прямого бруса или изменение кривизны кривого бруса.

Брус, работающий при изгибе, называется балкой. Конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, соединенных между собой чаще всего под углом 90°, называется рамой.

Изгиб называется плоским или прямым, если плоскость действия нагрузки проходит через главную центральную ось инерции сечения (рис.6.1).