Краткие теоретические сведения. Рассмотрим прямой алгоритм преобразования случайного процесса с произвольными вероятностными характеристиками в равномерный

Рассмотрим прямой алгоритм преобразования случайного процесса с произвольными вероятностными характеристиками в равномерный, представляющий большой практический интерес. Пусть случайный процесс с интегральной функцией распределения подвергается преобразованию следующего вида (рис.1):

Рисунок 1

 

,

где и заданные числа, - случайный процесс с равномерной характеристикой распределения. В соответствии со структурной схемой (рисунок 1) исходный случайный процесс проходит через нелинейное безынерционное устройство, оператор преобразования которого равен:

, (1)

где х и y – соответственно вход и выход нелинейного устройства.

Убедимся, что стационарный случайный процесс является равномерно распределенным на интервале .

Во-первых, докажем, что значение величин принадлежит интервалу . Из свойств интегральной функции распределения и и путем ее непосредственной подстановки в (1) нетрудно получить, что значения .

Плотность вероятности распределения выходного случайного процесса можно определить с помощью выражения []:

(2)

где - функция плотности распределения случайного процесса . Так как оператор нелинейного устройства, в котором осуществляется преобразование случайного процесса является однозначной функцией, то он удовлетворяет следующему свойству

,

где

(3)

- частная производная оператора по переменной x; - производная обратного оператора по переменной y. Подставим (3) в (2), и получим

; ,

что и требовалось доказать.

Следовательно, с помощью нелинейного преобразования (1) стационарный случайный процесс с произвольными вероятностными характеристиками преобразуется в равномерный случайный процесс.

Для того, чтобы решить обратную задачу, то есть получить случайный процесс с заданным законом распределения из равномерного пользуются обратным преобразованием

, (4)

где - функция, обратная заданной интегральной функции распределения:

. (5)

Например, если под понимать интегральную функцию распределения гауссовского (нормального) случайного процесса, то преобразование (4) будет давать из равномерной плотности вероятности нормальную.

Таким образом, алгоритм получения случайного процесса величины с заданной плотностью вероятности из произвольного состоит из двух шагов:

1. Преобразовать исходную плотность вероятности в равномерную при помощи формулы (1).

2. При помощи формулы (4) преобразовать равномерную плотность вероятности в требуемую.

Пример. Преобразовать равномерный случайный процесс , описываемый функцией распределения вида

,

в случайный процесс c функцией плотности распределения, показанной на рис. 2.

 

 

 

-1 0 x

Рисунок 2

Для решения задачи воспользуемся формулой (4). Для этого определим интегральную функцию распределения процесса . Прежде запишем аналитическое выражение для , которое согласно схемы на рис.2 и условию нормировки будет равняться

С помощью формулы (5) найдем интегральную функцию распределения вероятности значений случайного процесса . В соответствии со свойствами нетрудно получить, для интервалов: - и - . Для участка интегральную функцию распределения найдем с помощью следующего выражения

,

где переменную можно вычислить исходя из граничных условий для интегральной функцию распределения вероятности значений случайного процесса , т.е. точек либо . Следовательно, окончательно аналитическое выражение для будет представлено в виде

Далее, необходимо найти обратную функцию . Т.к. область определения функции лежит в интервале [0, 1], то обратную функцию будем искать из решения квадратного уравнения

,

которое получается из выражения путем переноса переменной в правую часть этого выражения. Решение полученного квадратного уравнения имеет вид

.

Тогда окончательная формула нелинейного преобразователя случайных процессов в соответствии с (4) будет записана как

.

Таким образом, последнее выражение позволяет преобразовать равномерный стационарный случайный процесс в случайный процесс с треугольным распределением, показанным на рисунке 2.