Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Понятие аппроксимации





Одной из наиболее часто встречающихся задач является установление характера зависимости между различными величинами, что позволяет по значению одной величины определить значение другой. Математической моделью зависимости одной величины от другой является понятие функции y = f (x).

В практике расчетов, связанных с обработкой экспериментальных данных, вычислением f (x), разработкой вычислительных методов, встречаются следующие ситуации:

- установить вид функции y = f (x), если известны только некоторые значения, заданные таблицей {(xi, yi), i = 1, …, m };

- упростить вычисление известной функции f (x) или ее характеристик (производной, максимума и т.п.), если f (x) имеет слишком сложный вид.

Ответы на эти вопросы даются теорией аппроксимации функций, основная задача которой состоит в нахождении функции y = j(x), близкой (т.е. аппроксимирующей) к исходной функции.

Основной подход к решению этой задачи заключается в том, что аппроксимирующая функция j(x)выбирается зависящей от нескольких свободных параметров , т.е. , значения которых подбираются из условия близости f (x)и j(x).

В зависимости от способа подбора параметров вектора получают различные методы аппроксимации.

Наиболее простой является линейная аппроксимация, при которой выбирают функцию , линейно зависящую от параметров , т.е. в виде обобщенного многочлена:

. (8.1)

Здесь {j1(x), …, j n (x)} – известная система линейно независимых функций, в качестве которых могут быть выбраны любые элементарные функции или их комбинации. Важно, чтобы эта система была полной, т.е. обеспечивающей аппроксимацию f (x) многочленом (8.1) с заданной точностью при .

При интерполяции обычно используется система линейно независимых функций {j k (x) = xk -1}. Для среднеквадратичной аппроксимации удобнее в качестве j k (x) брать ортогональные на интервале [-1, 1] многочлены Лежандра:

{j1(x) = 1; j2(x) = х; j k +1(x) = [(2 k + 1) x j k (x) - k j k -1(x)]; k = 2, 3, …, n };

.

Интерполяция является одним из способов аппроксимации функций. Суть ее состоит в следующем. В области значений x, представляющей некоторый интервал [ a, b ], где функции f и jдолжны быть близки, выбирают упорядоченную систему точек (узлов) (обозначим ), число которых равно количеству искомых параметров . Далее параметры подбирают такими, чтобы функция совпадала с f (x)в этих узлах, для чего решают полученную систему из n алгебраических уравнений.

В случае линейной аппроксимации (8.1) система для нахождения коэффициентов линейна и имеет следующий вид:

. (8.2)

Для большинства практически важных приложений при интерполяции наиболее удобны обычные алгебраические многочлены.

Интерполяционным многочленом называют алгебраический многочлен степени n - 1, совпадающий с аппроксимируемой функцией в выбранных n точках.

Общий вид алгебраического многочлена

. (8.3)

Наиболее часто в приложениях используют интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона, т.к. многочлены в этой форме прямо записаны через значения таблицы {(xi, yi), i = 1, …, n }.







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 619. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Патристика и схоластика как этап в средневековой философии Основной задачей теологии является толкование Священного писания, доказательство существования Бога и формулировка догматов Церкви...

Основные симптомы при заболеваниях органов кровообращения При болезнях органов кровообращения больные могут предъявлять различные жалобы: боли в области сердца и за грудиной, одышка, сердцебиение, перебои в сердце, удушье, отеки, цианоз головная боль, увеличение печени, слабость...

Вопрос 1. Коллективные средства защиты: вентиляция, освещение, защита от шума и вибрации Коллективные средства защиты: вентиляция, освещение, защита от шума и вибрации К коллективным средствам защиты относятся: вентиляция, отопление, освещение, защита от шума и вибрации...

Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P   1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P...

Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...

Педагогическая структура процесса социализации Характеризуя социализацию как педагогический процессе, следует рассмотреть ее основные компоненты: цель, содержание, средства, функции субъекта и объекта...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия