Площини загального положення

 

Площиною загального положення називається площина, яка не паралельна (не перпендикулярна) ні одній з площин проекцій. На рисунку 3.1 наведено приклад площини загального положення, яка задана слідами. На рисунку 3.2, а площина загального положення задана трикутником, на рисунку 3.2, б площина задана паралельними прямими.

 

а)	б)
Рисунок 3.2

3.3 Площини окремого положення

 

До площин окремого положення відносяться площини рівня і проекціювальні площини.

3.3.1 Площини рівня

 

Площини рівня – це площини, які паралельні одній з площин проекцій.

1. Площина паралельна П₁ називається горизонтальною. Горизонтальна площина в системі площин проекцій П₁ / П₂ відображається на П₂ в пряму лінію, паралельну осі Ох. На П₁ має натуральну величину (рис.3.3).

2. Площина паралельна П₂ називається фронтальною. Фронтальна площина в системі площин проекцій П₁ / П₂ відображається на П₁ в пряму лінію, паралельну осі Ох. На П₂ має натуральну величину(рис.3.4).

3. Площина паралельна П₃ називається профільною. Профільна площина відображається на П₁ і П₂ в прямі лінії, які паралельні осям Оу і Оz. На П₃ має натуральну величину(рис. 3.5).

 

Рисунок 3.3

Рисунок 3.4

 

Рисунок 3.5

3.3.2 Проекціювальні площини

 

Проекціювальні – називаються площини, що перпендикулярні до однієї з площин проекцій.

1. Площина перпендикулярна до П₁ називається горизонтально-проекціювальною. Така площина відображається на П₁ в пряму лінію і має реальні кути нахилу до П₂ і П₃ (рис. 3.6).

Рисунок 3.6

 

2. Площина перпендикулярна до П₂ називається фронтально-проекціювальною. Така площина відображається на П ₂ в пряму лінію і має реальні кути нахилу до П₁ і П₃ (рис. 3.7).

 

Рисунок 3.7

 

 

3. Площина перпендикулярна до П₃ називається профільно-проекціювальною. Така площина відображається на П₃ в пряму лінію і має реальні кути нахилу до П₁ і П₂ (рис. 3.8).

 

Способи задання профільно-проекціювальної площини
1 Трьома точками	2 Точкою і прямою
3 Двома паралельними прямими	4 Двома прямими, що перетинаються
5 Трикутником	6 Слідами

 

Рисунок 3.8

 

Тести для самоконтролю

1. Фронтальною площиною називається площина:

а) паралельна до П₁;

б)паралельна до П₂;

в) паралельна до П₃;

г) перпендикулярна до П₁.

2. Площину можна задати:

а)прямою і точкою, що не лежить на прямій;

б) прямою і точкою, що лежить на прямій;

в) двома мимобіжними прямими;

г) двома точками.

 

3. Горизонтальна площина проекцій позначається:

а) П₁;

б) П₂;

в) П₃;

г) П₄.

4. Скільки існує способів завдання площини:

а) 3;

б) 4;

в) 5;

г)6.

5. Фронтальна площина рівня задана на кресленні …

 

4 Позиційні задачі

У нарисній геометрії розглядають дві групи задач: позиційні та метричні. Групу позиційних задач складають задачі: 1) на взаємний порядок геометричних фігур; 2) на взаємну належність геометричних фігур; 3) на взаємний перетин геометричних фігур.

4.1 Точка і пряма, що належать площині

 

Точка належить площині, якщо вона знаходиться на прямій, яка належить даній площині. Пряма належить площині, якщо вона проходить через дві точки, що належать площині.

Задача. Побудувати горизонтальну проекцію точки М, що належить площині a (m Ç n). Графічну умову показано на рисунку 4.1.

	M (M2) Ì a (m Ç n) M1 -?
Рисунок 4.1

 

Алгоритм розв’язання задачі

1. Через точку М (М₂) проводять пряму l (l₂), що належить заданій площині a (m Ç n) (рис. 4.2).

2. Визначають точки перетину прямої l з прямими m і n і будують горизонтальну проекцію прямої l (рис. 4.3). Будують горизонтальну проекцію точки М₁ на l₁.

