ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

С помощью логических операций над суждениями из заданной совокупности суждений можно строить различные сложные суждения. Такие логические операции рассматривает математическая логика. В ней принято суждения называть высказываниями.

 

Основные понятия алгебры логики

Математическая логика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики. Математическая логика – вторая, после традиционной логики, ступень в развитии формальной логики, применяющая математические методы и специальный аппарат символов и исследующая мышление с помощью исчислений (формализованных языков).

Математическая логика – это логика, развиваемая с помощью математических методов. Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет.

Когда интересуются только синтаксисом, часто используют термин «формальная система». Объектом формальных систем являются строки текста (последовательности символов), с помощью которых записываются формулы.

Формальная система определена, если:

1. Задан алфавит (множество символов, используемых для построения формул).

2. Определено, какие именно строки считать формулами (остальные строки считаются просто бессмысленными).

3. Выделено множество формул, называемых аксиомами. Это – стартовые точки в выводах.

4. Задано множество правил вывода, которые позволяют из некоторой формулы (или множества формул) получать новую формулу.

Алгебра логики — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями (простыми и сложными суждениями). Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения – является ли оно истинным или ложным. Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания " не", " и", " или", " если..., то", " тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание " Тимур поедет летом на море", а через В – высказывание " Тимур летом отправится в горы". Тогда составное высказывание " Тимур летом побывает и на море, и в горах" можно кратко записать как А и В. Здесь " и" – логическая связка, А, В – логические переменные, которые могут принимать только два значения – " истина" или " ложь", обозначаемые, соответственно, " 1" и " 0".

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

НЕ Операция, выражаемая словом " не", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием. Высказывание Ā истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. «Луна – спутник Земли» (А); «Луна – не спутник Земли» (Ā).

И Операция, выражаемая связкой " и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой «^. » (может также обозначаться знаками ۸ или &). Высказывание А ^. В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

ИЛИ Операция, выражаемая связкой " или" (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio – разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

ЕСЛИ-ТО Операция, выражаемая связками " если..., то", " из... следует", "... влечет...", называется импликацией (лат. implico – тесно связаны) и обозначается знаком →. Высказывание А → В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

РАВНОСИЛЬНО Операция, выражаемая связками " тогда и только тогда", " необходимо и достаточно", "... равносильно...", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ↔ или ~. Высказывание А ↔ В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают

Итак, нами рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

 

А→ В =Ā v В.

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

 

А↔ В = (Ā v В) ^. (В v А).

Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания (" не"), затем конъюнкция (" и"), после конъюнкции – дизъюнкция (" или") и в последнюю очередь – импликация.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

Всякое сложное высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции, называется формулой алгебры логики.