Задача №60. Побудувати проекції точок перетину прямої ℓ із заданими поверхнями

Побудувати проекції точок перетину прямої ℓ із заданими поверхнями

 

а) б) в) г) д)

 

 

 

е) ж) з)

 

 

і) к) л)

6.3 П’ята позиційна задача

П’ята позиційна задача – це задача на знаходження лінії перетину кривих поверхонь. Лінія перетину – це сукупність точок, що одночасно належать до обох поверхонь. Якщо одна з поверхонь є проекціювальною відносно певної площини проекцій (наприклад, бічна поверхня прямого циліндра проекціюється в коло), то лінія перетину на цій площині проекцій збігається з лінією проекції поверхні. В такому випадку задача зводиться до перенесення точок, які належать поверхні, на інші проекції поверхонь.

В інших випадках для розв’язування п’ятої позиційної задачі можна застосувати введення поверхонь посередників. Найбільш поширені методи, які засновані на такому введенні, - метод допоміжних січних площин, метод допоміжних концентричних сфер та метод допоміжних ексцентричних сфер. Нижче розглянемо перших два методи.

В методі січних площин як поверхні посередники обираються площини окремого положення. Причому при виборі положення допоміжної площини враховують умову, щоб при перетині із заданими поверхнями утворювалися прості геометричні лінії (кола, прямокутники і т. ін.). Перед введенням допоміжної площини необхідно проаналізувати умову і визначити точки, які не потребують додаткових побудов. Це, наприклад, можуть бути точки, що знаходяться на перетині обрисів поверхонь.

Алгоритмрозв’язування п’ятої позиційної задачі методом січних площин можна подати такими діями:

1) вводимо допоміжну січну площину окремого положення;

2) знаходимо лінії перетину введеної площини окремо з кожною із поверхонь;

3) визначаємо точки перетину знайдених ліній;

4) повторюємо п. 1-3 ще для кількох допоміжних площин;

5) з’єднуємо отримані точки між собою;

6) переносимо проекції отриманих точок на іншу площину проекцій;

7) визначаємо видимість.

На рис. 6.8, 6.9 поданий приклад побудови лінії перетину конуса та циліндра методом допоміжних січних площин. По-перше, визначаємо точки 3₂ та 4₂, які знаходяться на перетині обрисів поверхонь на фронтальній площині проекцій. Горизонтальні проекції цих точок 3₁ та 4₁ отримаємо, якщо перенесемо на горизонтальну проекцію лінії, до якої вони належать. В даному випадку це твірна, яка збігається з обрисом на Π ₂, а на Π ₁ збігається з віссю циліндра. Як допоміжну січну площину обираємо площину горизонтального положення α (α ₂), оскільки при перетині з цією площиною конічна поверхня дає простий переріз у вигляді кола. На Π ₂ – це коло проекціюється у вигляді відрізка, який збігається із слід-проекцією α ₂, а на Π ₁ – у вигляді кола, радіус якого можна визначити. При перетині з циліндром площина α (α ₂) утворює прямокутник, на Π ₂ проекція якого збігається із слід-проекцією α ₂, а на Π ₁ – збігається з обрисом поверхні циліндра. Результатом перетину кола та прямокутника є точки 1₁ та 2₁. Фронтальні проекції цих точок 1₂ та 2₂ отримаємо при перенесенні їх на проекцію α ₂. З’єднавши точки 1-3-2-4-1 отримаємо лінію перетину.

 

 

 

Рисунок 6.8 – Побудова лінії перетину конуса та циліндра методом допоміжних січних площин (наочне зображення)

 

 

Рисунок 6.9 – Побудова лінії перетину конуса та циліндра методом допоміжних січних площин (проекційне креслення)

 

Метод концентричних сфер може бути застосований якщо поверхні, що перетинаються, є поверхнями обертання, причому їх осі перетинаються і лежать в площині паралельній площині проекцій. Як поверхні- посередники обираються сферичні поверхні з постійним центром в точці перетину осей.

Алгоритм розв’язування п’ятої позиційної задачі методом концентричних сфер можна представити такими діями:

1) визначаємо центр допоміжних сфер;

2) визначаємо мінімальний та максимальний радіуси допоміжних сфер;

3) вводимо допоміжну сферичну поверхню;

4) знаходимо лінії перетину введеної сфери окремо з кожною із поверхонь;

5) визначаємо точки перетину знайдених ліній;

6) повторюємо п. 1 - 5 ще для кількох допоміжних сфер;

7) з’єднуємо отримані точки між собою;

8) переносимо проекції отриманих точок на іншу площину проекцій;

9) визначаємо видимість.

Розглянемо застосування вказаного алгоритму на прикладі перетину закритого тора та циліндра (рис.6.10, 6.11).

 

 

 

Рисунок 6.10 – Побудова лінії перетину циліндра та тора методом допоміжних концентричних сфер (наочне зображення)

 

Рисунок 6.11 – Побудова лінії перетину циліндра та тора методом допоміжних концентричних сфер (проекційне креслення)

 

Спочатку визначаємо проекції точок 3₂ і 4₂ як результат перетину обрисів заданих поверхонь. Для визначення найглибших точок 1₂ і 2₂ необхідно ввести допоміжну концентричну сферу із центром в точці О₂ перетину осей циліндра і тора. Радіус сфери обирається таким чином, щоб побудоване коло було вписаним в одну з поверхонь, а іншу перетинало. Результатом перетину тора сферою є коло, яке на фронтальній проекції виглядає як відрізок, що збігається з екватором сфери. Результатом перетину сфери з циліндром є коло, фронтальна проекція якого виглядає як відрізок А₂В₂. Проекції точок 1₂ і 2₂ отримаємо на перетині вказаних відрізків. З’єднуємо точки 3₂ – 1₂ – 4₂ – 2₂ – 3_2. Горизонтальні проекції точок лінії перетину будуємо шляхом перенесення на відповідні проекції ліній, до яких точки належать: точки 3₁ і 4₁ належать до екватора тора, а 1₁ і 2₁ – до головного меридіана. З’єднавши відповідні точки, отримаємо горизонтальну проекцію лінії перетину.

 

 

Задачі для самостійного розв’язування