Приклад розв’язання завдання. Неперервний сигнал обмеженої потужності передається по каналу, у якому діє адитивна завада обмеженої потужності типу білого гаусівського шуму

Неперервний сигнал обмеженої потужності передається по каналу, у якому діє адитивна завада обмеженої потужності типу білого гаусівського шуму. Визначити пропускну здатність каналу та її максимальне значення, якщо смуга пропускання обмежена частотами 0 та F_{c ,} 0 £ F £ F_c, а середні потужності сигналу й завади відповідно становлять P_x, P_x = s ².

Розв’язання. При адитивній заваді x (t) сигнал на виході каналу

 

Z (t) = X (t) + x (t).

 

Пропускну здатність каналу визначимо за формулою

 

Під час передачі конкретного значення сигналу x_i елемент випадковості вносить тільки завада x (t). Тому при будь-якому фіксованому значенні x_i ймовірність того, що випадкова величина z_j набуде значення між x_i i (x + x), дорівнює ймовірності того, що завада буде знаходитися між x і x + dx, тобто

p (z_j / x_i) = p (x);
w (z / x) = w (x) dx.

З урахуванням останньої рівності визначаємо:

де H (x) — ентропія завади.

Таким чином, для адитивної завади умовна ентропія H (Z / X) повністю визначається її властивостями. Визначено [2], що для білого шуму

 

 

тоді

Підставимо цей вираз у формулу для С та отримаємо пропускну здатність каналу, у якому діє завада у вигляді білого гаусівського шуму:

 

Оскільки s_ξ задано, то максимальне значення С буде забезпечено при максимумі H (Z). Оскільки середні потужності вхідного сигналу X (t) і завади x (t) є обмеженими (за умовою), то і середня потужність вихідного сигналу Z (t) також є обмеженою. За такої умови H (Z) буде максимальною величиною, якщо щільність розподілу ймовірностей величини Z (t) – ξ (t) — підпорядковується рівномірному закону. Якщо ж сумарний вихідний сигнал Z (t) та одна з його складових x (t) розподілені за нормальним законом, то і друга складова, тобто вхідний сигнал X (t), також розподілена за нормальним законом.

Таким чином, ентропія вихідного сигналу

 

 

Підставивши цей вираз у формулу для С, отримаємо

 

де — середня потужність вхідного сигналу;

— середня потужність завади.