Основні теоретичні відомості. Побудова структурної схеми для вирішення диференційного рівняння першого порядку із заданими початковими умовами

 

Побудова структурної схеми для вирішення диференційного рівняння першого порядку із заданими початковими умовами

Нехай задане диференційне рівняння першого порядку

з заданими початковими умовами .

Перетворимо це рівняння у зручний вигляд для побудови структурної схеми. Старша похідна залишається зліва, всі інші доданки – справа. Таким чином, рівняння матиме наступний вигляд

.

Створення структурної схеми для вирішення диференційного рівняння будь-якого порядку починається з вибору кількості інтегруючих блоків (Integrator). Ця кількість залежить від порядку рівняння. Так як задане диференційне рівняння першого порядку, то структурна схема обмежиться одним інтегратором. На вході інтегратора буде похідна від функції , на виході – сама функція , як показано на рис. 8.1.

 

Рис. 8.1. Початок створення структурної схеми для вирішення диференційного рівняння першого порядку

Наступним кроком є визначення кількості доданків, які утворюють похідну. Як видно з останнього рівняння, таких доданків буде три: , та . Таким чином до входу інтегратора підключається суматор (Sum) з трьома входами (два додатних та один від’ємний). Так як диференціювання відбувається за змінною , то для підключення першого доданку необхідно створити цю змінну за допомогою блока Sine Wave та помножити цей сигнал на константу 1/2 (блок Gain). Ця частина структурної схеми зображена на рис. 8.2.

Рис. 8.2. Другий етап створення структурної схеми для вирішення диференційного рівняння першого порядку

 

На другий додатній вхід суматора підключається константа (блок Constant) 3/2, а на від’ємний вхід – сигнал y з вихода інтегратора, помножений на 5 за допомогою блоку Gain. Таким чином, структурна схема диференційного рівняння першого порядку складена. Для виводу до робочої області масиву функції y на вихід інтегратора підключається блок To Workspace з назвою «y» та форматом даних «Array». Для створення сигналу часу t використаємо блок Clock та також підключимо його до блоку To Workspace з назвою «t» та форматом даних «Array». Також у блоці Integrator в параметрі Initial Condition необхідно задати початкові умови, тобто поставити 1. Створена структурна схема показана на рис. 8.3.

Рис. 8.3. Структурна схема для вирішення диференційного рівняння першого порядку

 

Час моделювання підбирається експериментальним шляхом до появи усталеного руху. У даному прикладі він підібран 20 секунд. Програма у М-файлі для побудови графіка рішення заданого рівняння біде наступною

figure; %створення графічного вікна

plot(t, y, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка рішення

xlabel('Час t, c'); %підписи осей та графіка

ylabel('Функція y');

title('Графік рішення диференційного рівняння першого порядку');

grid; %активація сітки

Графік, побудований за даною програмою показан на рис. 8.4.

Рис. 8.4. Графік вирішення диференційного рівняння першого порядку

Розглянемо приклад складання структурної схеми для диференційного рівняння другого порядку. Нехай задане рівняння має наступний вигляд

з початковими умовами , .

Перетворимо це рівняння у зручний вигляд для побудови структурної схеми. Старша похідна залишається зліва, всі інші доданки – справа. Таким чином, рівняння матиме наступний вигляд

.

Так як це диференційне рівняння другого порядку, потрібно використати два інтегратора, з’єднані послідовно, як зображено на рис. 8.5.

Рис. 8.5. Початок створення структурної схеми для вирішення диференційного рівняння другого порядку

 

Методика подальшого складання структурної схеми аналогічна попередній. Для формування масиву часу застосований блок Clock, що множиться на 2 за допомогою блоку Gain та подається на блок Trigonometric Function для отримання сигналу . Структурна схема для вирішення диференійного рівняння другого порядку зображена на рис. 8.6.

Рис. 8.6. Структурна схема для вирішення диференційного рівняння другого порядку

Початкові умови та задаються у блоках Integrator та Integrator1. Програма для побудови графіків розв’язків та буде мати наступний вигляд

figure; %створення графічного вікна

subplot(2, 1, 1); %відкриття першого графічного підвікна

plot(t, y, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка y(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей та графіка

ylabel('Функція y');

title('Графік рішення диференційного рівняння другого порядку');

grid; %активація сітки

subplot(2, 1, 2); %відкриття другого графічного підвікна

plot(t, y1, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка y’(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей

ylabel('Функція y1');

grid; %активація сітки

Графіки залежностей та показані на рис.8.7.

Рис. 8.7. Графік вирішення диференційного рівняння другого порядку

 

На основі вищевикладеної методики можна складати структурні схеми для вирішення диференційних рівнянь будь-якого порядку з заданими початковими умовами або без них.

 

Будь-яка похідна у диференційному рівнянні може містити нелінійність, що перетворює його на нелінійне. Розглянемо приклад вирішення такого рівняння.

Нехай задано нелінійне диференційне рівняння третього порядку вигляду

.

Воно містить квадрат другої похідної. Також можна побачити, що у рівнянні відсутня складова з першою похідною. Це спрощує структурну схему, тому що буде відсутній один доданок.

Методика складання структурної схеми не відрізняється від попередньої, окрім того що потрібно піднести другу похідну до квадрату за допомогою блоку Product.

Структурна схема для вирішення цього рівняння показана на рис. 8.8.

Рис. 8.8. Структурна схема для вирішення нелінійного диференційного рівняння третього порядку

Програма для виводу графіків на екран матиме вигляд

figure; %створення графічного вікна

subplot(2, 2, 1); %відкриття першого графічного підвікна

plot(t, y, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка y(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей та графіка

ylabel('Функція y');

grid; %активація сітки

subplot(2, 2, 2); %відкриття другого графічного підвікна

plot(t, y1, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка y’(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей

ylabel('Функція y1');

grid; %активація сітки

subplot(2, 2, 3); %відкриття другого графічного підвікна

plot(t, y2, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка y’’(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей

ylabel('Функція y1');

grid; %активація сітки

subplot(2, 2, 4); %відкриття другого графічного підвікна

plot(t, y3, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка y’’’(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей

ylabel('Функція y1');

grid; %активація сітки

Графіки залежностей , , та показані на рис.8.9.

Рис. 8.9. Графіки вирішення нелінійного диференційного рівняння третього порядку