Решение типовых задач. №1. Имеются следующие данные о производстве рабочими продукции А за смену:

 

№1. Имеются следующие данные о производстве рабочими продукции А за смену:

 

Номер рабочего
Выпущено изделий за смену, шт.

 

Определить среднюю выработку продукции рабочими данной группы.

 

Решение:

В данном случае расчет следует производить по формуле простой средней арифметической:

.

 

Простая средняя арифметическая применяется, когда данные первичны, т.е. данные не сгруппированы, представлены индивидуально в виде их перечня в любом порядке или ранжированного ряда.

 

№2 Имеются данные о заработной плате работников:

 

Месячная заработная плата (х), тыс. руб.	Число рабочих, f	Xf
5, 5 6, 5 8, 0 9, 5 11, 0
Итого:

 

Определить среднюю заработную плату работников.

Решение: Основой расчета является экономическое содержание показателя:

тыс. руб.

Частотами (весами) могут быть относительные величины, взятые в процентах или коэффициентах. Метод расчета средней и конечный результат от этого не изменяется.

Представим данные о численности рабочих в условии приведенной выше типовой задачи в относительных величинах:

 

Месячная заработная плата (х), тыс. руб.	Число рабочих в % к итогу	Доля рабочих в коэффициентах
5, 5 6, 5 8, 0 9, 5 11, 0		0, 04 0.08 0, 16 0, 40 0, 32	2, 20 5.20 12, 80 38, 00 35, 20
Итого:	100, 0	1, 00	93, 40

 

Средняя заработная плата рабочего, взвешенная по процентным соотношениям, будет равна средней, полученной при решении типовой задачи 2:

 

;

 

тыс. руб.

 

Если весами являются частоты, выраженные в коэффициентах, то вычисления упрощаются; так как сумма коэффициентов всегда равна единице, то расчет средней сводится к определению суммы произведений вариант на частоты (в данном случае коэффициенты):

.

 

тыс. руб.

 

№3 Имеются следующие данные:

 

Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт.	Число рабочих, f	Середина интервала, х	xf
6 – 10 10 – 14 14 – 18 18 – 22 22 - 26
Итого:	100, 0

 

Определите среднюю выработку продукции одним рабочим за смену.

 

Решение: исчисление средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной:

.

 

Чтобы применить эту формулу необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала. Так, для первой группы дискретная величина Х

.

 

Дальнейший расчет производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной:

шт.

 

Итак, все рабочие произвели 1500 шт. изделий за смену, а каждый в среднем произвел 15 шт.

В данном ряду варианты осредняемого признака представлены в виде закрытых интервалов. Преобразуем рассмотренный ряд в ряд с открытыми интервалами.

 

Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт.	Число рабочих, f
до 10 10 – 14 14 – 18 18 – 22 свыше 20
Итого:

 

В таких рядах условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы – величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.

 

№4. Выработка продукции за смену на предприятии характеризуется следующими данными:

 

Бригада, №	Дневная выработка продукции, шт.(x)	Число рабочих, чел. (f)
I II III

 

Определить среднедневную выработку продукции рабочих цеха.

Решение: Основой расчета является экономическое содержание показателя:

 

 

Расчет производим по средней арифметической взвешенной:

 

В этой задаче варианты (дневная выработка продукции) являются не индивидуальными, а средними по бригаде величинами. Весами выступает число рабочих в бригаде.

- объем произведенной продукции на предприятии.

шт.

 

№5 Определить средний процент выполнения плана прибыли акционерным обществом (АО)

 

Предприятия АО	Плановая прибыль за 1 год, млн. руб. (f)	Выполнение плана прибыли, %. (х)
Итого:

 

Требуется определить средний процент выполнения плана прибыли АО.

Решение: Основой расчета является экономическое содержание показателя:

 

В этой задаче варианты (процент выполнения плана прибыли) являются не индивидуальными, а средними по предприятию. Веса представлены плановой прибылью. При вычислении среднего процента выполнения плана прибыли следует использовать формулу средней взвешенной арифметической величины:

,

 

где - фактическая прибыль, получаемая путем умножения вариант (процент выполнения плана прибыли) на веса (плановая прибыль).

 

или 93, 68%.

 

Произведя вычисления, варианты (х) лучше брать в коэффициентах. Это позволяет получить фактический объем прибыли в абсолютных значениях (млн. руб.) как в целом, так и по каждому предприятию АО, что дает возможность сравнивать фактическую прибыль с плановой, находить абсолютные приросты прибыли, производить сравнения.

Наряду со средней арифметической в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.

 

№ 6. Издержки производства и себестоимость единицы продукции А по трем акционерным обществам (АО) характеризуются следующими данными:

 

Предприятия (АО)	Издержки производства, млн. руб. (М)	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб. (Х)
Итого:

 

Определить среднюю себестоимость изделия А по трем АО:

Решение: Основой расчета является экономическое содержание показателя:

 

В условии задачи даны себестоимость единицы продукции (Х) и издержки производства (), поэтому исходя из экономического содержания показателя надо применять среднюю гармоническую взвешенную:

 

тыс. руб.

 

№ 7. Имеются данные о распределении рабочих по затратам времени на обработку одной детали:

Таблица 2.1

Затраты времени на одну деталь, мин.	Число рабочих, чел. (f)
А
4 – 5 5 – 6 6 – 7 7 – 8 8 – 9 9 – 10 10 - 11
Итого:

Определить обобщающие характеристики:

1) средние затраты времени на обработку одной детали;

2) моду;

3) медиану.

Решение:

1. В интервальном ряду распределения с равными интервалами среднее значение признака определяется по формуле средней арифметической взвешенной

мин.

