Пряма загального положення

 

Пряма, яка не паралельна (не перпендикулярна) ні одній з площин проекцій називається прямою загального положення. На рисунку 2.4 відрізок АВ займає загальне положення. На П₁, П₂ і П₃ відрізок АВ не паралельний (не перпендикулярний) до осей координат. Така пряма не має натуральної величини і реальних кутів нахилу на основних площинах проекцій (рис. 2.5). На рисунку 2.3, а, б показано приклад прямих загального положення в двох площинах проекцій.

 

Рисунок 2.4	Рисунок 2.5

 

2.2 Прямі окремого положення

 

До прямих окремого положення відносяться прямі рівня і проекціювальні прямі.

 

2.2.1 Прямі рівня

 

Прямі рівня – це прямі, що паралельні одній з площин проекцій.

1. Горизонтальна пряма (горизонталь) паралельна П₁, має реальні кути нахилу: Ð a до П₂, Ð b до П₃ (рис. 2.6). Горизонтальна проекція h₁ горизонталі має натуральну величину (н.в.).

2. Фронтальна пряма (фронталь) паралельна П₂, має реальні кути нахилу: Ð g до П₁, Ð b до П₃ (рис. 2.7). Фронтальна проекція f₂ фронталі має натуральну величину.

3. Профільна пряма паралельна П₃, має реальні кути нахилу: Ð b до П₁, Ð a до П₂ (рис. 2.8). Профільна проекція р₃ має натуральну величину.

Рисунок 2.6

 

Рисунок 2.7

 

 

Рисунок 2.8

 

2.2.2 Проекціювальні прямі

 

Прямі, що перпендикулярні до однієї з площин проекцій, мають назву проекціювальні.

1. Горизонтально-проекціювальна прямаперпендикулярна до П₁ (рис.2.9). Така пряма відображається на П₁ в точку. На П₂ і П₃ відрізок має натуральну величину [ А₂ В₂ ] = [ А₃ В₃ ] = н.в.

2. Фронтально-проекціювальна прямаперпендикулярна до П₂ (рис.2.10). Така пряма відображається на П₂ в точку. На П₁ і П₃ відрізок має натуральну величину [ А₁ В₁ ] = [ А₃ В₃ ] = н.в.

3. Профільно-проекціювальна пряма перпендикулярна до П₃. (рис. 2.11). Така пряма відображається на П₃ в точку. На П₁ і П₂ відрізок має натуральну величину [ А₁ В₁ ] = [ А₂ В₂ ] = н.в.

 

 

Рисунок 2.9

 

 

Рисунок 2.10

 

Рисунок 2.11

 

 

2.3 Сліди прямої

 

Слідом прямої називається точка перетину прямої з площиною проекцій. На рисунку 2.12 пряма m задана відрізком AB, у якої точка H – горизонтальний слід, точка F – фронтальний слід.

Рисунок 2.12

 

Для побудови горизонтального сліду прямої на епюрі необхідно продовжити фронтальну проекцію відрізка A₂B₂ до перетину з віссю Ох в точці H₂ (H₂ – фронтальна проекція горизонтального сліду) і з отриманої точки провести вертикальну лінію зв’язку на продовження горизонтальної проекції відрізка A₁B₁. Там, де лінія зв’язку перетинає проекцію прямої m₁ визначається точка H₁ (H₁ – горизонтальна проекція горизонтального сліду). Аналогічно виконується побудова фронтального сліду прямої m. Горизонтальну проекцію відрізка A₁B₁ продовжують до перетину з віссю Ох в точці F₁ (F₁ – горизонтальна проекція фронтального сліду) і з отриманої точки проводять вертикальну лінію зв’язку на продовження фронтальної проекції відрізка A₂B₂. Там, де лінія зв’язку перетинає фронтальну проекцію прямої m₂ визначається точка F₂ – фронтальна проекція фронтального сліду.

 

2.4. Точка і пряма

Розглянемо положення точки і прямої для з’ясування їх позиційних і деяких метричних властивостей.

Точка може лежати на прямій або знаходитися поза прямою. Якщо точка належить прямій, то проекції цієї точки знаходяться на однойменних проекціях прямої.

Для того, щоб встановити належність точки до будь якої прямої, іноді достатньо встановити належність двох проекцій точки відповідним проекціям прямої.

На рисунку 2.13 точки А, С, В належать прямій, оскільки їх обидві проекції належать відповідним проекціям прямої l:

А1 Î l1;	А2 Î l2 }	Þ	А Î l
С1 Î l1;	С2 Î l2 }	Þ	С Î l
В1 Î l1;	В2 Î l2 }	Þ	В Î l

Точки D і К не лежать на заданій прямій. У точки D горизонтальна проекція не співпадає з горизонтальною проекцією прямої l, у просторі точка D розташована перед прямою l. У точки К горизонтальна проекція розташована вище осі Ох, фронтальна – нижче осі Ох, тобто точка К знаходиться у третій чверті.

Рисунок 2.13

 

2.5 Взаємне положення прямих

 

Дві прямі у просторі можуть займати взаємне положення:

1. Дві прямі паралельні. Якщо дві прямі паралельні, то паралельні також їх однойменні проекції. Паралельність двох профільних прямих визначають за їхніми профільними проекціями (рис. 2.14).

m₁||n₁, m₂|| n₂, m₃|| n₃ } Þ m || n

Рисунок 2.14

 

2. Дві прямі перетинаються. Якщо прямі перетинаються, то перетинаються також їхні однойменні проекції. Проекції точки перетину знаходяться на одній лінії зв’язку (рис. 2.15).

m₁ Ç n₁ = P₁, m₂ Ç n₂ = P₂, m₃ Ç n₃ = P₃ } Þ m Ç n = P

 

Рисунок 2.15

3. Дві прямі мимобіжні. Якщо дві прямі не паралельні і не перетинаються між собою, то вони називаються мимобіжними. Ознакою мимобіжних прямих є наявність пар конкуруючих точок. На рисунку 2.16 точки А і В конкурують на П₁: А Î n, В Î m, А₁ º (В₁).Точки С і D конкурують на П₂: С Î n, D Î m, C₂ º (D₂).

Рисунок 2.16

 

Тести для самоконтролю

1. Профільною прямою називається пряма:

а)паралельна до П₃;

б) перпендикулярна до П₃;

в) паралельна до П₁;

г) паралельна до П₂.

 

2. Профільно-проекціювальною прямою називається пряма:

а) перпендикулярна до П₃;

б) паралельна до П₂;

в) перпендикулярна до П₁;

г) перпендикулярна до П₂.

 

3. Фронтально-проекціювальною площиною називається площина:

а)перпендикулярна до П₂;

б) паралельна до П₂;

в) перпендикулярна до П₁;

г) паралельна до П₁.

 

4. Фронталлю називається пряма:

а) паралельна до П₁;

б)паралельна до П_{2 ;}

в) паралельна до П₃;

г) перпендикулярна до П₁.

5. Горизонтально-проекціювальною прямою називається пряма:

а)перпендикулярна до П₁;

б) перпендикулярна до П₂;

в) перпендикулярна до П₃;

г) паралельна до П₁.

6. Пряма належить площині, якщо вона:

а) має з нею дві спільні точки;

б) не має спільних точок;

в) паралельна до площини;

г) має одну спільну точку.

 

7. Креслення горизонталі показано на рисунку …

 

8. Відрізок АВ проекціюється на П₁ і П₂ без спотворення у випадку …

 

3 Площина