Авторегрессионные модели временных рядов

Модели, которые наряду с текущими или лаговыми значениями факторных переменных, содержат лаговые значения зависимой переменной называются моделями авторегрессии, например, модель вида

.

Применение обычного МНК для оценки параметров уравнения авторегрессии приводит во многих случаях к получению смещенной оценки коэффициента при переменной .

Одним из альтернативных методов расчета параметров уравнения авторегрессии является метод инструментальных переменных. Поскольку в модели переменная зависит не только от , но и от , можно предположить, что имеет место линейная регрессия от , т. е.

.

Параметры этой регрессии допустимо найти МНК через Анализ данных/Регрессия. Рассчитанными по построенному уравнению значениями можно заменить исходные данные переменной . Затем проводят параметризацию уравнения

.

Отметим, что практическая реализация метода инструментальных переменных осложняется появлением проблемы мультиколлинеарности факторов в модели : функциональная связь между переменными и приводит к появлению высокой корреляционной связи между переменными и . В некоторых случаях эту проблему можно решить включением в модель фактора времени в качестве независимой переменной.

При оценке достоверности моделей авторегрессии необходимо учитывать специфику тестирования этих моделей на автокорреляцию остатков.

Для проверки гипотезы об автокорреляции остатков в моделях авторегрессии Дарбин предложил использовать другой критерий, который называется критерием –Дарбина. Его расчет производится по следующей формуле (расчет этого критерия возможен только в случаях, когда < 1):

,

где d – фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона для модели авторегрессии;

n – число наблюдений модели;

V – квадрат стандартной ошибки при лаговой результативной переменной (расчет возможен только при условии, что ).

Распределение величины h приблизительно можно аппроксимировать стандартизированным нормальным распределением. Поэтому для проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков можно либо сравнивать полученное фактическое значение критерия с табличным, воспользовавшись таблицами стандартизованного нормального распределения, либо действовать в соответствии со следующим правилом принятия решения.

1. Если > 1, 96, нулевая гипотеза об отсутствии положительной автокорреляции остатков отклоняется.

2. Если < -1, 96, нулевая гипотеза об отсутствии отрицательной автокорреляции остатков отклоняется.

3. Если -1, 96< < 1, 96, нет оснований отклонять нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.

 

Модель адаптивных ожиданий имеетвид

,

где – фактическое значение результативного признака;

– ожидаемое значение факторного признака.

Механизм формирования ожиданий в этой модели следующий:

, .

То есть, в каждый период времени ожидания корректируются на некоторую долю разности между фактическим значением факторного признака и его ожидаемым значением в предыдущий период. Параметр в этой модели называется коэффициентом ожиданий. Чем ближе коэффициент ожиданий к единице, тем в большей степени реализуются ожидания экономических агентов. И, наоборот, приближение величины к нулю свидетельствует об устойчивости существующих тенденций. При , получается, что , т.е. условия, доминирующие сегодня, сохранятся и на будущие периоды времени, то есть ожидаемые будущие значения показателей совпадут с их реальными значениями текущих периодов.

Модель адаптивных ожиданий может быть сведена к модели авторегрессии ,

которая называется краткосрочной функцией модели адаптивных ожиданий. Ее параметры можно найти методом инструментальной переменной. По коэффициенту при переменной определяют значение коэффициента ожидания , а затем параметры a и b.

 

Пример.

Имеются следующие данные

Месяц	Объем продаж y, у.е.	Расходы на рекламу x, у.е
январь	19, 3	296, 4
февраль	19, 7	290, 8
март	20, 25	289, 4
апрель	21, 29	321, 2
май	22, 18	343, 3
июнь	23, 43	371, 8
июль	24, 73	413, 2
август	26, 22	438, 1
сентябрь	26, 91	418, 6
октябрь	28, 01	440, 1
ноябрь	28, 77	461, 3
декабрь	28, 75	429, 7

Необходимо:

1. Построить уравнение авторегрессии методом наименьших квадратов. Оценить его статистическую надежность и автокорреляцию в остатках.

