Теоретическая часть. 1. Описание систем структурной схемой и передаточной функцией

 

1. Описание систем структурной схемой и передаточной функцией.

В инженерной практике используются различные способы задания динамических систем – с помощью структурных схем, передаточных функций, дифференциальных уравнений, а также с помощью частотных и временных характеристик. Проиллюстрируем их на примере следящей системы, структурная схема которой представлена на рис.1. В ее состав входят инерционное усилительное звено с передаточной функцией k/(T ₁ p + 1 ), двигатель с передаточной функцией 1/ (T ₂ p) и вычитающее устройство для сравнения входного сигнала u и выходного сигнала следящей системы y. Следящая система должна работать таким образом, чтобы угол поворота двигателя у по возможности точно равнялся значению входного сигнала и (задача слежения).

Рис. 1. структура следящей системы

 

Способ задания моделей объектов с помощью схемы (типа приведенной на рис.1) называется структурным, поскольку он отражает реальную структуру объекта.

По передаточным функциям отдельных блоков можно построить общую передаточную функцию следящей системы , связывающую изображения по Лапласу входного и выходного сигналов.

Для этого в соответствии со структурной схемой выписывается система уравнений

(1)

которая затем преобразуется к одному уравнению, путем исключения переменной e (p):

Далее, выражая выходной сигнал Y (p) через входной U (p), получаем

где Q (p) - передаточная функция системы.

В нашем случае она имеет вид

По сравнению со структурным описанием передаточная функция является более компактной математической моделью, в то же время она позволяет анализировать такие характеристики, как устойчивость и минимальность объекта.

2. Описание систем дифференциальными уравнениями.

От передаточной функции легко осуществить переход к описанию системы с помощью дифференциального уравнения. В рассматриваемом случае для этого достаточно в уравнении

раскрыть скобки и заменить оператор p оператором дифференцирования d / d t

(2)

Решая это дифференциальное уравнение, можно найти реакцию следящей системы на любое входное воздействие.

Аналитическое решение y (t) дифференциального уравнения (2) является суммой решения однородного уравнения y _одн(t) и частного решения дифференциального уравнения y_частн(t).

Для получения y _одн(t) составляем характеристическое уравнение и находим его корни p ₁ и p ₂. Если они вещественные и различные, то решение однородного уравнения ищется в виде где С ₁ и С ₂ коэффициенты, зависящие от начальных условий и определяемые в дальнейшем. Если корни одинаковые (кратные) p ₁ =p ₂, то решение имеет вид . Паре комплексных корней соответствует решение .

Во всех случаях система оказывается устойчивой, если корни лежат в левой полуплоскости (при этом решение однородного уравнения с течением времени стремится к нулю).

Частное решение дифференциального уравнения определяется видом правой части дифференциального уравнения (2). Если, например, там стоит экспоненциальная функция u=e^-t, то и частное решение нужно искать в виде экспоненты y_частн =Ce^-t. Если u = 1(t), его следует искать в виде константы y_частн = C. Для определения C надо подставить частное решение в дифференциальное уравнение. Учитывая, что производная от константы равна нулю, находим, что в последнем случае C = 1.

Значения постоянных С ₁, С ₂ определяются путем подстановки в полученное решение начальных условий. Например, в случае нулевых начальных условий и решения вида постоянные С₁ и С₂ находятся из системы уравнений

C ₁ + C ₂ + 1 = 0; p ₁ C ₁ + p ₂ C ₂ = 0.

Наряду с заданием объекта одним дифференциальным уравнением типа (2) часто используют описание с помощью системы дифференциальных уравнений первого порядка. Оно известно как матричное описание или описание в пространстве состояний.

Для получения описания следящей системы в пространстве состояний выберем в качестве переменных состояния x ₁ и x ₂ выходные сигналы звеньев первого порядка на структурной схеме рис. 1.

Составим для каждого из них дифференциальное уравнение первого порядка

, .

Кроме того, запишем алгебраическое уравнение для выходного сигнала y = x₂.

В матричном виде это описание имеет вид

где

Анализируя это описание, можно оценить устойчивость, управляемость, наблюдаемость и другие характеристики системы.

3. Взаимосвязь описаний.

Все рассматриваемые виды описаний тесно взаимосвязаны, поэтому, зная одно из них, можно получить остальные. Например, связь между матрицами A, b, c описания в пространстве состояний и передаточной функцией системы Q(p) задается уравнением

(3)

где p – оператор Лапласа, E - единичная матрица.

Любое из рассмотренных описаний системы позволяет рассчитывать ее реакцию на типовые входные сигналы. Чаще всего систему характеризуют реакцией на дельта-функцию u=δ (t) и на единичную функцию (функцию единичного скачка) u = 1(t). Эти реакции известны как импульсная весовая характеристика системы y = q (t) и переходная характеристика y = p (t). Их изображения по Лапласу связаны с передаточной функцией формулами

(4)

которые удобно использовать для нахождения весовой и переходной характеристики.

Другой подход к описанию системы связан с использованием частотных характеристик. Они получаются рассмотрением функции комплексной переменной, получаемой из формулы (3) заменой

4. Моделирование в пакете MATLAB и SIMULINK.

Пакет MATLAB поддерживает все виды описаний динамических систем, включая структурные схемы, передаточные функции и матричное описание в пространстве состояний. Для работы со структурными схемами в пакете MATLAB имеется приложение SIMULINK. Его можно вызвать, набирая в командном окне MATLAB команду simulink.

Численное моделирование следящей системы в MATLAB выполняется с помощью команд impulse, step, lsim. Предварительно надо ввести числитель num и знаменатель den передаточной функции либо матрицы A, B, C, D описания в пространстве состояний и сформировать структуру sys=tf(num, den) либо sys=ss(A, B, C, D). После этого весовая функция и переходная функция находятся командами impulse(sys), step(sys), а реакции на произвольные входные сигналы, такие как u=e^-t, рассчитываются с помощью команды lsim.

Реализация различных соединений блоков может быть осуществлена программно с помощью команд parallel, series, feedback, append и некоторых других. Для этой цели можно использовать также команды +, –, *.

В MATLAB можно получать не только численное, но и символьное решение дифференциальных уравнений. Это делается с помощью команды dsolve тулбокса SYMBOLIC. Входными аргументами команды служат дифференциальное уравнение и начальные условия. Например, для решения дифференциального уравнения  с нулевыми начальными условиями следует набрать код

> > y=dsolve('D2у+3*Dу+2*y=2', 'Dy(0)=0', 'y(0)=0')

MATLAB выдаст ответ y =1+exp(-2*t)-2*exp(-t), т.е. y= 1+ e ^{–2 t} –2 e^–t.