Поверхня з ребром звороту

Поверхня з ребром звороту (торс) утворюється переміщенням твірної, яка у всіх своїх положеннях є дотичною до напрямної (просторової кривої лінії). Визначник торсової поверхні: Ф = [(l, m) (" l È m)],

де: l – твірна, пряма лінія,

m – напрямна, крива лінія.

Крива напрямна називається ребром звороту. Приклад поверхні показано на рисунку 6.8.

Рисунок 6.8

6.6 Поверхні з двома напрямними лініями

Ця група поверхонь має дві напрямні. Твірна (пряма лінія) безперервно переміщується по двох напрямних і залишається паралельною до площини, яка називається площиною паралелізму. Площиною паралелізму може бути проекціювальна площина, або площина рівня, а також площина проекції. Ця група поверхонь називається “Поверхні з площиною паралелізму”. Їх ще називають поверхнями Каталана.

Є три поверхні Каталана:

- коса площина (гіперболічний параболоїд),

- коноїд,

- циліндроїд.

Визначник поверхонь Каталана: Ф = [(l, m, n, S) (" l Ç m, n; " l || S)],

де: l – твірна, пряма лінія,

m, n – напрямні, криві або прямі лінії,

S – площина паралелізму.

6.6.1 Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїдвідноситься до групи поверхонь з площиною паралелізму. У цієї поверхні обидві напрямні m і n мимобіжні прямі лінії (рис. 6.9).

Рисунок 6.9

 

6.6.2 Коноїд

Коноїд відноситься до групи поверхонь з площиною паралелізму. У коноїда одна напрямна – пряма лінія, друга напрямна – крива лінія (рис.6.10).

Рисунок 6.10

 

6.6.3 Циліндроїд

Циліндроїд відноситься до групи поверхонь з площиною паралелізму. У циліндроїда обидві напрямні – криві лінії (рис. 6.11).

Рисунок 6.11

6.7 Поверхні обертання

6.7.1 Прямолінійчаті поверхні обертання.

Прямолінійчатою поверхнею обертання називається поверхня утворена обертанням твірної (прямої лінії) навколо нерухомої осі.

Розглянемо три випадки:

1. Твірна пряма l та вісь і перетинаються – круговий конус
(рис. 6.12, а).

2. Твірна пряма l паралельна до осі обертання – круговий циліндр (рис. 6.12, б).

3. Твірна пряма l мимобіжна з віссю обертання і – однополосний гіперболоїд обертання.

 

 

а)	б)
Рисунок 6.12

 

 

6.7.2 Криволінійчаті поверхні обертання

Укриволінійчатих поверхонь твірна – крива лінія.

Поверхні, які утворені обертанням твірної лінії навколо нерухомої осі, називають поверхнями обертання. Твірна може бути кривою як плоскою, так і просторовою.

Визначник поверхонь обертання: Ф = [(l, i) (l i)]

де: l – твірна (пряма або крива лінія),

i – вісь обертання

До поверхонь обертання відносяться:

1. Сфера.

2. Тор.

3. Еліпсоїд обертання.

4. Параболоїд обертання.

5. Гіперболоїд обертання.

Кола на поверхні обертання називаються паралелями (рис.6.13, 6.14). Паралель утворюється площиною, яка перетинає поверхню перпендикулярно до осі обертання. При обертанні твірної кожна точка на ній описує коло з центром на осі обертання і.

Паралель, діаметр якої більший за діаметр інших паралелей називається екватором (рис.6.13, 6.14).

Паралель, діаметр якої менший за діаметри інших паралелей називається горлом (рис.6.13, 6.14).

У загальному випадку поверхня обертання може мати кілька екваторів і горловин. Площини, що проходять через вісь обертання, називаються меридіональними, а лінії, по яких вони перетинають поверхню – меридіанами.

Меридіональна площина Σ, паралельна площині проекцій, називається головною меридіональною площиною, а лінія її перетину з поверхнею обертання – головним меридіаном (рис.6.13, 6.14).

На рисунку 6.14 наведено приклад поверхні обертання загального вигляду, де побудовані ці лінії, а також побудована крива лінія l на цієї поверхні. Окремі точки А, E, B, N, C, D, що належать поверхні, будують за допомогою паралелей, з’єднують і отримують криву лінію l.

