Приклад розв'язання завдання. Зробити розрахунок смугового цифрового фільтра з такими вихідними даними: ωн = 0,3π; ωв = 0,6π; δp = 0,1; K = 0,02 [4–7]

Зробити розрахунок смугового цифрового фільтра з такими вихідними даними: ω _н = 0, 3 π; ω _в = 0, 6 π; δ _p = 0, 1; K = 0, 02 [4–7].

Розв’язання. Ідеальним смуговим фільтром називають фільтр, що має одиничну амплітудно-частотну характеристику в смузі від певної нижньої частоти ω _н до певної верхньої частоти ω _в і нульовий коефіцієнт передачі за межами цієї смуги (для цифрових фільтрів — у головному частотному діапазоні).

Імпульсна реакція фільтра h(t) (коефіцієнти оператора) знаходиться зворотним перетворенням Фур'є заданої передавальної функції H (ω). У загальному випадку

 

. (16)

 

Для отримання дійсної функції імпульсного відгуку фільтра дійсна частина передавальної функції має бути парною, а уявна — непарною. Цифрові фільтри задаються в головному частотному діапазоні, межі якого (частота Найквіста ± ω _N) визначаються інтервалом дискретизації даних (ω _N = = π /Δ t), що підлягають фільтрації, і відповідно визначають інтервал дискретизації оператора фільтра (Δ t = π / ω _N). Для фільтрів з нульовим фазовим зсувом уявна частина передавальної функції має дорівнювати нулю, при цьому оператор фільтра визначається косинусним перетворенням Фур'є [5, 6]

 

h (n Δ t) = (1/π) H (ω) cos(n π ω /ω _N) d ω, n = 0, 1, 2,... (17)

 

Для ідеального смугового фільтра H (ω) = 1 в смузі частот від ω _н до ω _в, тому інтеграл обчислюється в цих межах. Ідеальні фільтри низьких і високих частот як окремі випадки ідеальних СФ інтегруються в діапазоні від 0 до ω _в для низькочастотного і від ω _н до ω _N для високочастотного фільтрів.

При інтервалі дискретизації даних Δ t, який умовно беретьться за одиницю, головний частотний діапазон передавальних функцій обмежується значенням частоти Найквіста від – π до π. Якщо інтервал дискретизації даних у фізичних одиницях відрізняється від одиниці, то це позначається тільки на зміненні масштабу частотної шкали передавальних функцій.

При H (ω) = 1 у смузі пропускання (ω _в, ω _в) і H (ω) = 0 за її межами для ідеальних симетричних смугових нерекурсивних цифрових фільтрів (НЦФ) з межами інтегрування відповідно від ω _н до ω _в у загальному вигляді отримуємо

 

h (n) = (А / π) [ ω _в sinc(nω _в) – ω _н sinc(nω _вн)],

 

h (0) = (ω _в – ω _н)/ π, h (n) = (sin(nω _в) – sin(nω _н))/(nπ),

 

де sinc(nω) = sin(nω)/(nω) — функція інтегрального синуса (функція відліків), яка є нескінченною за координатою ω.

Розмір оператора фільтра визначається приблизно з таких міркувань: чим більше розмір оператора, тим крутішою буде перехідна зона і меншим її розмір, тобто тим ближчою буде фактично реалізована передавальна функція фільтра до ідеальної. Спочатку слід спробувати побудувати фільтр досить великого розміру, оцінити його відповідність заданій частотній характеристиці й надалі спробувати його зменшити. Значення N для симетричних НЦФ має бути непарним числом.

Оператор ідеального частотного НЦФ, як це випливає з виразу (17), є нескінченною згасаючою числовою послідовністю, що реалізує задану передавальну функцію:

.

(18)

 

Нескінченний ряд (18) на практиці доводиться обмежувати певною кількістю членів його кінцевого наближення [7]:

 

.

(19)

 

При цьому передавальна функція ускладнюється явищем Гіббса і виникає перехідна зона між смугами пропускання й заглушення сигналу (рис. 12, пунктирна крива при N = 100).

