И метода определения момента инерции

 

Маятник Обербека пред­ставляет собой кре­сто­ви­ну, состоящую из втулки 3, четырех спиц 2, укре­плен­ных на одном из концов втулки (рис. 3.4). На спицах раз­ме­щены грузы 1. Последние могут перемещаться вдоль спиц и закрепляться на них с помощью винтов. Другой конец втулки выполнен в виде шкива 4, на который на­матывается нить-шнур. К сво­бодному концу шнура при­вязан груз 6. Под влия­ни­ем этого груза маятник при­хо­дит в ускоренное вра­ща­тель­ное движение вокруг не­под­вижной оси. Трение меж­ду втулкой маятника и осью пра­ктически сведено к нулю уста­новленными на ось под­шип­никами. Для установки гру­за 5 на определенной вы­со­те предусмотрен указатель 5. Исходным уравнением для определения момента инер­ции I маятника является уравнение (3.11), из которого следует, что

 

, (3.12)

 

где M - вращающий момент, в данном случае - момент силы Т натяжения шнура, приложенной в точке k (рис. 3.4); ε - угловое ускорение маятника.

Нить маятника вертикальна, поэтому угол α в формуле (3.6, а) равен 90⁰, так что

 

М = T R, (3.13)

где R - радиус шкива.

Сила T может быть найдена из второго закона Ньютона, записанного для груза 6:

ma = mg - T,

где m - масса груза, а - ускорение, с которым он опускается, откуда

 

Т = m (g - а). (3.14)

 

Таким образом, подставляя (3.14) в (3.13), получим

 

М = m(g - a) R. (3.15)

 

Угловое ускорение ε связано с тангенциальным ускорением точек на ободе колеса следующим соотношением:

.

В свою очередь, совпадает с ускорением а, с которым опускается груз 6. Следовательно,

. (3.16)

 

Ускорение а можно вычислить, если измерить время t опускания груза на определенную высоту h. Действительно,

 

,

поэтому

. (3.17)

 

Подставляя (3.17) в (3.16) и (3.15), а затем в (3.12), получим

 

, (3.18)

 

где d = 2 R - диаметр шкива.

Заметим, однако, что второе слагаемое в выражении (3.18) оказывается на практике значительно меньше первого, а потому момент инерции маятника можно вычислить как

 

. (3.19)

 

Формула (3.19) - рабочая формула для определения I из законов динамики. С другой стороны, как уже отмечалось, момент инерции тела - величина аддитивная. Следовательно, момент инерции маятника Обербека относительно оси вращения можно представить в виде

 

I = I_в + I_ш + 2 I_сп + 4 I_гр (3.20)

 

где: I_в - момент инерции втулки; I_ш - момент инерции шкива; I_пс - момент инерции пары спиц; I _гр - момент инерции одного груза 1. Разумеется, все эти моменты инерции в данном случае берутся тоже относительно оси вращения.

Так как , где l и m_пс - общая длина (рис. 3.5) и масса двух спиц, а для случая, когда грузы 1 находятся на концах спиц,

 

I_гр = m_гр l₁²

(груз - материальная точка), где l₁ - расстояние от центра масс груза до оси, а m_гр - масса груза 1, то

 

I = (I_в + I_ш) + 1/6 × m_пс l² + 4 m_гр l₁². (3.21)