Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теоретическая часть. 1. Описание систем структурной схемой и передаточной функцией





 

1. Описание систем структурной схемой и передаточной функцией.

В инженерной практике используются различные способы задания динамических систем – с помощью структурных схем, передаточных функций, дифференциальных уравнений, а также с помощью частотных и временных характеристик. Проиллюстрируем их на примере следящей системы, структурная схема которой представлена на рис.1. В ее состав входят инерционное усилительное звено с передаточной функцией k/(T 1 p + 1 ), двигатель с передаточной функцией 1/ (T 2 p) и вычитающее устройство для сравнения входного сигнала u и выходного сигнала следящей системы y. Следящая система должна работать таким образом, чтобы угол поворота двигателя у по возможности точно равнялся значению входного сигнала и (задача слежения).

Рис. 1. структура следящей системы

 

Способ задания моделей объектов с помощью схемы (типа приведенной на рис.1) называется структурным, поскольку он отражает реальную структуру объекта.

По передаточным функциям отдельных блоков можно построить общую передаточную функцию следящей системы , связывающую изображения по Лапласу входного и выходного сигналов.

Для этого в соответствии со структурной схемой выписывается система уравнений

(1)

которая затем преобразуется к одному уравнению, путем исключения переменной e (p):

Далее, выражая выходной сигнал Y (p) через входной U (p), получаем

где Q (p) - передаточная функция системы.

В нашем случае она имеет вид

По сравнению со структурным описанием передаточная функция является более компактной математической моделью, в то же время она позволяет анализировать такие характеристики, как устойчивость и минимальность объекта.

2. Описание систем дифференциальными уравнениями.

От передаточной функции легко осуществить переход к описанию системы с помощью дифференциального уравнения. В рассматриваемом случае для этого достаточно в уравнении

раскрыть скобки и заменить оператор p оператором дифференцирования d / d t

(2)

Решая это дифференциальное уравнение, можно найти реакцию следящей системы на любое входное воздействие.

Аналитическое решение y (t) дифференциального уравнения (2) является суммой решения однородного уравнения y одн(t) и частного решения дифференциального уравнения yчастн(t).

Для получения y одн(t) составляем характеристическое уравнение и находим его корни p 1 и p 2. Если они вещественные и различные, то решение однородного уравнения ищется в виде где С 1 и С 2 коэффициенты, зависящие от начальных условий и определяемые в дальнейшем. Если корни одинаковые (кратные) p 1 =p 2, то решение имеет вид . Паре комплексных корней соответствует решение .

Во всех случаях система оказывается устойчивой, если корни лежат в левой полуплоскости (при этом решение однородного уравнения с течением времени стремится к нулю).

Частное решение дифференциального уравнения определяется видом правой части дифференциального уравнения (2). Если, например, там стоит экспоненциальная функция u=e-t, то и частное решение нужно искать в виде экспоненты yчастн =Ce-t. Если u = 1(t), его следует искать в виде константы yчастн = C. Для определения C надо подставить частное решение в дифференциальное уравнение. Учитывая, что производная от константы равна нулю, находим, что в последнем случае C = 1.

Значения постоянных С 1, С 2 определяются путем подстановки в полученное решение начальных условий. Например, в случае нулевых начальных условий и решения вида постоянные С1 и С2 находятся из системы уравнений

C 1 + C 2 + 1 = 0; p 1 C 1 + p 2 C 2 = 0.

Наряду с заданием объекта одним дифференциальным уравнением типа (2) часто используют описание с помощью системы дифференциальных уравнений первого порядка. Оно известно как матричное описание или описание в пространстве состояний.

Для получения описания следящей системы в пространстве состояний выберем в качестве переменных состояния x 1 и x 2 выходные сигналы звеньев первого порядка на структурной схеме рис. 1.

Составим для каждого из них дифференциальное уравнение первого порядка

, .

Кроме того, запишем алгебраическое уравнение для выходного сигнала y = x2.

