Среднее арифметическое результатов N измерений
где Xi – результат отдельного измерения в ряду измерений. Абсолютную погрешность измерения выражают в единицах измеряемой величины
где X – результат измерения;
Относительную погрешность измерений выражают отношением абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины
При равноточных измерениях за действительное значение принимают среднее арифметическое из ряда значений величин. Относительная погрешность более полно характеризует качество измерений и измерительных приборов, чем абсолютная. Например, при одинаковой абсолютной погрешности Средняя квадратическая погрешность (СКП) единичного измерения СКП единичного измерения:
чтобы при обработке результатов не запоминать все значения Xi выражение (5.2) следует преобразовать
Если для обработки значений Xi средняя квадратическая погрешность мала (
После преобразования формулы (5.5) получим
Средняя квадратическая погрешность результата измерений (среднего арифметического) характеризует случайную погрешность среднего арифметического значения результата измерений. СКП среднего арифметического в
Вероятность того, что погрешность не выйдет за установленные пределы называется доверительной вероятностью. Величина доверительной вероятности задается на основании степени ответственности измерений, разумного сочетания точности и экономичности и других общих соображений. В частности, в радиотехнике принимают доверительную вероятность 0, 9973, которая при нормальном распределении соответствует погрешности Вычисление предельной погрешности среднего арифметического по правилу трех сигм правомерно при большом числе измерений, когда оценка для средней квадратичной ошибки среднего арифметического близка к точному ее значению, однако проведение большого числа испытаний отнимает много времени и требует высокой стабильности условий эксперимента. В радиотехнике, где работа аппаратуры зависит от питающих напряжений, температуры, наличия помех, вибраций и других факторов, трудно обеспечить длительное постоянство условий эксперимента и поэтому приходится ограничиться небольшим числом измерений (5…10). Распределение ошибок среднего арифметического при малом числе измерений было исследовано Госсетом (1908 г.), который публиковал свои работы под псевдонимом «Стьюдент». Доверительный интервал погрешности результата измерений – это интервал значений случайной погрешности, внутри которого сзаданной вероятностью Доверительные границы погрешности результата измерений являются верхней и нижней границей доверительного интервала. При симметричных границах можно использовать единственное число – " доверительная граница". Оценить истинное значение А измеряемой величины это значит: · экспериментальным путем найти действительное значение величины · указать доверительные границы погрешности результата измерений При однократном измерении погрешность измерения оценивают на основании известных погрешностей средства и метода измерений. Например, при однократном измерении напряжения U получено значение величины, равное 9, 47 В. При этом еще до измерения известно, что погрешность вольтметра в данном диапазоне составляет ±20 мВ, а погрешность метода (непосредственной оценки) в данном случае равна нулю. Следовательно, погрешность полученного результата будет равна ±20 мВ. В конечном итоге можно записать U=(9, 47±0, 02)B. Для оценки истинного значения А измеряемой величины для N равноточных измерений из результатов измерений исключают грубые и систематические погрешности. Случайная погрешность измерений распределена по нормальному закону. Результат измерений представляют в следующем виде:
где t – коэффициент Стьюдента (см. табл. 5.1), который зависит от количества измерений N и доверительной вероятности Таблица 5.1 Коэффициенты Стьюдента
|