В) астигматизм

Якщо сферична аберація і кома в оптичній системі виправлені, проявляє себе наступна за величиною геометрична аберація ― астигматизм (від грец. а — заперечувати і stigmê — точка). Виявляється, що фокуси (m, S) скісного пучка променів у меридіональній та сагітальній площинах не збігаються (рис 4, 5). Як наслідок, зображення точкового джерела L у фокусі m буде розтягнуто у відрізок прямої, перпендикулярний сагітальній площині, а у фокусі S зображення джерела знову буде відрізком прямої, але вже перпендикулярним до меридіональної площини. У проміжку між m і S зображення точки буде серією еліпсів різної орієнтації. Найменші розміри в цій серії має круг, розміщений посередині між m і S.

Виникнення астигматизму зумовлене неоднаковою кривиною оптичної поверхні для різних площин перетину падаючого світлового пучка.

Змінюючи кут нахилу пучка променів до оптичної осі, можна переконатися, що геометричним місцем фокусів меридіональних і сагітальних променів будуть дві поверхні, які відхиляються від площини Гаусса та в першому наближенні є параболоїдами. Відстань між двома поверхнями вздовж центрального променя пучка називається астигматичною різницею, яка є мірилом астигматизму (рис. 4, 5).

Явище астигматизму проявляє себе на значних відстанях від оптичної осі (навіть у системах із малою світлосилою), бо астигматична різниця пропорційна першому ступеню світлосили й квадрата кута нахилу a пучка падаючих променів до оптичної осі.

В оптичній системі, виправленій на астигматизм, меридіональний та сагітальний параболоїди збігаються і предметні точки плоского об’єкта, перпендикулярного до оптичної вісі, зображаються точками, але зображення предмета розміщено на поверхні другого порядку, яка має деяку кривину. Ця поверхня називається поверхнею Пецваля, і вона є параболоїдом обертання.

Астигматизм оптичної системи можна усунути підбором радіусів кривини заломлюючих поверхонь та положенням вхідної зіниці. Астигматизм сферичного дзеркала виправляється розташуванням вхідної зіниці у центрі кривини дзеркала. Таке положення вхідної зіниці також дає змогу позбутися аберації коми.

Об'єктив з усунутим астигматизмом називають анастигматом.

г) кривина поля

Кривина поля є наслідком астигматичності скісних пучків променів. Як зазначалося вище, із зростанням кута нахилу пучка променів астигматична різниця зростає, а сагітальний і меридіональний фокуси віддаляються від площини Гауса. Відповідно, із віддаленням від головної оптичної осі найбільш якісне зображення розміщується не в площині Гауса, а на параболоїді обертання (М) — поверхня Пецваля, — що дотникається площини Гауса в точці перетину її з оптичною віссю (рис. 5). На поверхні якісних зображень (поверхня Пецваля) усі точки предмета мають вигляд кружечків однакового діаметра. Отже, у площині Гауса чітке зображення всіх точок простору предметів одержати неожливо.

Як і астигматизм, кривина поля пропорційна світлосилі й квадрату кута нахилу пучка променів до оптичної осі.

Докладні розрахунки дають змогу зробити висновок, що лінза, у якої радіуси кривини однакові (рівнокривинний меніск), має плоску поверхню зображень.

Ефективний спосіб усунення впливу кривини поля полягає у використанні приймачів випромінювання (фотоплівок, фотопластинок), форма поверхні яких наперед викривлена відповідно до кривини поля об'єктива. Наприклад, у параболічного дзеркала фокальна поверхня має сферичну форму з радіусом кривини, що дорівнює фокусній відстані дзеркала.

д) дисторсія

Дисторсія (від лат. distorsio — викривлення) — аберація, що проявляється в порушенні подібності предмета і його зображення. Причина виникнення дисторсії у неоднаковому поперечному лінійному збільшенні для різних областей площини зображень. Тому пряма лінія, що не проходить через оптичну вісь зображається у вигляді дуги. На противагу іншим абераціям, дисторсія не впливає на чіткість вображення.

Якщо лінійне збільшення з віддаленням від оптичної вісі зростає, то маємо додатню (подушкоподібну) дисторсію, якщо ж зменшується, то від'ємну (бочкоподібну) (рис. 6).

Зображення зірок дисторсія не спотворює, але їх положення зміщуються вздовж прямої, що з'єднує центр поля зору з точкою, в якій було б зображення при використанні ідеального об'єктива.

Оптична система з виправленою дисторсією називається ортоскопічною. Зауважимо, параболічні й сферичні дзеркала взагалі вільні від дисторсії. Вільна від дисторсії також тонка лінза, якщо вхідна зіниця (діафрагма) суміщена з лінзою.

1.4. Хроматичні аберації

1.4.1 Дисперсія скла. Оптичні матеріали

Для переважної більшості оптичних матеріалів, що застосовуються в оптичних системах, характерним є зростання показника заломлення зі зменшенням довжини хвилі падаючого випромінювання — нормальна дисперсія.

У випадку оптичних приладів, призначених для візуальних спостережень, використовують кілька стандартних довжин хвиль, які співвідносять з видимим випромінюванням (400-800 нм).

Показник заломлення n_D на довжині хвилі = 589, 3 нм (середнє значення довжини хвилі дуплету жовтих ліній натрію) називається основним показником заломлення.

Мірою дисперсії оптичного матеріалу є середня дисперсія:

D n = n_F -n_C, (5.4)

де n_F — показник заломлення для випромінювання з довжиною хвилі _F = 486, 1 нм (синя лінія водню, F), а n_C показник заломлення для випромінювання з _С= 656, 3 нм (червона лінія водню, C).

Марка скла	Назва	nD	nD
ЛК6	Легкий крон	1, 47214	66, 69
К8	Крон	1, 51829	63, 83
БК6	Баритовий крон	1, 54214	59, 38
ТК14	Важкий крон	1, 61551	60, 34
ТК16	Важкий крон	1, 61519	58, 09
ТК21	Важкий крон	1, 65996	50, 805
Ф1	Флінт	1, 61688	36, 70
ТФ1	Важкий флінт	1, 65219	33, 62
ТФ4	Важкий флінт	1, 74623	27, 90
ТФ10	Важкий флінт	1, 81377	25, 17

Таблиця № 1.

Більш повно характеризує дисперсійні властивості оптичних матеріалів відносна дисперсія:

(5.5)

Величину, обернену відносній дисперсії, називають коефіцієнтом дисперсії, або числом Аббе:

(5.6)

Для розв’язання завдань, пов’язаних із конструювання оптичних систем, було створено велику кількість марок оптичного скла, які відрізняються між собою як величинами основного показника заломлення, так і числом Аббе. Цього вдалося досягти спеціальною технологією виготовлення скла із кремнезему SiO₂ із домішками оксидів металів — калію, магнію, алюмінію, фосфору, свинцю тощо. У таблиці 1 наведено основні марки стекол і їх характеристики.

1.4.2 Типи хроматичної аберації

Хроматична аберація (від грец. — колір) спричинена залежністю показника заломлення середовища (лінзи) від довжини хвилі падаючого випромінювання. У випадку нормальної дисперсії показник заломлення зростає із зменшенням довжини хвилі. Тобто фіолетові промені заломлюються більше, ніж червоні, як наслідок, фокусні відстані однієї і тієї ж лінзи для різних довжин хвиль відрізняються (навіть для параксіальних променів!).

Існують три основні прояви хроматизму. Нехай до оптичної системи надходить випромінювання трьох довжин хвиль. Тоді оптична система внаслідок залежності показника заломлення від довжини світлової хвилі може утворити три монохроматичні зображення для цих трьох довжин хвиль, розташовані на різних відстанях від оптичної системи, але однакового розміру.

Аберація, за наявності якої положення зображень, утворених променями різних довжин хвиль, залежить від довжини світлової хвилі, називається хроматичною аберацією положення — хроматизм положення (рис. 7).

Хроматична аберація положення пропорційна відносному отвору і проявляється в неможливості сфокусувати промені різного кольору в усіх точках фокальної площини одночасно. За наявності хроматизму положення зображення може бути точковим лише для однієї довжини хвиль даного спектрального діапазону; решта променів у цій площині утворюють кружечки розсіювання, які мають забарвлення, що відповідають даним довжинам хвиль. Кружечки розсіювання накладаються один на одного і нескомпенсоване забарвлення залишається лише на краю плями розсіювання.

Кількісно характеризують хроматизм положення величиною поздовжньої хроматичної аберації (рис. 7).

(5.7),

де , — відстані від заломлюючих поверхонь до відповідних точок зображення. Слід зауважити, що радіус кружечка розсіювання, спричиненого хроматизмом у 2 F/D рази менший величини поздовжнього хроматизму.

Наступною хроматичною аберацією є хроматична аберація збільшення (хроматизм збільшення), яка проявляється в тому, що розмір зображення залежить від довжини світлової хвилі, тобто збільшення оптичної системи є функцією довжини світлової хвилі.

У наслідок різниці в розмірах отримуваного зображення об'єкта для різних довжин хвиль, зорі, розміщені поза оптичною віссю, виглядатимуть як невеликі спектри, витягнуті в радіальному напрямі. Розміри спектрів пропорційні відстані від оптичної осі (тобто куту нахилу променя w).

Розглянуті типи хроматичних аберацій проявляються у близьковісній області, тому такі аберації називають хроматичними абераціями першого порядку.

Насправді обидві хроматичні аберації першого порядку найчастіше існують одночасно, і їх поділ на два типи має сенс лише тоді, коли одна з них переважає іншу і геометричними абераціями можна знехтувати.

Справжні оптичні системи працюють із широкими пучками променів, які мають значний нахил до оптичної осі. Тому зображення предмета буде спотворене геометричними абераціями, які також залежать від довжини світлової хвилі, оскільки хід реальних променів визначається законом заломлення, до якого входить показник заломлення. Отже, розрізняють третій тип хроматичних аберацій, які пов’язані із залежністю геометричних аберацій від довжини світлової хвилі.

Хроматичними різницями геометричних аберацій називають різниці геометричних аберацій, обчислені для різних довжин хвиль даного спектрального інтервалу. Прикладом таких аберацій є сферохроматизм.

Сферохроматична аберація (сферохроматизм) — це похибка зображення осьової точки, створюваного далековісними променями різних довжин хвиль, яка виникає внаслідок того, що сферична аберація для різних довжин хвиль неоднакова.

Мірою сферохроматичної аберації є різниця поздовжніх сферичних аберацій для граничних довжин хвиль даного інтервалу:

(5.8),

тому ця аберація ще називається хроматичною різницею сферичних аберацій. Чим менша ця різниця, тим чіткіше отримуване зображення.

З досвіду розрахунків оптичних систем відомо, що одночасне виконання двох умов — відсутності сферичної аберації й відсутності сферохроматизму для всіх падаючих променів, виявляється неможливим.

Зупинимося на сутності механізму усунення хроматичної аберації дещо докладніше. Для цього визначимо зміну оптичної сили лінзи із зміною показника заломлення.

Продиференціювавши формулу оптичної сили тонкої лінзи

(5.9),

отримаємо:

(5.10)

Комбінуючи (5.10) і (5.9), маємо:

(5.11)

Ця рівність у кінцевих різницях буде дорівнювати:

Þ (5.12).

Порівнявши (5.4), (5.5) і (5.12), можна зробити висновок, що хроматизм оптичної сили (і фокусної відстані), а відповідно і хроматизм положення визначається числом Аббе.

Число Аббе показує, яку частину фокусної відстані лінзи складає поздовжній хроматизм. Наприклад, поздовжній хроматизм будь-якої лінзи зі скла флюориту ( = 95) складає: 1/95 × F = 0, 0105 × F або 1, 05% фокусної відстані. Кутовий радіус абераційного кружка розсіювання дорівнює:

 

Для флюориту:

 

Відомо, що оптична сила системи двох лінз, що дотикаються, дорівнює:

Ф = Ф₁ + Ф₂ (5.13)

Диференціюючи, отримаємо:

dФ = dФ₁ + dФ₂ (5.14)

Використавши вираз (5.12), отримаємо умову ахроматизації системи з двох лінз.

Звідки

(5.15)

Проаналізувавши (5.15), можна зробити висновок, що ахроматизація (усунення хроматизму положення) дволінзової системи з’єднаних лінз можлива при одночасному виконанні двох умов:

· одна з лінз повинна бути додатною, а друга — від’ємною;

· лінзи повинні бути виготовлені зі скла різних марок ().

Отримана рівність забезпечує ахроматизацію лише для двох ліній спектра. Оптична система із суміщеними фокусами двох довжин хвиль називається ахроматизованою, а такі об’єктиви — ахроматами.

Ахроматизація для візуальних спостережень (телескопи) розраховується таким чином, що збігаються фокуси червоних і синіх променів ( = 656, 3 нм і = 486, 1 нм); ахроматизація систем призначених для фотографування (фотографічні об'єктиви), виконується з розрахунку збігу фокусів для = 434, 1 нм і = 589, 3 нм. Загалом для будь-якої іншої довжини хвилі падаючого випромінювання ахроматизація відсутня. Залишкова хроматична аберація положення для всіх інших довжин хвиль називається вторинним спектром.

Об'єктиви, в яких ахроматизація виконується для трьох довжин хвиль, за умови відсутності хроматичної різниці сферичної аберації, називають апохроматами. Умова апохроматизації може розглядатися як двократна ахроматизація.

Якщо ж оптична система має дві лінзи, розташовані на малій відстані одна від одної, то в такій дволінзовій розклейці два радіуси кривини можна обрати, виходячи з умови усунення двох геометричних аберацій. Тобто, у дволінзовій розклейці можна виправити три аберації (!)— дві геометричні та одну хроматичну.

З розглянутих фізичних основ семи найголовніших видів аберацій можна зробити висновок, що повне виправлення всіх недоліків в оптичній системі може бути дуже складним і, навіть неможливим. Тому на практиці ідуть на компроміс, при розрахунку оптичних систем виправляють систему лише на ті аберації, які для досягнення даної мети неприпустимі, а інші залишають.

2. Астрономічні об'єктиви

Об'єктиви телескопічних систем використовуються для:

- визначення точних положень (координат) небесних тіл, тобто для розв'язання астрометричних задач;

- реєстрації й дослідження випромінювання небесних тіл, тобто для розв'язку задач астрофізики.

Астрономічні телескопи залежно від використовуваних об'єктивів поділяються на три групи:

1) телескопи з лінзовими об'єктивами рефрактори (лат. refractus ― заломлений);

2) телескопи з дзеркальними об'єктивами (лат. reflecto — відбиваю) рефлектори;

3) телескопи з дзеркально-лінзовими об'єктивами.

До кінця ХIХ ст. головною метою телескопічних спостережень було вивчення видимого положення небесних світил, комет і деталей на планетних дисках. Усі ці спостереження виконувалися візуально та за допомогою рефракторів із дволінзовими об'єктивами.

У кінці ХIХ і особливо в ХХ ст. центр тяжіння досліджень змістився в галузь астрофізики та зоряної астрономії. Предметом досліджень стали фізичні характеристики Сонця, планет, зірок і зоряних систем. З'явилися нові приймачі випромінювання (фотоемульсія й фотоелементи), широкого застосовування набула спектроскопія.

Фотографічна емульсія та фотоелементи чутливі до ширшого діапазону спектра, ніж око спостерігача, тому вплив хроматичної аберації на отримуване зображення більш суттєве. Значними є обмеження, викликані поглинанням у склі ультрафіолетового та інфрачервоного випромінювання. Таким чином, для астрофізичних досліджень необхідні телескопи-рефлектори. До того ж велике дзеркало рефлектора виготовити значно простіше, ніж багатолінзові об'єктиви.

В астрометричних дослідженнях продовжують застосовувати телескопи-рефрактори. Причина полягає в дуже високій чутливості рефлекторів до малих випадкових поворотів головного дзеркала: з причини рівності кута відбивання куту падіння поворот дзеркала на деякий кут зміщує зображення на кут 2 . Відповідний поворот об'єктива рефрактора викликає значно менше зміщення. Як відомо, в астрометрії положення світил вимірюється з максимальною точністю, тому вибір зроблено на користь рефракторів.

Рефлектор з одним лише параболічним дзеркалом не дає змоги фотографувати великі ділянки неба, що потрібно для дослідження зоряних скупчень, галактик та галактичних туманностей. Тому для спостережень, які потребують великого поля зору, будують комбіновані дзеркально-лінзові телескопи, в яких аберації дзеркала виправляються тонкою лінзою (або пластинкою).

а) лінзові об'єктиви

Значні аберації, властиві простим однолінзовим об'єктивам, є головною перешкодою у їх використанні навіть у навчальних та аматорських телескопах. Найпоширенішими астрономічними об'єктивами є дублети (об'єктиви з двох лінз), у яких одна з лінз виготовлена з легкого скла крону, а інша з важкого флінту. Лінзи можуть бути склеєні між собою або розміщені на невеликій відстані одна від одної (рис. 8). Склеєні дублети застосовуються у двох модифікаціях: «крон попереду» (дублет Фраунгофера) і «флінт попереду». Вони являються ахроматичними апланатами. Тобто поряд із виправленою хроматичною аберацією положення і сферичною аберацією, відсутні також кома і дисторсія. Робоче поле 2⁰-3⁰. Не усунені — астигматизм і кривина поля. Використовують дублети (особливо дублети Фраунгофера) у нормальних астрографах.

При візуальних спостереженнях добре зарекомендував себе несклеєний дублет Кларка (рис. 9). Цей об'єктив вигідний виключно з практичних міркувань (швидко вирівнюється температура та легко протирати внутрішні поверхні).

Зауважимо, що поверхні всіх перерахованих об'єктивів є сферичними. Переходячи до асферичних поверхонь, шляхом ретушування, можна значно покращити їх характеристики.

Трилінзові об'єктиви - триплети - розраховуються для повної ахроматизації трьох довжин хвиль (об'єктиви апохромати). Прикладом триплета може бути триплет Кука (розрахований у 1894 Д. Тейлором). Цей об'єктив є також анастигматом (рис. 10)

Об'єктиви-триплети розраховуються як візуальні або фотографічні. Для візуальних триплетів третьою довжиною хвилі, що ахроматизується (окрім червоної й фіолетової) є ефективна довжина хвилі ока людини ( = 550 нм), а для фотографічних триплетів ефективна довжина хвилі фотоемульсії ( = 430 нм).

Подальше удосконалення об'єктивів спрямовано на ускладнення триплетів (дроблення або ускладнення однієї з лінз триплета). Такі об'єктиви є апланатами, тобто вони забезпечують велике плоске поле зображень. Одночасно вони є апохроматами.

Збільшення кількості лінз в об'єктиві викликає зростання світлових втрат та можливості децентрування.

б) дзеркальні об'єктиви

На рис. 11-13 зображені оптичні схеми різних систем дзеркальних телескопів. Системи, що складаються з головного параболічного дзеркала і будь-якої кількості плоских дзеркал, називаються простими. Це:

1) система з прямим (головним) фокусом;

2) система Ньютона (1670);

3) система кільцевого телескопа Грегорі (1672);

4) система Ломоносова (1762)-Гершеля (1789).

Рис. 11. Схеми простих дзеркальних систем телескопів

Далі розглянемо складні телескопічні системи з двох дзеркал: вгнутого головного й допоміжного (або опуклого). Складні системи поділяють на передфокальні та зафокальні.

Передфокальні системи (допоміжне дзеркало попереду фокуса головного):

5) система Кассегрена (1672)-Кретьєна (1922), подовжує фокус;

6) система Шварцшильда (1905), скорочує фокус (рис. 12).

Рис. 12. Передфокальні телескопічні системи

Зафокальні системи (допоміжне дзеркало розміщене за фокусом головного):

7) система Грегорі (1663), подовжує фокус;

8) система Максутова (1924), скорочує фокус.

 

Рис. 13. Зафокальні телескопічні системи

Частковими випадками є:

9) передфокальна система Несміта (1850); це дещо змінена система Кассегрена при необхідності направити пучок променів до вісі схилення (фокус Несміта) або, за допомогою двох плоских дзеркал, до полярної вісі (фокус Куде);

10) система Мерсена (1636).

 

Рис. 14. Часткові випадки дзеркальних систем телескопів

Параболічне дзеркало дає можливість отримати на оптичній осі майже ідеальне зображення, та з віддаленням від оптичної вісі якість зображення швидко погіршується внаслідок аберацій скісних променів. Для виправлення аберацій поля параболічних дзеркал Росс запропонував використовувати афокальну корекційну систему з двох лінз, розміщених попереду фокуса головного дзеркала. Така система збільшує робоче поле телескопа в 20-30 разів, але залишає невиправлений астигматизм.

Комбінуючи головне параболічне ввігнуте дзеркало з випуклим гіперболічним, можна значно збільшити еквівалентну фокусну відстань і одночасно компенсувати сферичну аберацію. Ця система була запропонована ще в ХVII ст. Кассегреном. Перший апланатичний телескоп (у якому виправлена сферична аберація й кома) був розрахований за схемою передфокальної скорочуючої системи. Головне дзеркало ввігнуте гіперболічне, друге ― ввігнутий сплюснутий сфероїд. У цьому телескопі виправлена сферична аберація, кома й кривизна поля, але залишився значний астигматизм.

У 1924 р. Кретьєн запропонував передфокальну подовжуючу апланатичну систему. Головне дзеркало ввігнуте гіперболічне, а друге випукле гіперболічне. В системі виправлена сферична аберація й кома, але не виправлений астигматизм і кривизна поля. У класичних системах корисне поле обмежено із-за коми, а в апланатичних системах із-за астигматизму.

Глибоке вивчення апланатичних систем було виконане Д.Д. Максутовим, який довів, що:

1) передфокальні апланатичні системи потребують гіперболічної форми головного дзеркала;

2) зафокальні апланатичні системи потребують еліптичної форми головного дзеркала.

Допоміжне дзеркало підбирають відповідно до розв'язуваних завдань.

в) дзеркально-лінзові об'єктиви

Найбільш поширеною дзеркально-лінзовою системою є система Шмідта (1930 р.) та її модифікації (рис. 15). Головне дзеркало системи Шмідта має сферичну форму, наслідком якої є значна сферична аберація. Натомість аберації скісних пучків, за винятком кривини поля, для такого дзеркала не спостерігаються. Це пов'язане з тим, що сферична поверхня не має виділеної головної оптичної осі; усі осі, що проходять через центр кривини, є рівноправними. Сферичне дзеркало будує зображення на сферичній фокальній поверхні, радіус якої дорівнює половині радіуса кривини дзеркала. Отже, використовуючи в системі Шмідта головне дзеркало сферичної форми, можна повністю позбутися коми, дисторсії та астигматизму, свідомо залишаючи значну сферичну аберацію й кривину поля. У центрі кривини головного дзеркала, яке є вхідною зіницею системи, розміщується лінзовий коректор (корекційна пластинка Шмідта), що являє собою практично плоско-паралельну пластинку з ледве помітним рельєфом (по краях пластинка від’ємна, а в центрі — додатна). Таке розміщення корекційної пластинки дозволяє уникнути її впливу на астигматизм та кривину поля основної системи.

Таким чином, система будує стигматичне зображення на сферичній фокальній поверхні. Кривина поля системи усувається за рахунок викривленої поверхні фотопластинки.

Отже, система Шмідта за умови точного виготовлення лінзового коректора, правильного центрування і жорсткого з'єднання оптичних деталей може бути повністю вільна від аберацій, за винятком незначного хроматизму, який привноситься пластинкою Шмідта. Поле зору такої системи сягає 40⁰, відносний отвір становить від А=1: 3 до А=1: 5. Існують різноманітні модифікації цієї системи, у тому числі призначені для візуальних та спектральних спостережень.

Другим прикладом дзеркально-лінзових телескопів є меніскова система Максутова (1941 р.), зображена на рис. 16. Головне дзеркало системи має сферичну форму, у фокусі якого розміщується тонкий сферичний лінзовий меніск (від грец. — місячний серп) — тонка ввігнуто-опукла лінза, що має додатну сферичну аберацію за рахунок якої усувається від'ємна сферична аберація дзеркала. Меніск, на противагу дзеркалу, дуже чутливий до похибок поверхні: радіус кривини необхідно витримати з точністю 0, 2-0, 3 мм, а різницю у товщині в центрі — 0, 02 мм, із боків — 0, 003 мм.

Суттєвою перевагою системи є герметичність труби та значно менші розміри.

За своїми характеристиками оптична система Максутова дещо поступається системі Шмідта.

Недоліками системи Максутова є незначний хроматизм і астигматизм, що привносяться меніском, труднощі у виготовленні меніска, складності центрування системи.

Система Максутова майже не застосовується в практиці професійної астрономії, але навчальні меніскові телескопи Максутова, модифіковані для візуальних спостережень, зустрічаються в школах.