В матричном виде это описание имеет вид

где

Анализируя это описание, можно оценить устойчивость, управляемость, наблюдаемость и другие характеристики системы.

3. Взаимосвязь описаний.

Все рассматриваемые виды описаний тесно взаимосвязаны, поэтому, зная одно из них, можно получить остальные. Например, связь между матрицами A, b, c описания в пространстве состояний и передаточной функцией системы Q(p) задается уравнением

(3)

где p – оператор Лапласа, E - единичная матрица.

Любое из рассмотренных описаний системы позволяет рассчитывать ее реакцию на типовые входные сигналы. Чаще всего систему характеризуют реакцией на дельта-функцию u=δ (t) и на единичную функцию (функцию единичного скачка) u = 1(t). Эти реакции известны как импульсная весовая характеристика системы y = q (t) и переходная характеристика y = p (t). Их изображения по Лапласу связаны с передаточной функцией формулами

(4)

которые удобно использовать для нахождения весовой и переходной характеристики.

Другой подход к описанию системы связан с использованием частотных характеристик. Они получаются рассмотрением функции комплексной переменной, получаемой из формулы (3) заменой

4. Моделирование в пакете MATLAB и SIMULINK.

Пакет MATLAB поддерживает все виды описаний динамических систем, включая структурные схемы, передаточные функции и матричное описание в пространстве состояний. Для работы со структурными схемами в пакете MATLAB имеется приложение SIMULINK. Его можно вызвать, набирая в командном окне MATLAB команду simulink.

Численное моделирование следящей системы в MATLAB выполняется с помощью команд impulse, step, lsim. Предварительно надо ввести числитель num и знаменатель den передаточной функции либо матрицы A, B, C, D описания в пространстве состояний и сформировать структуру sys=tf(num, den) либо sys=ss(A, B, C, D). После этого весовая функция и переходная функция находятся командами impulse(sys), step(sys), а реакции на произвольные входные сигналы, такие как u=e-t, рассчитываются с помощью команды lsim.

Реализация различных соединений блоков может быть осуществлена программно с помощью команд parallel, series, feedback, append и некоторых других. Для этой цели можно использовать также команды +, –, *.

В MATLAB можно получать не только численное, но и символьное решение дифференциальных уравнений. Это делается с помощью команды dsolve тулбокса SYMBOLIC. Входными аргументами команды служат дифференциальное уравнение и начальные условия. Например, для решения дифференциального уравнения  с нулевыми начальными условиями следует набрать код

> > y=dsolve('D2у+3*Dу+2*y=2', 'Dy(0)=0', 'y(0)=0')

MATLAB выдаст ответ y =1+exp(-2*t)-2*exp(-t), т.е. y= 1+ e –2 t –2 e–t.

 







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 823. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Пункты решения командира взвода на организацию боя. уяснение полученной задачи; оценка обстановки; принятие решения; проведение рекогносцировки; отдача боевого приказа; организация взаимодействия...

Что такое пропорции? Это соотношение частей целого между собой. Что может являться частями в образе или в луке...

Растягивание костей и хрящей. Данные способы применимы в случае закрытых зон роста. Врачи-хирурги выяснили...

Основные симптомы при заболеваниях органов кровообращения При болезнях органов кровообращения больные могут предъявлять различные жалобы: боли в области сердца и за грудиной, одышка, сердцебиение, перебои в сердце, удушье, отеки, цианоз головная боль, увеличение печени, слабость...

Вопрос 1. Коллективные средства защиты: вентиляция, освещение, защита от шума и вибрации Коллективные средства защиты: вентиляция, освещение, защита от шума и вибрации К коллективным средствам защиты относятся: вентиляция, отопление, освещение, защита от шума и вибрации...

Задержки и неисправности пистолета Макарова 1.Что может произойти при стрельбе из пистолета, если загрязнятся пазы на рамке...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия