Приклади розв'язання завдань

Приклад 1. Обчислити автокореляційну функцію сигналу х = [1 2 3].
Роз'язання. Якщо сигнал х (n) є випадковим стаціонарним процесом, то для його аналізу використовують такі статистичні характеристики: математичне сподівання, дисперсія, автокореляційна функція та ін. [8].

Розрахунок математичного сподівання, дисперсії і автокореляційній функції виконується в MATLAB з допомогою функцій mean, std і xcorr відповідно [11].

Автокореляційна функція дискретного сигналу х (n), n = 0, 1,..., N – 1, визначається за формулою

 

, m = 0, 1, …, N – 1, (22)

при цьому R (m) = R (– m), m = 0, 1, …, N – 1.

У MATLAB, де нижній індекс усіх масивів дорівнює одиниці, ці формули набувають вигляду

 

, m = 0, 1, …, N –1,

R (m) = R (– m), m = 2, 3,..., N. (23)

Для цього прикладу маємо: N = 3; n = 1, 2, 3; m = 1, 2, 3.

m = 1; n = (1, 2, 3): R (1) = х (1) x (1) + x (2) х (2) + x (3) x (3) = 3;

m =2; n = (1, 2, 3): R (2) = х (1) х (2) + х (2) х (3) = 2;
m = 3; n = (1, 2, 3): R (3) = х (1) х (3) = 1;
m = –2; R (–2) = R (2) = 2;
m = –3; R (–3) = R (3)= 1.

Приклад 2. Знайти значення автокореляційної функції сигналу

х = [1 0 0 1] безпосередньо за формулою (23).

Роз'язання. Маємо N = 4, n = 1, 2, 3, 4; m = 1, 2, 3, 4.

m = 1; n = (1, 2, 3, 4): R (1) = х (1) х (1)+ х (2) х (2) + х (3) х (3) + х (4) x (4) = 2;
m = 2; n = (1, 2, 3, 4): R (2)= х (1) х (2) + х (2) х (3) + х (3) х (4) = 0;
m = 3; n = (1, 2, 3, 4): R (3) = х (1) х (3) + х (2) х (4) = 0;
m = 4; n = (1, 2, 3, 4): R (4) = х (1) х (4) = 1;
m = –2: R (–2) = R (2) = 0;
m = –3: R (–3) = R (3) = 0;
m = –4: R (–4) = R (4) = 1.

У пакеті MATLAB розрахунок автокореляційної функції сигналу х (n) робимо з допомогою функції соrr, формат якої має вигляд [9]

 

R = corr(х),

 

де х — вектор відліків сигналу;

R — вектор значень автокореляційної функції сигналу х (h_R = h_X – 1), де h_R і h_X відповідно розміри векторів R та x.

З урахуванням того, що нижній індекс масиву r у MATLAB дорівнює одиниці й індекси масиву можуть бути тільки додатними, автокореляційна функція є центрованою (симетричною) відносно значення R (N).

Приклад 3. Роз'язати приклад 1 з допомогою функції хсоrr.

Роз'язання:

»х = [123];
»R = xcorr(x)
R = 1 2 3 2 1

Значення автокореляційної функції є центрованими відносно
R (N) = R (3).

Приклад 4. Роз'язати приклад 2 з допомогою функції хсогг.

Роз'язання:

»х = [1 0 0 1];
»R = xcorr(х)
R = 1.0000 –0.0000 0.0000 2.0000 0.0000 –0.0000.0000.