Теоретическая часть. Математическое описание линейных блоков

Математическое описание линейных блоков.

Рассмотрим линейный блок Q, преобразующий входной сигнал x (t) в выходной сигнал y (t) (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Исследуемая система

 

Напомним, что блок называется линейным, если он удовлетворяет принципу суперпозиции, который нестрого формулируется следующим образом: следствие от суммы причин равно сумме следствий от каждой из причин, взятых в отдельности.

Это означает, что если y ₁ и y ₂  реакции блока на входные сигналы x ₁ и x ₂, то реакция блока на входной сигнал x = c ₁ x ₁ + c ₂ x ₂ должна быть равна y = c ₁ y ₁ + c ₂ y ₂ при любых числах c ₁, c ₂ и любых сигналах x ₁, x ₂.

Например, линейность интегратора, описываемого уравнением , следует из известного правила " интеграл суммы равен сумме интегралов":

Для квадратора, описываемого уравнением y = x ², принцип суперпозиции не выполняется, так как , поэтому квадратор является нелинейным блоком.

Удобным средством для моделирования структурных схем в системе MATLAB является SIMULINK. Он содержит библиотеки различных блоков, из которых в рабочем окне с помощью мышки строится структурная схема модели.

Рассмотрим некоторые из типовых вычислительных блоков.

Масштабный усилитель (обозначается треугольником с надписью gain) реализует математическую зависимость y=ax, где а – коэффициент усиления. Если а = –1 то масштабный усилитель превращается в инвертор – блок, изменяющий знак входного сигнала. Инвертор реализует зависимость у = – х.

Сумматор (обозначается кружком, треугольником или прямоугольником с надписью sum) реализует зависимость y = ± x 1 ± x 2 ± x 3, знаки суммирования и число слагаемых можно изменять, щелкнув по блоку мышкой. Оба эти блока находятся в библиотеке (группе блоков) Math Operations.

Простейший динамический блок – интегратор (изображается треугольником или прямоугольником с обозначением внутри и надписью integrator). Он находится в библиотеке Continuos и реализует зависимость

 

Для установки начального условия у ₀ надо войти внутрь блока, щелкнув по нему мышкой. Например, если у ₀=2 и на вход интегратора поступает сигнал х= 1, то выходной сигнал определяется формулой y = 2 +t. Это линейно изменяющееся напряжение, осциллограмма которого имеет вид наклонной прямой.

Соединяя блоки определенным образом между собой, получают схемы для реализации различных функций времени, решения дифференциальных уравнений, моделирования технических объектов.

В частности, для получения экспоненциальных функций можно использовать интегратор, охваченный положительной или отрицательной обратной связью (рис. 4.2, а, б).

Рис. 4.2. Получение экспоненциальных функций

 

Чтобы найти вид выходного сигнала первой из этих схем, выпишем уравнение для ее выходного сигнала

Это дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменной y. Решим его методом разделения переменных:

Аналогичные выкладки для второй схемы приводят к выражению Графики этих сигналов показаны на рис. 4.2, в.

В библиотеке Continous имеется также блок для моделирования произвольной передаточной функции (transfer function). Он обозначается прямоугольником с надписью Transfer Fcn и обозначением внутри. Он, в частности, позволяет моделировать линейные блоки, которые можно описать дифференциальным уравнением первого порядка

(1)

При исследовании и моделировании бортовых систем такими уравнениями пользуются для описания динамики автопилотов, сервоприводов и измерительных датчиков. Постоянные коэффициенты a ₀, a ₁, b ₀, b ₁ зависят от технических параметров соответствующих устройств.

Линейному блоку вида (1) соответствует передаточная функция первого порядка.

Определение 1. Передаточной функцией Q(p) линейного блока называется отношение изображений по Лапласу его выходного и входного сигналов

(2)

при нулевых начальных условиях.

Напомним, что изображение по Лапласу F(p) функции f(t) задается формулой

(3)

Оно определено для функций f (t), равных нулю при t < 0.

 

Пример 1. Функцией единичного скачка (единичной функцией) называется функция

Ее изображение по Лапласу имеет вид

Производная по времени от функции единичного скачка называется дельта-функцией: . Она равна нулю везде, кроме точки t = 0, в которой она принимает бесконечно большое значение. Ее инженерная интерпретация – очень короткий импульс единичной площади. Операции дифференцирования по времени соответствует умножение на оператор р в области изображений по Лапласу, поэтому для изображения функции получаем .

