Приклади розв'язання завдань. Приклад 1. Розробити (синтезувати) функціональну схему декодера паралельного коду Хеммінга, якщо k = 3

Приклад 1. Розробити (синтезувати) функціональну схему декодера паралельного коду Хеммінга, якщо k = 3, n = 6, q_n = 1.

Розв’язання. Якщо розряди основної комбінації позначено через х ₁, х ₂, х ₃,..., х_k, то залежність інформаційних розрядів можна визначити логічними рівняннями

 

у ₃ = х ₁; у ₅ = х ₂; у ₆ = х ₃; у ₇ = х ₄; у ₉ = х ₅. (9)

 

Контрольні розряді (надмірна частина коду) беруться таким чином, щоб при декодуванні можна було встановити не тільки факт наявності помилок у прийнятій комбінації, але й зазначити номер позиції (розряду), у якій трапилася помилка. Це досягається шляхом багаторазової перевірки прийнятої комбінації на парність. Кількість перевірок повинна дорівнювати кількості надмірних (контрольних) розрядів, і кожною перевіркою має охоплюватись певна частина інформаційних розрядів та один надмірний. Унаслідок цього під час кожної перевірки одержують двійковий контрольний сигнал. Якщо результат перевірки дає парне число, то контрольному сигналу присвоюється значення 0, а якщо непарне число — значення 1. На підставі цього й формуються при кодуванні контрольні розряди 1, 2, 4 і т.д. Оскільки значення інформаційних розрядів наперед є відомими (це
у ₃ = х ₁, у ₃ = х ₂, у ₆ = х ₃,... у _j = х_k), то значення контрольних розрядів (1, 2, 4, 8 і т.д.) мають бути такими, щоб сума одиниць у кожній перевірній групі була парним числом. На основі цього контрольні розряди описуються системою логічних рівнянь

(10)

Функціональна схема кодера Хеммінга розробляється на основі систем рівнянь (10). На рис. 10 показано функціональну схему кодера паралельного коду.

Рис. 10

 

Цей кодер містить шифратор 1, вузол 2 елементів складання за модулем 2 і регістр 3. Перетворення паралельного коду Хеммінга здійснюється за один такт. Складність кодера виражається кількістю точок з’єднання:

 

Т ₁ £ N + k (r + 1) + 3 n. (11)

Приклад 2. Розробити (синтезувати) функціональну схему декодера паралельного коду Хеммінга, якщо k = 3, n = 6, q_n = 1.

Розв’язання. Позначимо входи через у ₁, у ₂, у ₃,..., у_і. Надмірні розряди — 1, 2, 4 (тобто у ₁, у ₂, у ₄), інформаційні — 3, 5, 6 (тобто у ₃, у ₅, у ₆). Тоді система логічних рівнянь набуває вигляду

(12)

де

Із кодування кодами Хеммінга випливає, що надмірні розряди визначаються таким чином, щоб при декодуванні можна було встановити не тільки факт наявності помилки в прийнятій програмі, але й показати номер позиції, у якій сталася помилка. Це досягається внаслідок багаторазової перевірки прийнятої кодограми на парність.

Кількість перевірок дорівнює кількості надмірних розрядів r. Кожною перевіркою охоплюється частина інформаційних розрядів і один із надмірних розрядів. Якщо результат перевірки дає парне число, то контрольному символу присвоюється значення 0, якщо непарне число, то 1. Унаслідок усіх перевірок виникає r -розрядне контрольне двійкове число. Якщо це число дорівнює нулю, то кодограму прийнято правильно, якщо не дорівнює нулю, то кодограму спотворено. При цьому номер контрольного числа відповідає номеру спотвореної позиції кодограми. Для виправлення помилки досить лише змінити значення цього розряду на протилежне.

Визначимо залежність значень розрядів контрольного числа від значень розрядів кодограми. Унаслідок першої перевірки знаходиться значення молодшого розряду. Якщо значення цього розряду дорівнює одиниці, то один із символів перевірної групи є спотвореним. Наявність одиниці в молодшому розряді контрольного числа свідчить про те, що контрольне число буде непарним, незалежно від результатів останніх перевірок. Отже, першою перевіркою мають бути охоплені непарні розряди кодограми. Якщо позначити позиції кодограм через у ₁, у ₂, у ₃,..., у_n, а позиції контрольного числа через S ₁, S ₂, S ₃ і т.д., то

 

S ₁ = y ₁ Å y ₃ Å y ₅ Å... (13)

 

Під час другої перевірки треба проконтролювати розряди кодограми, які містять у двійковому запису одиниці в других розрядах, тобто 2, 3, 6, 7 і т.д. Отже, логічний вираз, що описує цю перевірку, має вигляд

 

S ₂ = y ₂ Å y ₃ Å y ₆ Å... (14)

Аналогічно

 

S ₃ = y ₄ Å y ₅ Å y ₆ Å...,

S ₄ = y ₈ Å y ₉ Å y ₁₀ Å y ₁₁ Å y ₁₂ Å... (15)

Після усіх перевірок виникає r -розрядне контрольне число K, яке вказує на правильність прийнятої кодограми, якщо це число дорівнює нулю, або на номер позиції (розряду) кодограми, де виникла помилка, якщо це число не дорівнює нулю.

На основі системи логічних рівнянь (12) розроблено функціональну схему декодера паралельного коду Хеммінга, яку зображено на рис. 11.

Рис. 11

Декодер містить три елементи додавання 1 – 3 за модулем 2, дешифратор 4, три диз’юнктори 5 – 7, три інвертори 8 – 10, три елементи 2І-АБО 11 – 13.