2. Применить метод инструментальной переменной для параметризации уравнения авторегрессии. Оценить статистическую надежность и автокорреляцию в остатках.

3. Построить модель адаптивных ожиданий . Выполнить прогнозный расчет для ожидаемого значения .

 

 

1. Для построения авторегрессии методом наименьших квадратов используем данные

19, 3	296, 4
19, 7	290, 8	19, 3
20, 25	289, 4	19, 7
21, 29	321, 2	20, 25
22, 18	343, 3	21, 29
23, 43	371, 8	22, 18
24, 73	413, 2	23, 43
26, 22	438, 1	24, 73
26, 91	418, 6	26, 22
28, 01	440, 1	26, 91
28, 77	461, 3	28, 01
28, 75	429, 7	28, 77

 

Протокол расчета в Анализ данных/Регрессия

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0, 9990555
R-квадрат	0, 9981118
Нормированный R-квадрат	0, 9976398
Стандартная ошибка	0, 1649793
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значи мость F
Регрессия		115, 1012729	57, 55064	2114, 42	1, 27E-11
Остаток		0, 217745288	0, 027218
Итого		115, 3190182
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
a	1, 6366001	0, 367241275	4, 456471	0, 002121
b0	0, 017668	0, 002234784	7, 905903	4, 75E-05
c1	0, 6814781	0, 041018	16, 61377	1, 74E-07
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
	19, 926977	-0, 226977303		0, 051519
	20, 174833	0, 075166653	0, 091291	0, 00565
	21, 111488	0, 178511731	0, 01068	0, 031866
	22, 210688	-0, 030687968	0, 043765	0, 000942
	23, 320741	0, 109258926	0, 019585	0, 011938
	24, 904043	-0, 174043315	0, 08026	0, 030291
	26, 229898	-0, 009897674	0, 026944	9, 8E-05
	26, 900774	0, 009225758	0, 000366	8, 51E-05
	27, 750856	0, 259144173	0, 062459	0, 067156
	28, 875043	-0, 105043021	0, 132632	0, 011034
	28, 834658	-0, 08465796	0, 000416	0, 007167
Сумма			0, 468398	0, 217745
d	0, 46/0, 21=2, 15
V	(выделенная в протоколе стандартная ошибка) 0, 04
h	-0, 25

 

Добавляем в протокол расчет для проверки на автокорреляцию в остатках по критерию Дарбина. Поскольку -1, 96< < 1, 96, считаем, что автокорреляции в остатках отсутствует. Показатели детерминации, статистической значимости в целом и по параметрам весьма удовлетворительные.

Получаем уравнение вида: .

2. Строим инструментальную (вспомогательную) переменную как линейную регрессию по выделенным исходным данным.

y	x
19, 3	296, 4
19, 7	290, 8
20, 25	289, 4
21, 29	321, 2
22, 18	343, 3
23, 43	371, 8
24, 73	413, 2
26, 22	438, 1
26, 91	418, 6
28, 01	440, 1
28, 77	461, 3
28, 75	429, 7

Получим уравнение .

Строим таблицу данных для построения регрессии .

y	x
19, 3	296, 4
19, 7	290, 8	19, 86948801
20, 25	289, 4	19, 57046554
21, 29	321, 2	19, 49570993
22, 18	343, 3	21, 19373038
23, 43	371, 8	22, 37380119
24, 73	413, 2	23, 89561198
26, 22	438, 1	26, 10624238
26, 91	418, 6	27, 43582443
28, 01	440, 1	26, 39458547
28, 77	461, 3	27, 54261817
28, 75	429, 7	28, 6746318

 

Протокол расчета:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0, 988023
R-квадрат	0, 97619
Нормированный R-квадрат	0, 970238
Стандартная ошибка	0, 585846
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значи мость F
Регрессия		112, 5732973	56, 28665	163, 9982	3, 21E-07
Остаток		2, 745720919	0, 343215
Итого		115, 3190182
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%
a	2, 403288	1, 277068931	1, 881878	0, 096626	-0, 54164
b0	0, 022185	0, 008394889	2, 642716	0, 029588	0, 002827
c1	0, 572218	0, 15014977	3, 81098	0, 005155	0, 225972
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
	20, 22445	-0, 524447586		0, 275045
	20, 02228	0, 227717797	0, 565753	0, 051855
	20, 685	0, 605001663	0, 142343	0, 366027
	22, 14693	0, 033069064	0, 327107	0, 001094
	23, 45447	-0, 024469506	0, 003311	0, 000599
	25, 24375	-0, 513748148	0, 239394	0, 263937
	27, 06112	-0, 841124095	0, 107175	0, 70749
	27, 38932	-0, 479321119	0, 130901	0, 229749
	27, 27049	0, 739510267	1, 48555	0, 546875
	28, 39774	0, 372257187	0, 134875	0, 138575
	28, 34445	0, 405554477	0, 001109	0, 164474
			3, 137517	2, 745721
d	1, 142693
V	0, 022545
h	1, 639427

Поскольку -1, 96< < 1, 96, считаем, что автокорреляция в остатках отсутствует. Показатели детерминации, статистической значимости в целом и по параметрам весьма удовлетворительные.

Получаем уравнение вида: .

3. Построим модель адаптивных ожиданий, то есть зависимость фактическим значение результативного признака и ожидаемым значением факторного признака: .

Вспомогательная краткосрочная функция модели адаптивных ожиданий имеет вид . Это уравнение авторегрессии, которое построено в пунктах 1 или 2. Воспользуемся результатом . Тогда

	2, 403288
	0, 022185
	0, 572218
	0, 427782
b	0, 051861
a	5, 618017

 

Получаем модель адаптивных ожиданий: .

Выполним прогнозный расчет для ожидаемого значения . Тогда . Вывод: если на будущий месяц планировать расходы на рекламу в размере 460, 1 у.е., объем продаж текущего месяца должен составить приблизительно 31, 93 у.е.

Задания для самостоятельной работы.

