Основні теоретичні відомості. Побудова структурної схеми для вирішення ситеми диференційних рівняння другого порядку

Побудова структурної схеми для вирішення ситеми диференційних рівняння другого порядку

Нехай задана система диференційних рівнянь другого порядку вигляду

.

Як і у випадку з одним диференційним рівнянням, цю систему необхідно привести до зручного вигляду, залишивши у кожному рівнянні зліва тільки похідну однієї з функцій, а всі інші доданки перенести вправо. Таким чином система перетвориться до вигляду

.

Створення структурної схеми для виріщення системи диференційних рівнянь починається з вибору кількості інтегруючих блоків (Integrator). Їх кількість залежить від порядку системи. Так як задана система другого порядку, структурна схема обмежується двома інтегруючими блоками. На вході першого інтегратора буде похідна від функції , на виході – сама функція ; на вході другого інтегратора буде похідна від функції , на виході – функція , як показано на рис. 9.1.

Рис. 9.1. Початок створення структурної схеми для вирішення системи диференційних рівнянь другого порядку

 

Наступним кроком є визначення кількості доданків, які утворюють похідну у кожному рівнянні. Як видно з останньої системи, таких доданків у кожному рівнянні буде п’ять: , , , , у першому рівнянні та , , , , у другому рівнянні. Таким чином до входу кожного інтегратора підключається суматор (Sum) з п’ятьма входами (три додатних і два від’ємних у першому та два додатних і три від’ємних у другому). Так як диференціювання відбувається за змінною , то для підключення у суматор доданків, що містять цю змінну ( та ) необхідно створити її за допомогою блоку Clock. Сигнали та можна отримати, встановивши на виході Clock блок Trigonometric Function з відповідними функціями. Ця частина структурної схеми зображена на рис. 9.2.

Рис. 9.2. Наступний етап створення структурної схеми для вирішення системи диференційних рівнянь другого порядку

 

На інші входи суматорів подаються доданки, що залишилися. Розглянемо перший суматор. На додатні входи подаються константа 3 та помножений на 6 за допомогою блоку Gain сигнал з виходу другого інтегратора. На від’ємні входи подаються помножений на 3 сигнал з виходу першого інтегратора та помножений на 2 сигнал з виходу другого суматора. Цей етап створення структурної схеми показаний на рис. 9.3.

Рис. 9.3. Третій етап створення структурної схеми для вирішення системи диференційних рівнянь другого порядку

Аналогічно підключаються входи другого суматора. Для виводу до робочої області масиву функцій та на вихід інтеграторів підключаються блоки To Workspace з назвами «y1» та «y2» відповідно та форматом даних «Array». Блок Clock також підключається до To Workspace з назвою «t» та форматом даних «Array». Повна структурна схема для вирішеня системи диференційних рівнянь другого порядку представлена на рис. 9.4.

Рис. 9.4. Структурна схема для вирішення системи диференційних рівнянь другого порядку

 

Час моделювання підбирається експериментальним шляхом до появи усталеного руху. У даному прикладі він підібран 3 секунди. Програма для побудови графіків розв’язків та буде мати наступний вигляд

figure; %створення графічного вікна

subplot(2, 1, 1); %відкриття першого графічного підвікна

plot(t, y1, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка y1(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей та графіка

ylabel('Функція y1');

title('Графіки рішення системи диференційних рівнянь другого порядку');

grid; %активація сітки

subplot(2, 1, 2); %відкриття другого графічного підвікна

plot(t, y2, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка y2(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей

ylabel('Функція y2');

grid; %активація сітки

Графіки залежностей та показані на рис.9.5.

Рис. 9.5. Графіки вирішення системи диференційних рівнянь другого порядку

 

Побудова структурної схеми для вирішення ситеми диференційних рівняння третього порядку, що містить нелінійність

Розглянемо приклад складання структурної схеми для системи диференційних рівнянь третього порядку з нелінійностями.

Нехай задана наступна система

.

Як видно, у першому рівнянні є похідна з нелінійністю. Методика складання структурної схеми аналогічна вищевикладеній, з врахуванням того, що так як система третього порядку, схема включатиме три інтегруючих блоки. Структурна схема для розв’язання цього рівняння показана на рис. 9.6.

Рис. 9.6. Структурна схема для вирішення системи диференційних рівнянь третього порядку, що містить нелінійності

Час моделювання підібраний 5 секунд. Програма для побудови графіків розв’язків , та буде мати наступний вигляд

figure; %створення графічного вікна

subplot(3, 1, 1); %відкриття першого графічного підвікна

plot(t, y1, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка y1(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей та графіка

ylabel('Функція y1');

title('Графіки рішення системи диференційних рівнянь третього порядку');

grid; %активація сітки

subplot(3, 1, 2); %відкриття другого графічного підвікна

plot(t, y2, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка y2(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей

ylabel('Функція y2');

grid; %активація сітки

subplot(3, 1, 3); %відкриття третього графічного підвікна

plot(t, y3, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка y3(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей

ylabel('Функція y3');

grid; %активація сітки

 

Графіки залежностей , та показані на рис.9.7.

Рис. 9.7. Графіки вирішення системи диференційних рівнянь третього порядку

Іноді постає необхідність виводити розв’язки на один графік для порівняня, аналізу і т.п. Програма для побудови розв’язків , та на одному графіку буде наступною

figure; %створення графічного вікна

plot(t, y1, 'b-', 'LineWidth', 3); %побудова графіка y1(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей та графіка

ylabel('Функції y1, y2, y3');

title('Графіки рішення системи диференційних рівнянь третього порядку');

grid; %активація сітки

hold; %затримка екрану

plot(t, y2, 'r--', 'LineWidth', 3); %побудова графіка y2(t)

plot(t, y3, 'k-.', 'LineWidth', 3); %побудова графіка y3(t)

 

Результати виконання програми показані на рис. 9.8.

Рис. 9.8. Вивід вирішення системи диференційних рівнянь третього порядку на один графік