Комплексное сопротивление элемента (участка цепи)

Под комплексным сопротивлением понимают отношения комплексной амплитуды входного напряжения к комплексной амплитуде входного тока:

. (1.6)

где Z –модуль комплексного сопротивления, φ =ψ _u - ψ _i – начальная фаза или аргумент комплексного сопротивления; R - активного сопротивления, X– реактивному сопротивлению, причем Z= (R²+X²) ^1/2, а φ _z (ω) =ψ _u-ψ _i =arctg (X/R).

По виду записи комплексного сопротивления можно судить о характере участка цепи: Z =R – активное (резистивное) сопротивление; Z =R+jX — активно-индуктивное сопротивление; Z =R – j X — активно-емкостное

- комплексная проводимость, величина, обратная комплексному сопротивлению:

Метод комплексных амплитуд состоит в следующем:

1) исходная схема электрической цепи заменяется комплексной схемой замещения, в которой:

а) все пассивные элементы заменяются их комплексными сопротивлениями, как показано на рис. 4.27.

б) все токи и напряжения в схеме заменяются их комплексными амплитудами, т.е. х (t) = X_m cos(w₀ t – j _x) ® X_m = X_m e^{–j j x}.

Z L=j w L

L

Z C= 1/(j w C)

C

Z R=R

R

Рис. 4.27

2) Расчет электрической цепи сводится к составлению уравнений состояния цепи на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме и нахождению комплексных амплитуд токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, т.е. Y_m = Y_m e^{–j j y}.

3) Запись окончательного решения состоит в замене рассчитанных комплексных амплитуд на гармонические функции времени, т.е.

Y_m = Y_m e ^{–j j y} ® y (t) = Y_m cos(w₀ t – j _y).

 

Пример 5. Алгоритм метода рассмотрим на примере анализа цепи, структура которой приведена на рис. 4.29.

Рис. 4.29. RLC -цепь второго порядка

На вход цепи подается синусоидальное воздействие . Параметры воздействия и элементов цепи известны: U_m =1 В, ω =1 с^-1, φ _u =90⁰, R =1 Ом, L =1 Гн, C =1 Ф. Требуется определить токи и напряжения ветвей, построить векторную диаграмму.

Решение.

1. Представим воздействие в комплексной форме:

.

2. Построим схему замещения цепи в частотной области, заменив элементы цепи комплексными двухполюсниками, как это показано на рис. 4.30.

Рис. 4.30. Схема замещения цепи в частотной области

3. Произведем расчет реакций (токов и напряжений) в комплексной области. При этом можно воспользоваться законами Кирхгофа и Ома в комплексной форме, а также известными методами расчета резистивных цепей:

, , ,

,

, ,

,

, .

3. Построим векторную диаграмму для токов и напряжений в цепи. Для этого на комплексной плоскости откладываются в соответствующем масштабе найденные токи и напряжения, как показано на рис. 4.31.

Рис. 4.31. Векторная диаграмма

Построение векторной диаграммы, как правило, является конечным результатом решения подобных задач. Векторная диаграмма показывает амплитуду и начальную фазу любого тока или напряжения. При необходимости записать временную функцию тока или напряжения, это всегда можно сделать, имея векторную диаграмму. Например, напряжение на L -элементе имеет амплитуду , а начальную фазу 135⁰, значит, во временной области это напряжение можно записать так:

.