Краткие теоретические сведения. Физическим маятником (ФМ) называется твердое тело, которое может колебаться под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси (не проходящей через центр

Физическим маятником (ФМ) называется твердое тело, которое может колебаться под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси (не проходящей через центр масс тела).

При колебании ФМ как бы вращается вокруг оси О (рис. 3.1). (Кстати, точку О пересечения оси с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс С тела, называют точкой подвеса). Следовательно, движение маятника подчиняется основному уравнению динамики вращательного движения:

или М = I e, (3.1)

где М - момент силы тяжести относительно оси О; I - момент инерции маятника относительно той же оси; - угловое ускорение маятника.

Из рис 3.1 видно, что

М = - mgb Sinj, (3.2)

где: m - масса маятника;

b Sin j - плечо силы тяжести mg;

b - расстояние от точки подвеса О до центра масс С.

Знак “-” означает, что вращающий момент М стремится уменьшить угол j, характеризующий положение маятника по отношению к равновесному состоянию. Более строго смысл знака “-” объясняется так: псевдовекторы момента сил и смещения от положения равновесия направлены в противоположные стороны (для ситуации, изображенной на рис. 3.1 первый направлен за плоскость чертежа, а второй - из этой плоскости на наблюдателя). Помня, что , и учитывая (3.1), уравнение (3.2) запишем в виде

. (3.3)

При малых отклонениях маятника (именно этот случай мы и будем иметь в виду) Sin j» j, а потому равенство (3.3) после деления на I примет вид

(3.4)

Величина mgb / I, как сугубо положительная, может быть заменена квадратом некоторого числа:

mgb / I º w₀² (3.5)

Тогда уравнение (3.4) можно переписать как

(3.6)

Используя прямую подстановку, убеждаемся, что решением уравнения (3.6) является выражение

j = j₀Cos(w₀ t + a ). (3.7)

 

Это свидетельствует о том, что ФМ совершает в этих условиях незатухающие гармонические колебания с циклической частотой w₀. j₀ иa - постоянные (амплитуда и начальная фаза), зависящие от начальных условий.

Период колебаний ФМ

(3.8)

I / mb имеет размерность длины. Эта величина обозначается через L и называется приведенной длиной ФМ:

L = I / mb (3.9)

Таким образом,

(3.10)

Сравнивая (3.10) с формулой для периода колебаний математического маятника T = , где l - длина математического маятника, видим, что приведенная длина ФМ - это длина такого математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом колебаний данного ФМ. Легко заметить, что L > b. В самомделе, в соответствии с теоремой Штейнера I = I _с + mb², где I _c - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс. Следовательно, по выражению (3.9)

 

(3.11)

 

откуда видно, что L> b.

Точку О₁ (см. рис. 3.1), отстоящую от О на расстоянии L, называют точкой качаний.