 

Рисунок 6.13	Рисунок 6.14

 

Розглянемо деякі поверхні обертання:

Сфера.

Поверхня сфери утворюється при обертанні кола навколо осі (діаметра) (рис.6.15). Сферу можна розглядати як окремий випадок тора.

Рисунок 6.15

 

Тор.

Поверхня тора утворюється при обертанні твірного кола навколо осі і. Відомі два види тора:

а) відкритий – твірне коло не перетинає ось обертання (рис.6.16, а);

б) закритий – твірне коло перетинається з віссю обертання (рис.6.16, б).

а)	б)
Рисунок 6.16

 

3. Еліпсоїд обертання.

Поверхня еліпсоїда обертання утворюється при обертанні еліпса навколо його осі (рис.6.17).

Рисунок 6. 17

 

4. Параболоїд обертання.

Поверхня параболоїда обертання утворюється при обертанні параболи навколо її осі (рис.6.18).

Рисунок 6.18

 

 

5. Гіперболоїд обертання.

Однополосний гіперболоїд обертання утворюється при обертанні гіперболи навколо її уявної осі (рис.6.19), а двополосний – при обертанні гіперболи навколо її дійсної осі (рис.6.20).

Рисунок 6.19

 

Рисунок 6.20

6.8 Точка і лінія на кривій поверхні

 

Точка належить поверхні, якщо вона лежить на лінії (прямій або кривій), яка належить цій поверхні. Для побудови точки A на криволінійчатій поверхні обертання, вісь обертання якої перпендикулярна до П₁, через фронтальну проекцію точки проводять паралель(рис. 6.21, а). На П₂ ця паралель відображається в пряму лінію перпендикулярну до осі обертання. Потім паралель проекціюють на П₁, де вона зображається у вигляді кола. Радіус паралелі R вимірюють від осі обертання до контура поверхні. Із фронтальної проекції точки А проводять вертикальну лінію зв’язку на горизонтальну проекцію паралелі і отримують проекцію точки А₁ на П₁. На прямолінійчатих поверхнях точки будують за допомогою прямих ліній, що утворюють поверхню. На рисунку 6.21, б показано приклад побудови точки В на поверхні прямого кругового конуса. Через фронтальну проекцію точки В₂ проводять твірну лінію, яка проходить через вершину S₂ і перетинає основу конуса (коло) в точці М₂. Потім будують горизонтальну проекцію твірної S₁ М₁ і знаходять на неї горизонтальну проекцію точки В₁.

а)	б)
Рисунок 6.21

 

На рисунку 6.22 показано приклад побудови точок на поверхні нахиленого конуса (загального вигляду). Точки 1, 2, 3, 4 будують за допомогою прямих твірних ліній, які проходять через вершину конуса і перетинають основу – напрямну криву лінію (коло).

Рисунок 6.22

 

На рисунку 6.23 показано приклад побудови точок 1, 2, 3, 4 на поверхні нахиленого циліндра. Проекції точок також будують за допомогою прямих твірних ліній, які паралельні між собою.

Рисунок 6.23

На рисунках 6.24 та 6.25 показано приклад побудови точок на криволінійчатих поверхнях, які мають назву відкритий тор і закритий тор.

На поверхні відкритого тора (рис. 6.24) точки будують за допомогою паралелі (кола), яку проводять через точки М і N.

На поверхні закритого тора (рис. 6.25) побудована крива лінія l, яка проходить через точки 1, 2, 3. Точкибудують також за допомогою паралелей.

 

Рисунок 6.24

 

 

 

Рисунок 6.25

Тести для самоконтролю

1. Визначником Ф { ι, m [(ι // ι) ∩ m ]}задається поверхня:

а) конічна;

б) циліндрична;

в) коноїд;

г) гвинтова поверхня.

2. Проекціі проеціюючої поверхні зображено на кресленні …

3. Точка А належить даній поверхні у випадку …

 

4. Даний предмет описують … поверхн(і, ею) (включаючи площини)

 

 

7 Переріз поверхні площиною

 

При перерізах поверхонь площиною утворюється плоска крива лінія, кожна точка якої є точкою перетину лінії каркаса поверхні з січною площиною. Для побудови точок лінії перерізу можуть бути застосовані метод допоміжних січних площин та методи перетворення площин проекцій. Звичайно обирають допоміжні січні площини рівня або проекціювальні площини, що дає можливість визначити множину точок перетину ліній каркаса поверхні з допоміжною площиною. Способи перетворення площин проекцій дозволяють перевести площину загального положення в проекціювальне положення і цим спростити розв’язування задачі.

