Краткие теоретические сведения. Физическим маятником (ФМ) называется твердое тело, которое может колебаться под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси ( не проходящей через центр

Физическим маятником (ФМ) называется твердое тело, которое может колебаться под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси (не проходящей через центр масс тела).

При колебании ФМ вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и про­хо­дя­щей через точку О (рис. 4.1). Эта точка назы­ва­ет­ся точкой подвеса. Движение маятника подчиня­ет­ся основному уравнению динамики враща­тель­но­го движения:

 

или М = I e, (4.1)

 

где М - момент силы тяжести относительно оси О; I - момент инерции маятника относительно той же оси; - угловое ускорение маятника.

Из рис. 4.1 видно, что

 

М = - mgb sin j, (4.2)

 

где m - масса маятника; b sin j - плечо силы тяжести mg; b - расстояние от точки подвеса О до центра масс С.

Знак “-” означает, что вращающий момент М стремится уменьшить угол j, характеризующий отклонение маятника от равновесного положения. Более строго смысл знака “-” объясняется так: псевдовекторы момента сил и смещения от положения равновесия направлены в противоположные стороны (для ситуации, изображенной на рис. 4.1 первый направлен за плоскость чертежа, а второй - из этой плоскости на наблюдателя). Помня, что , и учитывая (4.1), уравнение (4.2) запишем в виде

. (4.3)

 

При малых отклонениях маятника (именно этот случай мы и будем иметь в виду) sin j » j, а потому равенство (4.3) после деления на I примет вид

 

(4.4)

 

Положительная величина mgb/I может быть заменена квадратом некоторого числа:

m g b / I º w ₀². (4.5)

 

Тогда уравнение (4.4) можно переписать как

 

(4.6)

 

Используя прямую подстановку, убеждаемся, что решением уравнения (4.6) является выражение

j = j ₀ cos ( w ₀ t + a ). (4.7)

 

Это свидетельствует о том, что ФМ совершает в этих условиях незатухающие гармонические колебания с циклической частотой w₀. Амплитуда и начальная фаза j ₀ и a – постоянные, зависящие от начальных условий.

Период колебаний ФМ

 

(4.8)

 

Величина I / mb имеет размерность длины, обозначим ее L и назовем приведенной длиной ФМ:

L = I / m b. (4.9)

Таким образом,

(4.10)

 

Сравнивая (4.10) с формулой для периода колебаний математического маятника T = , где l - длина математического маятника, видим, что приведенная длина ФМ - это длина такого математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом колебаний данного ФМ. Легко заметить, что L > b. В самомделе, в соответствии с теоремой Штейнера I = I_с + mb², где I_c - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс. Следовательно, по выражению (4.9)

 

(4.11)

 

откуда видно, что L> b.

Точку О΄ (см. рис. 4.1), отстоящую от О на расстоянии L, называют точкой качаний.