 

Рис. 12

 

Явище Гіббса формує перші стрибки передавальної функції на відстані π /(2(N + 1)) від скачків (розривів першого роду). Якщо ширину перехідної зони Δ _p у першому наближенні взяти за відстань між першими стрибками по обидві сторони від стрибка функції H (ω), то її значення буде орієнтовно таким: π /(2(N + 1)) = Δ _p.

Якщо рівень пульсацій передавальної функції, що визначається явищем Гіббса, не задовольняє поставлені завдання фільтрації сигналів, то рекомендується використовувати згладжувальні вагові функції. З урахуванням того, що при застосуванні вагових функцій відбувається розширення перехідних зон приблизно в два рази, значення ширини перехідної зони Δ _p = π /(2(N + 1). Звідси можна визначити мінімальну кількість членів зрізаного ряду за заданим розміром перехідної зони:

 

N = 2 π /δ _p. (20)

 

Для прикладу на рис. 12 значення N взято таким, що дорівнює 200, при цьому крутість перехідної зони збільшилася (тонка крива H ′ (ω),
N = 200), створюючи запас на подальше згладжування вагової функції.

Вибір вагових функцій доцільно здійснювати за допустимою величиною осциляцій посилення сигналу в смузі пригнічення, тобто за відносним значенням амплітуди першого стрибка на передавальних характеристиках вагових функцій. Для вибраної вагової функції (з урахуванням кількості її членів за формулою (19)) робиться розрахунок вагових коефіцієнтів p_n, після чого встановлюються остаточні значення оператора фільтра:

 

h_n = p_nh (n). (21)

 

Підставленням коефіцієнтів із (20) в (21) рекомендується побудувати отриману передавальну характеристику фільтра й безпосередньо за нею оцінити придатність фільтра за призначенням. Це наочно видно на рис. 12, де для прикладу було застосовано вагову функцію Гаусса. Передавальна функція H_p (ω) має практично таку саму крутизну, як і функція H ′ (ω), при N = 100 і плоску вершину в інтервалі спектра сигналу. Якість роботи фільтра для сигналу, зображеного на рис. 12, можна бачити на рис. 13 (угорі — вхідний сигнал, внизу — вихідний).

 

Рис. 13

Якщо необхідно точніше оцінити отриману передавальну функцію, то рекомендується збільшити її частотний діапазон в 2 – 4 рази перед виконанням перетворення Фур'є, що можна виконати збільшенням розмірів оператора h_n, доповнюючи його нулями.

Проведемо синтез смугового фільра з такими параметрами: ω _н = 0.3 π, ω _в = 0.6 π, Δ _p = 0.1 π, δ _ρ = 0.02. Параметри фільтра розраховують у такій послідовності:

– згасання сигналу в загороджувальній зоні

А = – 20log δ _ρ = 34;

 

– довжина вікна фільтра

 

N = π (A – 7, 95)/(14, 36 δ _p) = 18;

– значення параметра віконної функції

 

β = 0, 5842(A – 21)^{0, 4} + 0, 07886(A – 21)   = 2, 62;

– нульовий відлік передавальної функції

h ₀ = (ω _в – ω _н)/ π; h ₀ = 0, 3;

– наступні відліки передавальної функції для n = 1, 2,..., 18

 

h (n) = (sin(nω _в) – sin(n ω _н))/(nπ) =

= 0, 04521; – 0, 24490; – 0, 09515;...; 0, 02721;

– оператори відліків віконної функції

 

p_n = J_o{ β }/J_o{ β } = 1, 00; 0, 997; 0, 9882; …;

 

– значення оператора фільтра

 

h_n = p_nh (n), n = 0, 1, 2,..., N.

h _{– n} = h_n; h_n = 0, 3000; 0, 04508; – 0, 2420; …;

– перевірка форми передавальної функції за формулою

H (ω) = ω, 0 £ ω £ π.

Для оцінювання форми передавальної функції кількість точок спектра в интервалі (0, π) достатньо задати такою, що дорівнює 2 N, тобто з кроком
Δ t ≤ π /36.