Основні теоретичні відомості. Структура редактора диференційних рівнянь DEE

 

Структура редактора диференційних рівнянь DEE

Редактор диференційних рівнянь DEE (Differential equation Editor) – це спеціальний блок Simulink для розв’язування систем диференційних рівнянь, що задані у явній формі Коші. Для виклику редактора необхідно набрати у командному вікні MatLab команду «dee». Після цього відкривається вікно, що зображене на рис. 10.1.

Рис. 10.1. Вікно DEE

 

Для відкриття редактора необхідно два рази натиснути правою клавішею миші на блок DEE. Вікно редактора зображено на рис. 10.2.

Рис. 10.2. Вікно редактора диференційних рівнянь DEE

 

Розглянемо підвікна цього редактора.

# of inputs – задає кількість зовнішніх вхідних сигналів.

First order equations, f(x, u) – вікно для запису правих частин диференційних рівнянь.

x0 – початкові умови для системи диференційних рівнянь.

Output Equations, f(x, u) – вікно для запису лівих частин диференційного рівняння.

Приклад створення та розв’язання системи диференційних рівнянь

Розглянемо приклад створення, запису та виводу розв’язку на екран системи диференційних рівнянь другого порядку.

Нехай задана наступна система диференційних рівнянь

із початковими умовами , .

Приводимо систему до вигляду у формі Коші

.

Редактор DEE вимагає задавати вхідні впливи (u) та вихідні змінні (x) у вигляді векторів, тому необхідно ввести «машинні» змінні

.

Після введення змінних система рівнянь прийме вид

.

Далі отримана система переноситься до вікна редактору, записуються початкові умови, кількість входів та виходів. Заповнене вікно редактора для заданого прикладу показане на рис. 10.3.

Рис. 10.3. Заповнене вікно редактора DEE для прикладу

 

Після заповнення вікна необхідно натиснути кнопку Done. Блок, що створився в результаті заповнення вікна підключається, як показано на рис. 10.4.

Рис. 10.4. Приклад підключення входів та виходів редактора DEE

 

Програма у М-файлі для виводу на екран графіків , та буде наступною

figure; %створення графічного вікна

subplot(3, 1, 1); %відкриття першого графічного підвікна

plot(t, x1, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка x1(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей та графіка

ylabel('Функція x1');

title('Графіки рішення системи диференційних рівнянь другого порядку за допомогою редактора DEE');

grid; %активація сітки

subplot(3, 1, 2); %відкриття другого графічного підвікна

plot(t, x2, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка x2(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей

ylabel('Функція x2');

grid; %активація сітки

subplot(3, 1, 3); %відкриття третього графічного підвікна

plot(t, u1, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка u(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей

ylabel('Функція u');

grid; %активація сітки

 

Графіки , та , що отримуються в результаті роботи програми показані на рис. 10.5.

 

Рис. 10.5. Графіки вирішення системи диференційних рівнянь за допомогою редактора DEE

 

Приклад вирішення системи диференційних рівнянь зі змінними коефецієнтами.

Перевагою редактору DEE є те, що коефіцієнти диференційного рівняння можуть бути змінними і задаватися як і вхідні сигнали за допомогою вхідних портів. Розглянемо для прикладу систему диференційних рівнянь третього порядку зі змінним коєфіцієнтом, що має наступний вигляд

із заданими початковими умовами , , , – коефіцієнт, що змінюється в процесі роботи.

Зробимо перехід до «машинних» змінних

.

Переписується рівняння у відповідності до заміни

.

У такому вигляді система записується у вікно редактора, що показане на рис. 10.6.

Рис. 10.6. Вікно редактора, заповнене відповідно до прикладу

 

Нехай тепер коефіцієнт змінюється в процесі роботи з 0 до 10 у 2 секунди. Це робиться за допомогою блоку Step. Схема підключення блоку редактора показана на рис. 10.7.

Рис. 10.7. Схема підключення блоку редактора до прикладу

 

Програма для виводу графіків розв’язків системи диференційних рівнянь на екран буде мати вигляд

figure; %створення графічного вікна

subplot(5, 1, 1); %відкриття першого графічного підвікна

plot(t, x1, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка x1(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей та графіка

ylabel('Функція x1');

title('Графіки рішення системи диференційних рівнянь третього порядку за допомогою редактора DEE');

grid; %активація сітки

subplot(5, 1, 2); %відкриття другого графічного підвікна

plot(t, x2, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка x2(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей

ylabel('Функція x2');

grid; %активація сітки

subplot(5, 1, 3); %відкриття третього графічного підвікна

plot(t, x3, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка x3(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей

ylabel('Функція x3');

grid; %активація сітки

subplot(5, 1, 4); %відкриття четвертого графічного підвікна

plot(t, u1, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка u1(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей

ylabel('Функція u1');

grid; %активація сітки

subplot(5, 1, 5); %відкриття п’ятого графічного підвікна

plot(t, u2, 'b-', 'LineWidth', 2); %побудова графіка u2(t)

xlabel('Час t, c'); %підписи осей

ylabel('Функція u2');

grid; %активація сітки

axis([0 5 -1 6]) %масштабування останнього графіка

 

Результати роботи програми показані на рис. 10.8.

Рис. 10.8. Графіки вирішення системи диференційних рівнянь зі змінним коефіцієнтом за допомогою редактора DEE