Формулы Гаусса
При построении предыдущих формул в качестве узлов интерполяционного многочлена выбирались середины и (или) концы интервала разбиения. При этом оказывается, что увеличение количества узлов не всегда приводит к уменьшению погрешности, т.е. за счет удачного расположения узлов можно значительно увеличить точность. Суть методов Гаусса порядка n состоит в таком расположении n узлов интерполяционного многочлена на отрезке [ xi, xi +1], при котором достигается минимум погрешности квадратурной формулы. Анализ показывает, что узлами, удовлетворяющими такому условию, являются нули ортогональнoго многочлена Лежандра степени n (см. подразд. 8.1). Для n = 1 один узел должен быть выбран в центре отрезка, следовательно, метод средних является методом Гаусса 1-го порядка. Для n = 2 узлы должны быть выбраны следующим образом:
и соответствующая формула Гаусса 2-го порядка имеет вид
Для n = 3 узлы выбираются следующим образом:
и соответствующая формула Гаусса 3-го порядка имеет вид
|
,
.
,
.