 

7.1 Переріз поверхні площиною окремого положення

 

При перетині поверхні площиною окремого положення отримаємо плоску фігуру, що називається перерізом. Ця фігура належить січній площині.

Визначення проекцій лінії перерізу звичайно починають з побудови опорних точок – точок, розміщених на крайніх контурних твірних поверхні, найвищих і найнижчих точок фігури, точок, які визначають границю видимості. Після цього визначають довільні точки фігури перерізу.

Конічні перерізи. На поверхні прямого кругового конуса від перетину площиною можна отримати такі лінії:

1) дві твірні, якщо січна площина α проходить через вершину конуса (рис. 7.1, а);

2) коло, якщо січна площина α перпендикулярна до осі конуса (рис. 7.1, б);

а)	б)
Рисунок 7.1

 

3) гіперболу, якщо січна площина α паралельна до двох довільних твірних конуса або якщо ця площина паралельна до осі конуса (7.2, а);

4) параболу, якщо січна площина α паралельна до однієї з твірних конуса (рис. 7.2, б);

5) еліпс, якщо площина α перетинає всі твірні конуса і вона не перпендикулярна до осі конуса (рис. 7.2, в).

 

а)	б)	в)
Рисунок 7.2

 

7.2 Побудова натуральної величини фігури перерізу

 

Натуральну величину фігури перерізу на поверхні прямого кругового циліндра можна знайти заміною площин проекцій. Паралельно до площини α ₂ вводять додаткову площину проекції П₄. Система площин проекцій П₁ / П₂ замінюється на П₂ / П₄. Від фронтальних проекцій точок, що лежать на перерізі, проводять лінії зв’язку, перпендикулярно до нової осі х_{2, 4}. На П₄ будують проекції точок А₄, В₄, С₄, D₄, M₄, N₄, K₄, L₄. Координати точок беруть на П₁ і відкладають від нової осі х_{2, 4} до проекцій точок на П₄. Отримані точки з’єднують плавною кривою і отримують натуральну величину фігури перерізу, криву другого порядку – еліпс (рис. 7.3), де А₄В₄ – велика вісь еліпса, С₄D₄ – мала вісь еліпса.

Рисунок 7.3

 

 

Задача 1. Побудувати натуральну величину фігури перерізу прямого кругового конуса. Січна площина α – фронтально-проекціювальна (рис.7.4).

Розв’язування. Цю задачу можна розв’язати способом заміни площини проекції. Спочатку будують горизонтальну проекцію лінії перерізу. Оскільки січна площина паралельна тільки одній твірний, то фігурою перерізу буде парабола. Опорні точки А, В, С отримують там, де січна площина α перетинає фронтальну проекцію обрису конуса (контур). Поточні точки D, Е будують за допомогою паралелі на поверхні конуса. Горизонтальна проекція параболи не має натуральної величини. Для побудови натуральної величини вводять додаткову площину проекції П₄ паралельно січній площині α. Координати всіх точок параболи беруть на П₁ (по осі у) і за допомогою ліній зв’язку переносять на П₄. Проекції точок А₄, В₄, С₄, D₄, Е₄ з’єднують і отримують натуральну величину фігури перерізу.

 

 

Рисунок 7.4

 

 

Задача 5. Побудувати натуральну величину фігури перерізу на поверхні похилої призми.

Розв’язування. На рисунку 7.5 фронтально-проекціювальна січна площина a перетинає поверхню похилої піраміди. На фронтальній площині проекції П₂ визначають проекції точок K₂, L₂, M₂ перетину січної площини a з ребрами призми. Ці точки проекціюють на П₁ на відповідні ребра призми, з’єднують і отримують фігуру перерізу, трикутник K₁L₁M₁. Для побудови натуральної величини цього трикутника можна використовувати спосіб заміни площин проекцій. Додаткову площину проекції П₄ вводять паралельно проекції січній площини a₂. Точки K, L, M проекціюють на П₄, з’єднують і отримують натуральну величину фігури перерізу.

Рисунок 7.5

 

7.3 Переріз поверхні площиною загального положення

 

Для побудови лінії перерізу поверхні площиною загального положення часто використовують методи перетворення. Креслення перетворюють так, щоб січна площина стала в новому положенні проекціювальною.