Рисунок 4.2	Рисунок 4.3

 

 

4.2 Прямі рівня площини загального положення

 

Горизонталь площини – це пряма, яка належить площині і паралельна горизонтальній площині проекції П₁. Побудову горизонталі наведено на рисунках 4.4…4.7. В площині загального положення a, яка задана трикутником a (D АВС) (рис. 4.4), проводять фронтальну проекцію горизонталі h₂ (рис. 4.5). На фронтальній площині проекції П₂ проекція горизонталі h₂ завжди паралельна осі х_1.2. Визначають точку перетину горизонталі зі стороною ВС: h₂ Ç В₂ С₂ = 1₂ (рис. 4.6). Точку 1 проекціюють на П₁, з’єднують з вершиною трикутника А₁ і отримують горизонтальну проекцію горизонталі h₁ (рис. 4.7).

Рисунок 4.4	Рисунок 4.5
Рисунок 4.6	Рисунок 4.7

 

Фронталь площини – це пряма, яка належить площині і паралельна фронтальній площині проекції П₂. Приклад побудови фронталі площини наведено на рисунку 4.8. Побудову фронталі починають на горизонтальній площині проекції. Горизонтальну проекцію фронталі f₁ проводять в площині b (m ½ ½ n) паралельно осі х_{1, 2}. Визначають точки перетину f₁ з горизонтальними проекціями прямих m₁ і n₁: f₁ Ç m₁ = 1₁, f₁ Ç n₁ = 2₁. Точки 1 і 2 проекціюють на П₂, з’єднують і отримають фронтальну проекцію фронталі площини f₂.

Рисунок 4.8

 

Задача. Побудувати горизонтальну проекцію трикутника АВС, що належить площині a (рис. 4.9).

Розв’язування. Горизонтальну проекцію трикутника АВС можна побудувати за допомогою прямих рівня, наприклад горизонталей. Через фронтальні проекції точок А₂, В₂ і С₂ проводять фронтальні проекції горизонталей h¹₂, h²₂ i h³₂, потім будують горизонтальні проекції цих прямих. На горизонтальні проекції горизонталей h¹₁, h²₁ i h³₁ за допомогою вертикальних ліній зв’язку проекціюють горизонтальні проекції точок А₁, В₁ і С₁, з’єднують їх і отримують горизонтальну проекцію трикутника (рис. 4.10).

 

Рисунок 4.9	Рисунок 4.10

 

4.3 Перетин прямої з площиною загального положення. Перша

позиційна задача

 

Ця задача – одна з основних задач нарисної геометрії.

Алгоритм розв’язання задачі

1. Через задану пряму проводять допоміжну площину окремого положення.

2. Будують лінію перетину двох площин – заданої і допоміжної.

3. Визначають точку перетину прямої з площиною.

4. Визначають видимість прямої відносно площини за допомогою конкуруючих точок.

На рисунку 4.11 показано просторову модель для розв’язання цієї типової задачі. Розглянемо приклад, який наведено на рисунку 4.12, де пряма а загального положення перетинає площину b (D АВС) загального положення. Через горизонтальну проекцію прямої а₁ проводять допоміжну площину окремого положення – горизонтально-проекціювальну W ^ П₁. Будують лінію перетину двох площин DE: W Ç b (D АВС) = DE. Отриманий відрізок DE належить площині b (D АВС), тому шукана точка визначається на перетині двох прямих а і DE, що належать площині W:

а Ç DE = К. Видимість прямої а відносно площини b (D АВС) визначається за допомогою двох пар конкуруючих точок. Точки D і F конкурують на П₁: D₁ º (F₁), D Î АВ, F Î а. На П₁ відрізок F₁K₁ проекції прямої а₁ невидимий. Точки G і H конкурують на П₂: H₁ º (G₁), H Î а, G Î АС. На П₂ відрізок F₂K₂ проекції прямої а₂ – видимий.

Рисунок 4.11	Рисунок 4.12

 

 

На рисунку 4.13 наведено приклад, де пряма а загального положення перетинає площину S загального положення, яка задана слідами.

 

Рисунок 4.13

 

 

4.4 Пряма паралельна площині

 

Пряма лінія паралельна площині, якщо вона паралельна прямій (будь-якій), що належить даній площині. На рисунку 4.14 пряма l паралельна площині загального положення, яка задана слідами a (f^° Ç h^°), тому що проекції l₁ і l₂ прямої l паралельні відповідним проекціям m₁ і m₂ прямої m, що належить цій площині.