В пакете MATLAB для получения единичной функции имеется команда stepfun. В SIMULINK эта функция получается с помощью блока step, находящегося в библиотеке Sources (источники).

Установим вид передаточной функции блоков первого порядка. Для этого применим к обеим частям уравнения (1) преобразование Лапласа (начальные условия считаем нулевыми)

Отсюда получаем

Здесь X (p) и Y (p) изображения сигналов x (t) и y (t) по Лапласу,

Q (p) – передаточная функция (ПФ) блока Q.

Замечание 1. В зарубежной литературе (и в SIMULINK) в качестве аргумента передаточной функции используется буква s. Мы употребляем букву р, придерживаясь традиций отечественной учебной литературы.

Замечание 2. В определении ПФ не оговаривается вид входного сигнала. Дело в том, что для линейных блоков отношение Y (p)/ X (p) не зависит от вида x (t) (для отношения y (t) /x (t) это, разумеется, неверно). Поэтому при нахождении ПФ можно использовать любой входной сигнал, не равный тождественно нулю.

Пример 2. Найдем передаточную функцию интегратора.

Полагая x (t)=1(t), получим y (t)= t, t ≥ 0. Изображения входного и выходного сигналов, соответственно, равны 1/ p и 1/ p ², следовательно, ПФ интегратора имеет вид Q(p) = 1 /p.

Пример 3. Найдем передаточную функцию усилителя с коэффициентом усиления k.

Полагая x (t)=1(t), получим y (t)= k· 1(t), т.е. ПФ

 

Прохождение сигналов через линейные звенья.

Определение ПФ с помощью формулы (2) остается справедливым для линейных стационарных звеньев произвольного порядка, а также для схем, составленных из таких звеньев.

Удобство использования передаточной функции состоит в том, что она позволяет определять реакцию y (t) звена Q на любой конкретный входной сигнал x (t). Для этого находят изображение X (p) входного сигнала (по таблице преобразований Лапласа) и умножают его на передаточную функцию Q (p), получая тем самым изображение выходного сигнала Y (p).

Затем, используя таблицу, выполняют обратный переход от найденного изображения к оригиналу y (t).

Пример 4. Найдем реакцию сервопривода с передаточной функцией Q (p) = k / (T p+ 1) (апериодическое звено) на управляющее воздействие x (t) = 1(t). Коэффициент усиления сервопривода k =1, постоянная времени T = 0, 1 c.

В соответствии с примером 1 , следовательно, ).

Представим Y (p) в виде суммы простейших дробей

Обращаясь к таблице преобразований Лапласа, находим соответствующий оригинал y (t)=1– e ^{-10 t} . Графики сигналов x (t) и y (t) приведены на рис. 3. Величина τ = 3 T приблизительно характеризует время отработки входного сигнала сервоприводом.

 

Рис. 3. Переходная функция сервопривода

 

Пример 5. Найдем реакцию изодромного звена с передаточной функцией 1, на входной сигнал X= cos(ω t), если k = 2, T = 1c, .

Изображение входного сигнала имеет вид , поэтому

.

Выполняем разложение на простейшие дроби

.

Постоянные A, B, C находим, приводя выражение в правой части к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p в числителях правой и левой части: A = B = 1; С = – 1. Возвращаясь к оригиналам, получаем y (t)= e^-t+ cos t- sin t.

Ввиду того, что реакция звена на импульсное или ступенчатое воздействие исчерпывающим образом характеризует линейное звено, в теории управления для них используются специальные термины.

Определение 2. Импульсной весовой характеристикой (весовой функцией) q (t) называется реакция звена на входной сигнал x (t) = δ (t). Импульсной переходной характеристикой (переходной функцией) p (t) называется реакция звена на входной сигнал x (t) = 1(t).

Эти функции связаны соотношением , которое следует из равенства . Отсюда вытекает, что при компьютерном моделировании весовую характеристику блока с ПФ Q(p), т.е. реакцию на x (t)=δ (t), можно получить, подавая единичный скачок на блок с ПФ pQ (p). Другой способ – использовать сигнал с входа выходного интегратора схемы.