Алгоритм побудови фігури перерізу

1. В заданій площині загального положення будують лінію рівня (горизонталь або фронталь). Якщо площина задана слідами або горизонталлю і фронталлю, що перетинаються, то лінію рівня будувати не треба.

2. Використовують метод заміни площин проекцій. Перпендикулярно до натуральної величини прямої рівня або сліду площини проводять нову площину проекції П₄.

3. На П₄ проекціюють задану криву поверхню (або багатогранник) і січну площину, яка перетворюється у пряму лінію (цю проекцію січної площини називають виродженою).

4. На П₄ позначають точки перетину проекції січної площини з проекціями ліній каркаса поверхні (з твірними та напрямними кривої поверхні або ребрами багатогранника).

5. Отримані точки за допомогою ліній зв'язку проекціюють на П₁ та П₂. Потім точки з'єднують суцільною або штриховою лінією (у залежності від того, видима лінія чи невидима).

6. Паралельно січній площині, яка на П₄ спроекційована у пряму лінію (вироджена), проводять ще одну додаткову площину проекції П₅.

7. На П₅ проекціюють тільки точки лінії перетину, з'єднують ці точки і отримують натуральну величину фігури перерізу.

Задача 1. Побудувати натуральну величину фігури перерізу чотиригранної призми площиною загального положення (рис. 7.6).

Розв’язування. Задачу розв’язують способом заміни площин проекцій. Нову площину П₄ вводять перпендикулярно до горизонтальної проекції горизонталі h₁ площини α (h ∩ f).

На площині беруть дві довільні точки P i F і переносять їх координати з П₂ на П₄ і отримують проекціювальну площину α (h ∩ f). На П₄ також будують призму. Для цього з кожної точки основи призми (A _׀ B _׀ C _׀ D _׀ ) з П₁ на П₄ проводять лінії зв’язку, перпендикулярно до х_{1, 4}. Призма своєю основою стоїть на П₁, тому всі точки її основи будуть розміщені на осі х_{1, 4}. Висоту призми визначають на П₂.

Координати точок перетину січної площини з кожним ребром призми переносять з П₄ на П₂. Отримані фронтальні проекції точок перетину кожного ребра з площиною з’єднують прямими лініями з урахуванням видимості.

Натуральну величину перерізу визначають способом плоско-паралельного переміщення. Для цього площину перерізу, що на П₄ відображена в пряму лінію (B₄ A₄ D₄ C₄), розміщують паралельно до осі х_{1, 4}. З кожної точки перерізу проводять прямі лінії зв’язку перпендикулярно до осі х_{1, 4}. На перетині цих ліній з лініями зв’язку, проведеними з горизонтальних проекцій точок перерізу (A_1, B_1, C_1, D₁) паралельно до х_{1, 4}, отримують натуральну величину фігури перерізу.

 

 

Рисунок 7.6

 

 

Задача 2. Побудувати натуральну величину фігури перерізу прямого кругового конуса.

Розв’язування. На рисунку 7.7 наведено приклад побудови натуральної величини фігури перерізу.

Рисунок 7.7

 

 

Поверхню прямого кругового конуса перетинає площина загального положення, яка задана прямими a і b, що перетинаються. В цій площині q (a Ç b) проводять горизонталь h і перпендикулярно до неї вводять додаткову площину проекції П₄. На епюрі нова вісь х_{1, 4} проведена перпендикулярно до горизонтальної проекції горизонталі h₁. На П₄ січна площина відображається у пряму лінію, тобто займає проекціювальне положення. Точки на кривій лінії фігури перерізу визначають там, де проекція січної площини q₄ перетинає паралелі конуса. За допомогою ліній зв’язку ці точки проекціюють спочатку на П₁ а потім на П₂, з’єднують і отримують горизонтальну і фронтальну проекції фігури перерізу. Для побудови натуральної величини фігури перерізу вводять ще одну додаткову площину проекції П₅ паралельно проекції січної площини q₄. На П₅ проекціюють точки 2 … 12 і отримують натуральну величину фігури перерізу.

 

Тести для самоконтролю

1. Якщо січна площина перетинає циліндр паралельно до основи, то в перерізі утворюється:

а)коло;

б) прямокутник;

в) еліпс;

г) квадрат.

