ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

 

Цель работы: изучить зависимость амплитуды колебаний упругой пластинки от частоты внешней силы, определить коэффициент затухания и добротность.

Оборудование: упругая пластинка, электромагниты, звуковой генератор, осциллограф.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

 

Если маятник отвести от положения устойчивого равновесия и отпустить, то он начнет совершать собственные затухающие колебания под действием упругой силы и силы сопротивления. Будем считать, что упругая сила пропорциональна смещению F_упр = − kx, а сила сопротивления пропорциональна скорости движения . Здесь и r – коэффициенты упругости и сопротивления. Если кроме этого приложить к маятнику еще внешнюю периодическую силу , то он будет совершать вынужденные колебания.

Получим формулу для амплитуды вынужденных колебаний маятника, решив уравнение второго закона Ньютона

 

. (1)

 

Разделив на массу, приведем уравнение к канонической форме

 

, (2)

 

Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. В нем введены обозначения: – коэффициент затухания, – циклическая частота собственных свободных колебаний.

Как показывает опыт, если на маятник начать действовать периодической силой, то вынужденные колебания устанавливаются не сразу. В течение некоторого времени на вынужденные колебания накладываются собственные колебания. Но так как собственные колебания являются затухающими, то со временем они исчезают и маятник совершает только вынужденные колебания. Их частота равна частоте внешней периодической силы. Поэтому частное решение уравнения (2) будем искать для установившихся вынужденных колебаний в виде

, (3)

 

где – амплитуда колебаний, то есть наибольшее смещение маятника от положения равновесия. Чтобы убедиться, что функция (3) является решением, следует подставить ее и первую, вторую производные в уравнение (2):

. (4)

 

Это уравнение содержит две неизвестные величины: амплитуду колебаний А и сдвиг фаз между силой и смещением . Для их определения воспользуемся заменой тригонометрического уравнения его геометрическим представлением в виде векторной диаграммы (рис. 1).

Для этого из полюса О следует провести векторы, длины которых равны амплитудам, а угол относительно полярной оси равен начальным фазам. Теперь, если вращать векторы вокруг полюса О против часовой стрелки с угловой скоростью, равной частоте ω, то их проекции будут равны членами уравнения (4).

На векторной диаграмме сумма векторов амплитуд левой части уравнения должна быть равна вектору амплитуды правой части уравнения (4). Запишем теорему Пифагора для заштрихованного треугольника

. (5)

 

Отсюда получим уравнение для амплитуды вынужденных колебаний

 

. (6)

 

С ростом частоты амплитуда сначала возрастает от величины статического смещения , достигает наибольшего значения и затем снова уменьшается (рис. 2). Сильное увеличение амплитуды вынужденных колебаний при некоторой частоте называется резонансом. Чтобы получить условие резонанса, следует, как при поиске максимума функции, приравнять производную от подкоренного выражения (6) к нулю. Откуда получим . Как видно, резонанс наступает при частоте вынуждающей силы, близкой к частоте свободных колебаний. Подставив частоту резонансав формулу (6), получим для амплитуды резонанса

 

. (7)

 

Резонанс обусловлен тем, что направление скорости тела и направление силы совпадают в течение всего периода колебания. Поэтому отбор мощности от источника (N=F∙ V)оказывается наибольший. Чем меньше сопротивление среды (β → 0), тем выше амплитуда при резонансе.

По резонансной кривой можно определить коэффициент затухания. Проведем на уровне горизонтальную линию (рис. 2). Абсциссы точек пересечения определим, подставив в левую часть уравнения (6) амплитуду при резонансе (7), деленную на . Решив квадратное уравнение относительно корней ω ₁ и ω ₂, получим, что полуширина резонансной кривой Δ ω = ω ₁- ω ₂ равна коэффициенту затухания: .

Установка для изучения вынужденных колебаний представляет собой упругую пластинку с приклеенными постоянными магнитами. Вынужденные колебания создаются действием на магнит переменного магнитного поля катушки, которая подключена к звуковому генератору. Амплитуду колебаний измеряют по шкале экрана осциллографа, на вход которого подключена приемная катушка.

В пластинке, в отличие от маятника, масса распределена по всей длине. Поэтому, если колебания возникнут у основания, то по пластинке будет распространяться упругая волна. Достигнув свободного конца, она отразится и сложится с бегущей волной. Резонанс наступит, если в пластинке вследствие интерференции волн возникнет стоячая волна. При этом в месте закрепления пластинки должен быть узел, а на свободном конце – пучность колебаний. Пластинка может иметь набор резонансных частот, каждой из которых соответствует своя форма колебаний (рис. 3).

 

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

 

1. Включить генератор и осциллограф в сеть 220 В. Установить максимальную чувствительность осциллографа и предельное напряжение генератора.

2. Плавно изменяя частоту генератора в интервале 20–100 Гц, наблюдать на экране осциллографа изменение высоты осциллограммы. Определить три резонансные частоты, соответствующие трем первым формам собственных колебаний пластинки. Наблюдать на пластинке расположение узлов и пучностей. Зарисовать формы колебаний в отчет с указанием частот резонанса.

Частота ν, Гц
Амплитуда А, мм

3. Измерить амплитуды колебаний по шкале осциллографа не менее 10 раз для наиболее сильного из трех резонансов с интервалом 1 Гц в области резонанса. Результаты записать в таблицу.

Выключить приборы.

4. Построить график зависимости амплитуды колебаний от частоты А (ν) размером не менее полстраницы. Около точек провести плавную кривую линию. Определить частоту резонанса как абсциссу максимума резонансной кривой.

5. Определить коэффициент затухания. Для этого на графике провести прямую горизонтальную линию с ординатой . Определить ширину резонансной (см. рис. 2). Коэффициент затухания (при Δ ω =2 π Δ ν), равен .

6. Оценить погрешность измерения коэффициента затухания, полагая, что основным источником погрешности является систематическая погрешность δ ν установки частоты генератора, равная половине цены деления шкалы лимба δ β = π δ ν.

7. Записать результат измерений β ± δ β. Сделать выводы.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Запишите уравнение второго закона Ньютона для вынужденных колебаний маятника. Назовите силы, действующие на маятник.

2. Получите на основании второго закона Ньютона дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

3. Выведите формулу для амплитуды вынужденных колебаний с помощью векторной диаграммы.

4. Изобразите график зависимости амплитуды от частоты силы. Дайте определение резонанса. В чем причина резонанса? Как зависит амплитуда при резонансе от сопротивления среды?

5. Объясните, как можно определить коэффициент затухания маятника по резонансной кривой.

6. Объясните, почему пластинка обладает набором резонансных частот? Каким формам колебаний они соответствуют? Сколько длин волн укладывается на пластинке в каждом случае?

Работа 12