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
x	y	x	y	x	y	x	y	x	y
9, 10	5, 49	10, 20	6, 51	11, 34	7, 53	12, 39	8, 57	13, 46	9, 60
9, 14	5, 54	10, 24	6, 56	11, 38	7, 58	12, 43	8, 62	13, 50	9, 65
9, 10	5, 31	10, 20	6, 33	11, 34	7, 35	12, 39	8, 39	13, 46	9, 42
9, 28	5, 51	10, 38	6, 53	11, 52	7, 55	12, 57	8, 59	13, 64	9, 62
9, 23	5, 42	10, 33	6, 44	11, 47	7, 46	12, 52	8, 50	13, 59	9, 53
9, 35	5, 32	10, 45	6, 34	11, 59	7, 36	12, 64	8, 40	13, 71	9, 43
9, 53	5, 54	10, 63	6, 56	11, 77	7, 58	12, 82	8, 62	13, 89	9, 65
9, 76	5, 69	10, 86	6, 71	12, 00	7, 73	13, 05	8, 77	14, 12	9, 80
10, 28	5, 87	11, 38	6, 89	12, 52	7, 91	13, 57	8, 95	14, 64	9, 98
10, 67	6, 16	11, 77	7, 18	12, 91	8, 20	13, 96	9, 24	15, 03	10, 27
11, 02	6, 34	12, 12	7, 36	13, 26	8, 38	14, 31	9, 42	15, 38	10, 45
11, 31	5, 91	12, 41	6, 93	13, 55	7, 95	14, 60	8, 99	15, 67	10, 02
11, 43	6, 13	12, 53	7, 15	13, 67	8, 17	14, 72	9, 21	15, 79	10, 24
11, 45	6, 19	12, 55	7, 21	13, 69	8, 23	14, 74	9, 27	15, 81	10, 30
11, 70	6, 23	12, 80	7, 25	13, 94	8, 27	14, 99	9, 31	16, 06	10, 34
11, 87	6, 50	12, 97	7, 52	14, 11	8, 54	15, 16	9, 58	16, 23	10, 61
12, 02	6, 72	13, 12	7, 74	14, 26	8, 76	15, 31	9, 80	16, 38	10, 83
12, 53	6, 92	13, 63	7, 94	14, 77	8, 96	15, 82	10, 00	16, 89	11, 03
12, 06	6, 47	13, 16	7, 49	14, 30	8, 51	15, 35	9, 55	16, 42	10, 58
12, 09	6, 40	13, 19	7, 42	14, 33	8, 44	15, 38	9, 48	16, 45	10, 51
12, 22	6, 56	13, 32	7, 58	14, 46	8, 60	15, 51	9, 64	16, 58	10, 67
12, 50	6, 76	13, 60	7, 78	14, 74	8, 80	15, 79	9, 84	16, 86	10, 87
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
x	y	x	y	x	y	x	y	x	y
14, 50	10, 69	15, 52	11, 76	16, 56	12, 81	17, 61	13, 82	18, 67	14, 87
14, 54	10, 74	15, 56	11, 81	16, 60	12, 86	17, 65	13, 87	18, 71	14, 92
14, 50	10, 51	15, 52	11, 58	16, 56	12, 63	17, 61	13, 64	18, 67	14, 69
14, 68	10, 71	15, 70	11, 78	16, 74	12, 83	17, 79	13, 84	18, 85	14, 89
14, 63	10, 62	15, 65	11, 69	16, 69	12, 74	17, 74	13, 75	18, 80	14, 80
14, 75	10, 52	15, 77	11, 59	16, 81	12, 64	17, 86	13, 65	18, 92	14, 70
14, 93	10, 74	15, 95	11, 81	16, 99	12, 86	18, 04	13, 87	19, 10	14, 92
15, 16	10, 89	16, 18	11, 96	17, 22	13, 01	18, 27	14, 02	19, 33	15, 07
15, 68	11, 07	16, 70	12, 14	17, 74	13, 19	18, 79	14, 20	19, 85	15, 25
16, 07	11, 36	17, 09	12, 43	18, 13	13, 48	19, 18	14, 49	20, 24	15, 54
16, 42	11, 54	17, 44	12, 61	18, 48	13, 66	19, 53	14, 67	20, 59	15, 72
16, 71	11, 11	17, 73	12, 18	18, 77	13, 23	19, 82	14, 24	20, 88	15, 29
16, 83	11, 33	17, 85	12, 40	18, 89	13, 45	19, 94	14, 46	21, 00	15, 51
16, 85	11, 39	17, 87	12, 46	18, 91	13, 51	19, 96	14, 52	21, 02	15, 57
17, 10	11, 43	18, 12	12, 50	19, 16	13, 55	20, 21	14, 56	21, 27	15, 61
17, 27	11, 70	18, 29	12, 77	19, 33	13, 82	20, 38	14, 83	21, 44	15, 88
17, 42	11, 92	18, 44	12, 99	19, 48	14, 04	20, 53	15, 05	21, 59	16, 10
17, 93	12, 12	18, 95	13, 19	19, 99	14, 24	21, 04	15, 25	22, 10	16, 30
17, 46	11, 67	18, 48	12, 74	19, 52	13, 79	20, 57	14, 80	21, 63	15, 85
17, 49	11, 60	18, 51	12, 67	19, 55	13, 72	20, 60	14, 73	21, 66	15, 78
17, 62	11, 76	18, 64	12, 83	19, 68	13, 88	20, 73	14, 89	21, 79	15, 94
17, 90	11, 96	18, 92	13, 03	19, 96	14, 08	21, 01	15, 09	22, 07	16, 14