 

2. Для конуса є можливі такі перерізи:

а)коло, трикутник, еліпс, парабола, гіпербола;

б) трикутник, еліпс, квадрат;

в) коло, ромб, трапеція, парабола;

г) еліпс, квадрат, гіпербола, парабола.

3. Яка площина утворює в перерізі багатокутник з найбільшою кількістю вершин:

α	β	γ	δ

 

7.4 Графічна робота № 2

 

Умова:

На поверхні (гранної або кривій) побудувати проекцію фігури перерізу площини окремого положення, визначити натуральну величину фігури перерізу. Побудувати розгортку поверхні.

Мета завдання:

Оволодіти методами побудови фігури перерізу на гранній та кривій поверхні та побудови розгортки поверхні.

 

Послідовність виконання

 

1. Визначити вид поверхні (криволінійна чи гранна), що задається, та встановити конкретне положення проекціювальної площини.

2. Визначити вихідну проекцію лінії перерізу. Оскільки поверхню перетинає проекціювальна площина, яка згідно з варіантом може бути перпендикулярною до П₁ чи П₂, то необхідно встановити, на якій із площин проекцій лінія перерізу уже відома. В даному випадку ця лінія перерізу завжди належить сліду проекціювальної площини.

3. За алгоритмом знаходження точок на поверхні визначити необхідну кількість точок для побудови лінії перерізу. У випадку, коли січна площина перерізає гранну поверхню, утворюється ламана лінія. Кількість точок, необхідних для її побудови, визначається кількістю ребер, які перетинає площина. У випадку, коли січна площина перерізає криволінійну поверхню, утворюється крива, для побудови якої необхідно мінімум 6-8 точок. Кожну з цих точок визначають на паралелях відповідного радіуса, який вимірюють від осі обертання до обрисової лінії поверхні.

4. Отримані точки лінії перерізу з’єднати з врахуванням видимості лінії на поверхні.

5. Для побудови натуральної величини фігури перерізу застосувати один із методів перетворень (заміна площин проекції або плоско-паралельне переміщення).

 

 

Завдання для графічної роботи № 2 студент вибирає з таблиці 7.1.

 

Приклад графічної роботи № 2 показано на рисунку 7.8.

 

Рисунок 7.8

 

 

7.5 Варіанти завдань до виконання графічної роботи № 2

Таблиця 7.1

 

Продовження таблиці 7.1

 

 

Продовження таблиці 7.1

Продовження таблиці 7.1

 

 

8 Перетин прямої лінії з поверхнею

Пряма перетинає поверхню другого порядку в двох точках. Винятком є випадок, коли пряма дотична до поверхні і має з нею одну спільну точку.

 

8.1 Перетин прямої лінії з кривою поверхнею

Задача 1. Побудувати точки перетину прямої l з конусом (рис. 9.1).

Розв’язування. Через пряму l (рис.8.1, а) проводять горизонтальну площину δ, яка при перерізі конуса утворює на його поверхні коло d. Там, де горизонтальна проекція прямої l₁ перетинає коло d₁, знаходять точки K і L й визначають видимість прямої.

Через пряму l (рис. 8.1, б) проводять фронтально-проекціювальну площину, яка проходить через вершину конуса і в перерізі на поверхні конуса утворює трикутник. Точки K, L знаходять на перетині прямої l₁ з трикутником.

a)	б)
Рисунок 8.1

 

 

8.2 Перетин прямої лінії з багатогранником

Задача 1. Побудувати точки перетину прямої загального положення l з нахиленою призмою (рис. 8.2).

Розв’язування.

Через пряму l проводять фронтально-проекціювальну площину α. На П₂ визначають точки перетину площини α з боковими ребрами призми: α ∩ АD = 1, α ∩ CF = 2, α ∩ ВE = 3. Отримані точки 1, 2, 3 проекціюють на П₁ на відповідні ребра. Горизонтальні проекції точок 1₁, 2₁, 3₁ з’єднують і отримують фігуру перерізу – трикутник. На П₁ відмічають точки перетину М₁ і N₁ з трикутником 1₁ 2₁ 3₁. Фронтальні проекції точок М₂ і N₂ визначають там, де лінії зв’язку перетинають проекцію прямої l₂. Визначають видимість прямої відносно поверхні призми.

Рисунок 8.2