Изгибающий момент и поперечная сила

 

Плоским изгибом называется такой вид деформации стержня, при котором все внешние нагрузки, включая опорные реакции, лежат в одной из главных плоскостей стержня (yOz или xOz на рис. 6.1) и вызывают искривление оси стержня в этой плоскости. Изгибаемый стержень называется балкой.

В поперечном сечении балки могут возникать два внутренних усилия – изгибающий момент (или ) и поперечная сила (или ). Если поперечная сила отсутствует, то изгиб называется чистым, а при наличии поперечной силы изгиб называется поперечным. В дальнейшем будем рассматривать балки с поперечными сечениями, симметричными относительно оси y, и нагруженными силами в плоскости yOz.

При изгибе продольная ось балки искривляется, поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются, продольные волокна либо растягиваются, либо сжимаются (рис. 6.2).

 

Рис. 6.1. Изгиб стержня в плоскости yOz	Рис. 6.2. Деформированное положение балки

 

Для внутренних усилий приняты следующие правила знаков.

Изгибающий момент считается положительным, если растянуты нижние и сжаты верхние волокна. Поперечная сила считается положительной, если стремится повернуть выделенную часть балки по ходу часовой стрелки (рис. 6.3). Между изгибающим моментом , поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки существуют дифференциальные зависимости   ; ; .

График, показывающий изменение изгибающего момента вдоль оси балки, называется эпюрой изгибающих моментов (Эп. М_х). График, показывающий изменение поперечной силы вдоль оси балки, называется эпюрой поперечных сил (Эп. Q_y). Для построения эпюр находят опорные реакции балки, потом балку разделяют на участки, на каждом из которых получают методом сечений уравнения и , а затем строят графики полученных функций. Ординаты эпюры откладывают со стороны растянутых волокон балки (положительные – вниз от оси, отрицательные – вверх от оси). Положительные ординаты эпюры откладывают вверх от оси, отрицательные – вниз от оси графика.

 

19 Дифференциальные зависимости при изгибе:

; ; ; .

Определение перемещений способом фиктивной нагрузки. Сопоставляя уравнения:

и имеем аналогию, Þ определение прогибов можно свести к определению моментов от некоторой фиктивной (условной) нагрузки в фиктивной балке: . Момент от фиктивной нагрузки М_ф после деления на EJ равен прогибу " y" в заданной балке от заданной нагрузки. Учитывая, что и , получаем, что угол поворота в заданной балке численно равен фиктивной поперечной силе в фиктивной балке. , . При этом должна быть полная аналогия в граничных условиях двух балок. Каждой заданной балке соответствует своя фиктивная балка.

 

Закрепление фиктивных балок выбирается из того условия, чтобы на концах балки и на опорах имелось полное соответствие между " y" и " q" в заданной балке и М_ф и Q_ф в фиктивной балке. Если эпюры моментов как в действительной, так и в фиктивной балках строить со стороны растянутого волокна (т.е. положительный момент откладывать вниз), то линии прогибов в заданной балке совпадает с эпюрой моментов в фиктивной балке.

Статически неопределимые балки.

Статически неопределимыми называются системы, реакции в которых не могут быть определены из уравнений равновесия твердого тела. В таких системах больше связей, чем это необходимо для равновесия. Степень статической неопределимости балки (не имеющей промежуточных шарниров – неразрезные балки) равна избыточному (лишнему) числу внешних связей (более трех).

Раскрытие статической неопределимости с помощью дифф-ного урав-ния изогнутой оси балки. Записываем дифф-ное урав-ние куда входит в качестве неизвестной реакция R_B и дважды его интегрируем: EJ = R_В× x – ; EJ = R_В× – + С;

EJy = R_В× – + С× х + D. Используем условия закрепления балки: х=0, y=0, =0; x=L, y=0. Подставляем их в два последних уравнения, находи постоянные интегрирования С и D и неизвестную реакцию R_B. Далее из урав-ний статики: H_A=0; R_A – q× L + R_B=0; R_B× L – + M_A=0; находятся R_A и M_A.