 

	Символьний запис побудови:   m (1, 2)Ì a (f° Ç h°), l1 ç ç m1, l2 ç ç m2 Þ l ç ç m
Рисунок 4.14

 

Задача. Побудувати фронтальну проекцію прямої с, що паралельна площині b, яка задана паралельними прямими a і b – b (a ï ï b). Графічну умову показано на рисунку 4.15.

	c ç ç b (a ç ç b), c1 c2 -?
Рисунок 4.15

 

Алгоритм розв’язання задачі

1. В площині b (a ç ç b) будують пряму d, яка паралельна прямій c і перетинає прямі a і b в точках 1 і 2:

d₁ Ç a₁ = 1₁, d₁ Ç b₁ = 2₁; d₂ Ç a₂ = 1₂, d₂ Ç b₂ = 2₂ Þ d Ì b (a ç ç b).

Побудову прямої d показано рисунку 4.16.

2. На П₂ будують фронтальну проекцію прямої c₂ паралельно d₂ (рис.4.17): c₁ ç ç d₁, c₂ ç ç d₂ Þ с ç ç b (a ç ç b).

 

Рисунок 4.16	Рисунок 4.17

 

4.5 Перетин двох площин. Друга позиційна задача

 

Дві площини, які не збігаються, перетинаються між собою.

Дві площини перетинаються по прямій лінії, положення якої визначається двома точками. Необхідно знайти дві точки, спільні для обох площин і з’єднати їх.

1. Дві площини проекціювальні (рис. 4.18). Якщо перетинаються дві фронтально-проекціювальні площини, то лінія перетину буде фронтально-проекціювальна пряма m: a Ç b = m.

Таким чином, якщо перетинаються дві проекціювальні площини однієї назви, то лінія перетину – проекціювальна пряма. У цьому разі для побудови лінії перетину достатньо визначити положення однієї точки і знати напрямок лінії перетину.

2.Якщо одна площина проекціювальна, а друга – загального положення, то проекція лінії перетину площин збігається зі слідом проекціювальної площини.

На рисунку 4.19 площина a (a Ç b) задана прямими, що перетинаються – загального положення, площина b – горизонтально-проекціювальна, задана слідами.

Лінію перетину 1, 2 знаходять на горизонтальній площині проекції П₁, там де горизонтальний слід b₁ площини b перетинає горизонтальні проекції прямих a₁ і b₁: a₁ (a₁ Ç b₁) Ç b₁ = 1₁, 2₁. Потім точки лінії перетину 1 і 2 проекціюють на відповідні проекції прямих a₂ і b₂.

 

Рисунок 4.18	Рисунок 4.19

 

 

3. Якщо перетинаються площини загального положення, то лінію перетину знаходять способом допоміжних перерізів, які виконують за допомогою площин рівня або проекціювальних площин (рис. 4.20).

 

Рисунок 4.20

 

Алгоритм розв’язування задачі

1. Дві площини загального положення перетинають допоміжною площиною окремого положення.

2. Будують лінію перетину допоміжної площини з першою заданою площиною.

3. Будують лінію перетину допоміжної площини з другою заданою площиною.

4. Позначають точку перетину ліній.

5. Повторюють пункти 1-4 для другої допоміжної площини.

6. З’єднують дві точки, що побудовані, і отримують проекції лінії перетину.

На рисунку 4.21 показано побудову лінії перетину двох площин загального положення, одна з яких задана паралельними прямими, друга – трикутником.

Рисунок 4.21

 

Якщо площини, що перетинаються, задані слідами, то лінію перетину проводять через точки перетину горизонтальних і фронтальних слідів (рис.4.25): h^° Ç h^¢ = 1, f^° Ç f^¢ = 2 Þ a (h^° Ç f^°) Ç b (h^¢ Ç f^¢ ) = m (1, 2).

 

Рисунок 4.22

 

4.6 Паралельність двох площин

 

Дві площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються, другої площини. Приклад паралельних площин наведено на рисунку 4.23. Площина a задана прямими а і b, що перетинаються, площина b задана прямими m і n, що перетинаються. Площини a (а Ç b) і b (m Ç n) паралельні, тому що пряма а площини a паралельна прямій m площини b, а пряма b площини a паралельна прямій n площини b.

 

Рисунок 4.23