Тема работы: Системы счисления

Цель работы: изучить информационно-логические основы построения вычислительных машин.

Для правильного понимания архитектуры и эффективного использования ЭВМ необходимо познакомиться с принципами кодирования информации и построения ЭВМ – системами счисления и принципами Дж. Фон Неймана.

Разные народы в разные времена использовали разные системы счисления. Следы древних систем счета встречаются и сегодня культуре многих народов. К древнему Вавилону восходит деление часа на 60 минут и угла на 360 градусов. К Древнему Риму – традиция записывать в римской записи числа I, II, III и т. д. К англосаксам – счет дюжинами: в году 12 месяцев, в футе 12 дюймов, сутки делятся на 2 периода по 12 часов.

По современным данным, развитые системы нумерации впервые появились в древнем Египте. Для записи чисел египтяне применяли иероглифы один, десять, сто, тысяча и т.д. Все остальные числа записывались с помощью этих иероглифов и операции сложения. Основным недостатком этой системы является сложность записи больших чисел и ее громоздкость.

В конце концов, самой популярной системой счисления оказалась десятичная система. Десятичная система счисления пришла из Индии, где она появилась не позднее VI в. н. э. В ней всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но также и место позиция, на которой она стоит. В числе 444 три одинаковых цифры обозначают количество и единиц, и десятков, и сотен. А вот в числе 400 первая цифра обозначает число сотен, два 0 сами по себе вклад в число не дают, а нужны лишь для указания позиции цифры.

Система счисления – это совокупность соглашений, правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления.

Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе:

; ; и т. д.

Различают два типа систем счисления:

o позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

o непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

где S– основание системы счисления;

– цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n – количество разрядов числа.

В дальнейшем мы будем рассматривать только позиционные системы счисления, нашедшие широкое применение в вычислительной технике и практической жизни.

Наиболее важными особенностями позиционных систем счисления являются следующие:

· количество цифр системы равно ее основанию;

· наибольшая цифра на единицу меньше основания:

· каждая цифра числа умножается на основание в степени, значение которой определяется положением цифры.

К позиционным системам счисления обычно предъявляют требования однозначности, конечности и эффективности.

Требование однозначности обозначает, что каждому числу x должен соответствовать один и только один код, и наоборот.

Требование конечности – каждому целому числу х должен соответствовать код конечной длины.

Требование эффективност и означает существование алгоритма (правила), позволяющего за конечное число шагов получить значение числа по его коду. Системы счисления, отвечающие всем этим требованиям, называются каноническими

Пример. Число запишется в форме многочлена следующим образом: