МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

Цель работы: познакомиться с закономерностями плоского движения тел, определить момент инерции диска маятника Максвелла.

Оборудование: маятник Максвелла, секундомер.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

 

Плоским движением твердого тела называется такое движение, при котором траектории всех точек тела лежат в параллельных плоскостях.

Получим уравнение кинетической энергии плоского движения. Небольшая частица тела, как и положено материальной точке, движется поступательно и обладает кинетической энергией . Представим скорость частицы как сумму скорости центра масс V ₀ и скорости движения U_i относительно оси О, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения (рис. 1). Суммарная кинетическая энергия всех частиц будет равна .

Потребуем, чтобы средний член, то есть сумма импульсов частиц относительно оси О, был бы равен нулю. Так будет, если относительное движение будет вращательным, , с угловой скоростью ω. (Если подставить относительную скорость в средний член, то получим формулу для расчета центра масс тела ).

В итоге кинетическая энергия плоского движения может быть представлена как сумма энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс

 

. (1)

 

Здесь m – масса тела, – момент инерции тела относительно оси О, проходящей через центр масс.

Рассмотрим другой способ представления плоского движения, как только вращение вокруг так называемой мгновенной оси. Сложим эпюры скоростей в поступательном и вращательном движении для точек тела, лежащих на перпендикуляре к вектору V ₀, (рис. 2).

Есть в пространстве такая точка С, результирующая скорость которой равна нулю. Через неё проходит так называемая мгновенная ось вращения, относительно которой тело совершает только вращательное движение. Расстояние между центром масс и мгновенной осью можно определить из соотношения между угловой и линейной скоростью центра масс .

Уравнение кинетической энергии вращательного движения относительно мгновенной оси имеет вид

 

. (2)

 

Здесь J_с – момент инерции тела относительно мгновенной оси. Сопоставив уравнения (1) и (2), при , получим

 

. (3)

 

Это выражение называется теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно данной оси С равен сумме момента инерции относительно оси О, проходящей через центр масс и параллельной данной и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями.

Рассмотрим закономерности плоского движения на примере маятника Максвелла (рис. 3). Маятник представляет собой диск, может быть с надетым кольцом, на оси которого закреплен круглый стержень небольшого радиуса r. На концах стержня намотаны две нити, на которых маятник подвешен. Если маятник отпустить, то он падает, одновременно вращаясь. Траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях, поэтому это плоское движение. Центр масс расположен на оси симметрии, а мгновенная ось вращения совпадает с образующей стержня и проходит через точки касания нитей на расстоянии r от центра масс. В нижней точке движения маятник, продолжая по инерции вращаться, наматывает нити на стержень и начинает подниматься. В идеальном случае, при отсутствии сопротивления, он поднялся бы до исходного положения.

Система тел маятник – Земля является замкнутой, а внутренние силы тяжести и натяжения нитей консервативные. Если в первом приближении можно пренебречь действием сил сопротивления, то можно применить закон сохранения энергии: потенциальная энергия маятника в верхнем исходном положении превращается в нижней точке в кинетическую энергию плоского движения (1):

 

. (4)

Подставим в это уравнение угловую скорость вращения , и скорость поступательного движения по формуле кинематики равноускоренного движения . После преобразований получим расчетную формулу для момента инерции относительно оси симметрии

. (5)

Время падения измеряется секундомером. При нажатии на кнопку «Пуск» отключается электромагнит, удерживающий маятник и начинается счет времени. При пересечении маятником луча фотоэлемента счет прекращается. Высота падения измеряется по шкале на стойке по положению луча фотоэлемента (рис. 3)

Момент инерции относительно оси симметрии для маятника можно рассчитать теоретически как сумму моментов инерции стержня, диска и кольца:

. (6)

 

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

 

1. Установить фотоэлемент в нижнем положении так, чтобы маятник при опускании перекрывал луч фотоэлемента. Длина нитей подвеса регулируется винтом с контргайкой на кронштейне стойки. Измерить высоту падения как координату луча по шкале на стойке.

Включить установку в сеть 220 В, нажать кнопку «Сеть».

2. Вращая стержень, намотать нить на стержень, подняв диск до электромагнита. Произойдет примагничивание диска. Нажать кнопку «Пуск». Магнит отпустит маятник, и он начнет опускаться, начнется счет времени секундомером. Записать в табл. 1 высоту падения и время падения.

Таблица 1

Высота Н, см
Время t, с
Момент инерции J, кг∙ м2

 

 

3. Изменить высоту падения, регулируя длину нитей и поднимая фотоэлемент. Нажать кнопку «Сброс» для обнуления индикаторов и включения магнита. Поднять диск к электромагниту, нажать кнопку «Пуск». Опыт повторить не менее пяти раз, в интервале от предельной, до трети предельной высоты. Записать в табл. 1 высоты и время падения диска.

Выключить установку.

4. Измерить и записать в табл. 2 размеры и массы частей маятника. Таблица 2

Радиус стержня r, мм
Радиус диска Rдиск, мм
Радиус кольца Rkольц, мм
Масса стержня mст, г
Масса диска mдиск, г
Масса кольца mкольц, г
Масса маятника m, г

5. Произвести расчеты в системе СИ. Определить по формуле (5) момент инерции в каждом опыте. Определить его среднее значение < J >.

6. Оценить случайную погрешность измерения по формуле

 

. (7)

 

7. Записать результат работы , Р =0, 90.

8. Рассчитать по формуле (6) теоретическое значение момента инерции маятника по параметрам маятника. Сравнить с экспериментальным значением. Сделать выводы.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Дайте определение плоского движения. Каким образом можно представить плоское движение?

2. Дайте определение мгновенной оси вращения и способ ее нахождения.

3. Выведите расчетную формулу кинетической энергии плоского движения.

4. Выведите и сформулируйте теорему Штейнера.

5. Запишите закон сохранения энергии для падения маятника Максвелла с некоторой высоты. Объясните правомерность применения закона.

6. Выведите формулу для теоретического расчета момента инерции маятника Максвелла по известным размерам и массам частей маятника.

Работа 10