Приклади розв'язання завдань. Приклад 1. Обчислити дисретне перетворення Фур'є (ДПФ) сигналу х(n)

Приклад 1. Обчислити дисретне перетворення Фур'є (ДПФ) сигналу х (n)

х (n) = 0, 7sin(2 π f ₁ nT) + 0, 5sin(2 π f ₂ nT),

де n =1, 2,..., 1024 (N = 1024);

f ₁ = 500 Гц;

f ₂ = 750 Гц.

Розв'язання. Нехай частота дискретизації f_s становить 2000 Гц, період дискретизації Т_S = 1/2000 с. Тоді сигнал має вигляд

Аналіз дискретного сигналу в частотній області здійснюється з допомогою ДПФ [10]:

- прямого

, де k = 0, 1,..., N – 1; (24)

 

- зворотного

, де n = 0, 1, …, N – 1, (25)

 

де N — кількість відліків вхідного сигналу й коефіцієнтів ДПФ Х (k) на періоді.

Коефіцієнти ДПФ Х (k) (24) обчислюються за алгоритмом БПФ Кулі–Тьюки з допомогою функції fft, формат якої має вигляд

 

X=fft(x), або X=fft(x, m),

де х — вектор відліків вхідного сигналу х (n);
X — вектор коефіцієнтів ДПФ Х (k);
m — кількість відліків сигналу х (n), за якими обчислюється ДПФ.

Якщо m < N, то до вектора х додаються нульові елементи, якщо
m > N, то елементи вектора х, починаючи з n > m, при обчисленні ДПФ не враховуються.

Коефіцієнти ДПФ Х (k) у загальному випадку — комплексні числа, тому визначають їхні модуль і аргумент.

Модуль коефіцієнтів ДПФ обчислюється як (2/N) abs (X). Аргумент коефіцієнтів ДПФ обчислюється як angle (X) [11].

Розв'язання:

» n = 1: 1024;
» x = 0.7*sin(0.5*pi.*n)+0.5*sin(0.75*pi.*n)
» X = fft(x);
» MOD = (2/1024)*abs(X);
» stem(n, MOD), grid
» gtext('Коефіцієнти ДПФ')
» xlabel ('Вісь k')

Графік модуля коефіцієнтів ДПФ Х наведено на рис. 16.

Рис. 16

 

Отриманий графік є симетричним відносно k = N/2 — межі основної смуги частот. Для того щоб визначити значення k, які відповідають частотам гармонік (у прикладі - двом), необхідно скласти пропорцію

 

f → f_s ↔ k → N.

 

Звідси

 

k = fN / f_s.

 

Для наведеного прикладу

 

k ₁ = 500·1024/2000 = 1024/4 = 256;

k ₂ = 750 – 1024/2000 = 384.

 

Відліки сигналу х (n) обчислюються на основі оберненого ДПФ (25) з допомогою функції ifft, формат якої має вигляд

 

x=ifft(X) або x=ifft(X, m),

де х — вектор відліків вхідного сигналу х (n);
X — вектор коефіцієнтів ДПФ Х (k);
m — кількість відліків сигналу Х (k), за якими обчислюється ДПФ.

Якщо m < N, то до вектора х додаються нульові елементи; якщо
m > N, то елементи вектора х, починаючи з n > m, при обчисленні х (n) не враховуються.

Приклад 2. Обчислити значення ДПФ сигналу

 

х (n) = 0, 7sin(2 π f ₁ nT),

 

де n = 1, 2,..., 8 (N = 8);

f ₁ = 500 Гц;

f_s = 2000 Гц;

Т = 1/2000 с.

Таким чином, сигнал має вигляд

 

х (n) = 0, 7sin(2 π 500 n /2000) = 0, 7sin(0, 5 π n).

 

Розв'язання. За обчисленими коефіцієнтами ДПФ визначаємо початкові значення сигналу:

» n = 1: 8;
» x = 0.7sin(0.5pi.n)

х =
Columns 1 through 7
0.7000 0.0000 –0.7000 –0.0000 0.7000 0.0000 –0.7000
Column 8
-0.0000»

» X = fft(x)
X =
Columns 1 through 4
-0.0000 -0.0000 –0.0000 2.8000 –0.0001 0.0000 –0.0001
Columns 5 through 8
0.0000 0.0000 + 0.00001 2.8000 + 0.0001-0.0000 + 0.0001

» x = ifft(X)
x =
Columns 1 through 4
0.7000 0.0000 + 0.0001 –0.7000 –0.0000 –0.0001
Columns 5 through 8
0.7000 0.0000 + 0.0001 -0.7000 –0.0000 –0.0001.