Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Понятие аппроксимации





Одной из наиболее часто встречающихся задач является установление характера зависимости между различными величинами, что позволяет по значению одной величины определить значение другой. Математической моделью зависимости одной величины от другой является понятие функции y = f (x).

В практике расчетов, связанных с обработкой экспериментальных данных, вычислением f (x), разработкой вычислительных методов, встречаются следующие ситуации:

- установить вид функции y = f (x), если известны только некоторые значения, заданные таблицей {(xi, yi), i = 1, …, m };

- упростить вычисление известной функции f (x) или ее характеристик (производной, максимума и т.п.), если f (x) имеет слишком сложный вид.

Ответы на эти вопросы даются теорией аппроксимации функций, основная задача которой состоит в нахождении функции y = j(x), близкой (т.е. аппроксимирующей) к исходной функции.

Основной подход к решению этой задачи заключается в том, что аппроксимирующая функция j(x)выбирается зависящей от нескольких свободных параметров , т.е. , значения которых подбираются из условия близости f (x)и j(x).

В зависимости от способа подбора параметров вектора получают различные методы аппроксимации.

Наиболее простой является линейная аппроксимация, при которой выбирают функцию , линейно зависящую от параметров , т.е. в виде обобщенного многочлена:

. (8.1)

Здесь {j1(x), …, j n (x)} – известная система линейно независимых функций, в качестве которых могут быть выбраны любые элементарные функции или их комбинации. Важно, чтобы эта система была полной, т.е. обеспечивающей аппроксимацию f (x) многочленом (8.1) с заданной точностью при .

При интерполяции обычно используется система линейно независимых функций {j k (x) = xk -1}. Для среднеквадратичной аппроксимации удобнее в качестве j k (x) брать ортогональные на интервале [-1, 1] многочлены Лежандра:

{j1(x) = 1; j2(x) = х; j k +1(x) = [(2 k + 1) x j k (x) - k j k -1(x)]; k = 2, 3, …, n };

.

Интерполяция является одним из способов аппроксимации функций. Суть ее состоит в следующем. В области значений x, представляющей некоторый интервал [ a, b ], где функции f и jдолжны быть близки, выбирают упорядоченную систему точек (узлов) (обозначим ), число которых равно количеству искомых параметров . Далее параметры подбирают такими, чтобы функция совпадала с f (x)в этих узлах, для чего решают полученную систему из n алгебраических уравнений.

В случае линейной аппроксимации (8.1) система для нахождения коэффициентов линейна и имеет следующий вид:

. (8.2)

Для большинства практически важных приложений при интерполяции наиболее удобны обычные алгебраические многочлены.

Интерполяционным многочленом называют алгебраический многочлен степени n - 1, совпадающий с аппроксимируемой функцией в выбранных n точках.

Общий вид алгебраического многочлена

. (8.3)

Наиболее часто в приложениях используют интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона, т.к. многочлены в этой форме прямо записаны через значения таблицы {(xi, yi), i = 1, …, n }.







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 619. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

КОНСТРУКЦИЯ КОЛЕСНОЙ ПАРЫ ВАГОНА Тип колёсной пары определяется типом оси и диаметром колес. Согласно ГОСТ 4835-2006* устанавливаются типы колесных пар для грузовых вагонов с осями РУ1Ш и РВ2Ш и колесами диаметром по кругу катания 957 мм. Номинальный диаметр колеса – 950 мм...

Философские школы эпохи эллинизма (неоплатонизм, эпикуреизм, стоицизм, скептицизм). Эпоха эллинизма со времени походов Александра Македонского, в результате которых была образована гигантская империя от Индии на востоке до Греции и Македонии на западе...

Демографияда "Демографиялық жарылыс" дегеніміз не? Демография (грекше демос — халық) — халықтың құрылымын...

Анализ микросреды предприятия Анализ микросреды направлен на анализ состояния тех со­ставляющих внешней среды, с которыми предприятие нахо­дится в непосредственном взаимодействии...

Типы конфликтных личностей (Дж. Скотт) Дж. Г. Скотт опирается на типологию Р. М. Брансом, но дополняет её. Они убеждены в своей абсолютной правоте и хотят, чтобы...

Гносеологический оптимизм, скептицизм, агностицизм.разновидности агностицизма Позицию Агностицизм защищает и критический реализм. Один из главных представителей этого направления...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия