ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ. Плоскимявляется движение, при котором траектории точек тела лежат в параллельных плоскостях

 

Плоскимявляется движение, при котором траектории точек тела лежат в параллельных плоскостях. Плоское движение можно представить двумя способами.

Пусть к телу в некоторой точке приложена сила F ₀ (рис. 1). Приложим к особой точке тела, называемой центром масс, две равные и противоположные силы F ₁ и F ₂, параллельные и равные силе F ₀. Под действием силы F ₂ тело совершает поступательное движение, а пара сил F ₀ и F ₁создает момент сил M ₀ =F ₀ c, под действием которого тело вращается. Итак, тело одновременно движется поступательно со скоростью центра масс и вращается вокруг оси, проходящей через центр масс.

Возможно другое представление плоского движения. Пусть скорость точки О – центра масс тела равна (рис.1). Проведём в плоскости движения перпендикуляр АОС к вектору скорости V ₀. Так как тело твёрдое, то огибающая векторов является прямой линией. Она и перпендикуляр пересекутся в некоторой точке С, скорость этой точки равна нулю. Через неё проходит так называемая мгновенная ось, относительно которой тело совершает только вращение. Положение мгновенной оси со временем меняется.

Примером плоского движения является качение колеса по плоскости. Если проскальзывания нет, то мгновенная ось вращения совпадает с линией касания колеса с плоскостью, перемещаясь по плоскости.

Соответственно двум способам представления уравнениями динамики могут быть: либо основной закон динамики вращательного движения относительно мгновенной оси

 

, (1)

либо система уравнений второго закона Ньютона для поступательного движения центра масс и основного закона динамики вращательного движения тела относительно оси, проходящей через центр масс

 

и (2)

 

В уравнениях J ₀ и J_с – моменты инерции тела относительно выбранных осей вращения О или С. Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении и по определению равен сумме произведений масс m_i (dm)частиц тела на квадраты их расстояний r до оси вращения: .

Соотношение между моментами инерции J ₀ и J_c можно установить, если подставить в уравнение (1) момент силы F относительно мгновенной оси С . С учетом уравнений (2) и ускорения получим

 

. (3)

 

Это уравнение теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси С равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс О, параллельной данной оси С и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для экспериментального определения момента инерции тел вращения рассмотрим скатывание с наклонной плоскости, расположенной под углом a к горизонту (рис.2). Представим скатывание тела как вращение вокруг мгновенной оси С под действием силы тяжести.Плечо силы тяжести относительно оси С равно . Тогда момент силы тяжести М = . Другие силы N и F_сц (нормального давления и сцепления) вращающего момента силы не создают

→

→

.

Подставим в уравнение динамики вращательного движения относительно мгновенной оси С (1) формулы момента силы тяжести, момента инерции и углового ускорения , получим . Откуда формула для экспериментального определения момента инерции тела относительно оси О, проходящей через центр масс, будет иметь вид

 

. (4)

 

Для тел вращения (кольцо, диск, шар) момент инерции можно рассчитать теоретически по определяющей формуле, взяв интеграл . Для кольца получим J_к = m R²; для шара ; для диска .

Более важно определить не само значение момента инерции, а отношение , которое не зависит ни от массы, ни от радиуса, а является параметром формы тела. Теоретическое значение для кольца К_к = 1, для диска К_д = 0, 5, для шара К_ш = 0, 4. Из формулы (4)

. (5)

 

Так как все силы постоянны, то движение тела равноускоренное. Значит, ускорение а можно определить по времени скатывания телом некоторого расстояния S по уравнению кинематики . Но здесь неизвестна начальная скорость V ₀, с которой исследуемое тело пересекает луч первого фотоэлемента, включающий секундомер. Но установка (рис.3) имеет семь секундомеров, измеряющих время движения тела до семи фотоэлементов. Это позволит решить систему семи уравнений алгебраически или лучше графически. Для этого представим уравнение в виде

. (6)

 

Как видно, средняя скорость скатывания тела до каждого фотоэлемента, , линейно зависит от времени. Поэтому, если построить график линейной зависимости < V > (t), то по нему можно определить ускорение как удвоенное значение углового коэффициента линии (рис.4)

. (7)

 

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

 

1. Включить блок питания в сеть 220 В. Установить некоторый угол наклона желоба. Расположить одно из тел (кольцо, диск, шар) около верхнего упора. Отпустить. Повторить опыт несколько раз и убедиться в повторяемости показаний. Записать в табл. 1 время скатывания до фотоэлементов в одном из опытов.

Путь S, м	0, 07	0, 14	0, 21	0, 28	0, 35	0, 42	0, 49
Время t. c
Скорость < V>, м/c

Таблица 1

Выключить установку.

2. Произвести расчеты. Определить среднее значение скорости скатывания до каждого фотоэлемента . Записать в табл.1.

3. Построить график зависимости средней скорости от времени движения до каждого фотоэлемента. Размер графика не менее половины страницы. На осях координат указать равномерный масштаб. Около экспериментальных точек провести прямую линию.

Таблица 2

Угол наклона α, град
g sin α, м/c2
Форма тела…. Ктеор=
Ускорение a, м/с2
Кэксп

4. Рассчитать по координатам крайних точек А и В на экспериментальной линии среднее ускорение по формуле (7). Определить среднее экспериментальное значение параметра К _экс по формуле (6). Записать в табл. 2 параметры и результаты расчета.

5. Сравнить экспериментальное значение параметра с теоретическим значением. Оценить абсолютную погрешность . Записать результат измерений . Сделать выводы.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Дайте определение плоского движения. Каким образом можно представить плоское движение? Дайте определение мгновенной оси. Каким образом можно установить её положение?

2. Запишите уравнения динамики для плоского движения в двух способах представления движения.

3. Дайте определение момента силы, плеча силы. Запишите формулу для момента силы тяжести тела на наклонной плоскости.

4. Дайте определение момента инерции. Выведите и сформулируйте теорему Штейнера.

5. Выведите расчётную формулу для определения момента инерции тел, скатывающихся с наклонной плоскости.

6. Запишите формулы момента инерции для кольца, диска, шара относительно оси симметрии.

Работа 9