Таблица 2.2

Рабочая таблица

Затраты времени на одну деталь, мин.	Число рабочих, чел. (f)	X	Хf	Накопленные частоты, (F)
4 – 5 5 – 6 6 – 7 7 – 8 8 – 9 9 – 10 10 - 11		4, 5 5, 5 6, 5 7, 5 8, 5 9, 5 10, 5	36, 0 99, 0 149, 5 225, 0 102, 0 57, 0 31, 5
Итого:			700, 0

 

2. Значение признака, наиболее часто встречающееся в совокупности, называется модой. Для интервальных вариационных рядов распределения мода рассчитывается по формуле

,

где х₀ – нижняя граница модального интервала;

i - величина интервала группировки;

f₁ - частота интервала, предшествующему модальному;

f₂ - частота модального интервала;

f₃ - частота интервала следующего за модальным.

мин.

 

3. Медианой называется значение признака у единицы, стоящей в середине ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части. Для интервального вариационного ряда медиана определяется по формуле:

,

 

где х₀ – нижняя граница медианного интервала;

i – величина интервала группировки;

N_Ме – номер медианы ();

F_Ме-1 – накопленная частота интервала предшествующего медианному;

f_Ме – частота медианного интервала.

 

мин.

Таким образом, одна половина рабочих затрачивает на обработку детали до 7, 033 мин., другая свыше 7, 033 мин.

В симметричных совокупностях три обобщающие характеристики равны между собой . Для общественно-экономических явлений характерны асимметричные распределения. В них замечается определенная тенденция удлиняться в какую – либо сторону (левую или правую) от точки наибольшей плотности. Различают два типа асимметрии: правостороннюю, где и левостороннюю, где .

Наличие скошенности в рядах однородных совокупностей служит косвенным указанием на то, что исследуемый процесс проходит активную стадию развития. При исследовании вариации признаков, относительно которых имеется заинтересованность в их увеличении (выполнение норм, производительность труда, выпуск продукции и т.д.), правосторонняя асимметрия свидетельствует о прогрессивном развитии, о том, что оно идет в сторону увеличения показателя, а левосторонняя асимметрия указывает на наличие большого количества отстающих участков. При исследовании вариации признаков, относительно которых имеется заинтересованность в их уменьшении (себестоимость, трудоемкость и т.д.), правосторонняя асимметрия свидетельствует о недостаточном развитии изучаемого процесса, левосторонняя – об успешном его развитии.

В нашем примере исчисленные обобщающие характеристики показывают левостороннюю асимметрию в распределении рабочих по затратам рабочего времени на изготовление одной детали ( = 7–7, 28 = -0, 28 < 0). Эти данные говорят о прогрессивности развития явления. Увеличение доли рабочих с меньшими затратами времени на одну деталь, в конечном счете, приводит к эффективности использования рабочего времени.

Задачи

 

№2.1 Имеются данные о распределении рабочих двух акционерных обществ по тарифным разрядам (см. таблицу 2.3).

Определите средний тарифный разряд рабочего:

1) по АО №1;

2) по АО №2.

Сравните полученные результаты

3) по двум АО вместе

Таблица 2.3

Тарифный разряд	Число рабочих в АО
№1	№2
I II III IV V VI
Итого:

№2.2 Имеются данные о расходе сырья на единицу продукции:

 

Расход сырья на единицу, г	Обследовано изделий, шт.
36 – 40 40 – 44 44 – 48 48 – 52 52 и выше
Итого:

 

Определите средний расход сырья на одно изделие.

№2.3 Имеются данные о распределении вкладов населения в филиалах сберегательного банка двух районов:

Размер вклада, руб.	Число вкладчиков, в % к итогу
1 район	2 район
До 800 800 – 1100 1100 – 1400 1400 – 1700 1700 – 2000 Свыше 2000
Итого:

 

Определите средний размер вклада в филиалах сберегательного банка первого и второго районов. Сравните полученные результаты и объясните, почему средний размер вклада в филиалах 2 района оказался выше, чем в филиалах 1 района.

 

№2.4 Имеются следующие данные:

 

Объекты кредитования	Среднегодовые остатки задолженности по кредиту, млн. руб.	Ставка процентов, %
Базисный период	Отчетный период
Первый Второй Третий

Определите среднюю ставку процентов по краткосрочным ссудам в базисном и отчетном периодах.

 

№ 2.5 Имеются данные о получении прибыли акционерными обществами района за отчетный год:

 

АО	Получено прибыли за отчетный год, тыс. руб.	Выполнение плана прибыли, %

 

Определить: 1) средний процент выполнения плана прибыли АО; 2) сколько недополучено прибыли АО района.

№2.6 Имеются данные о производстве и себестоимости продукции «А» по двум предприятиям:

 

Предприятие №	Базисный год	Отчетный год
Себестоимость единицы, руб.	Производство, тыс. шт.	Себестоимость единицы, руб.	Производство, тыс.шт.
	14, 0 22, 0		13, 0 21, 6

 

Определить среднюю себестоимость продукции в базисном и отчетном годах. Объясните, почему при более низкой себестоимости по каждому предприятию в отчетном году средняя себестоимость оказалась выше, чем в базисном году.

 

№2.7 Имеются следующие данные о заработной плате рабочих двух цехов за два месяца:

№ цеха	Сентябрь	Октябрь
Средняя зарплата, руб.	Численность рабочих, чел.	Средняя зарплата, руб.	Фонд зарплаты, тыс. руб.
				1508, 7 1010, 6

 

Вычислите среднюю заработную плату рабочих по двум цехам завода: а) за сентябрь; б) за октябрь. Сравните полученные результаты. Укажите виды средних.

 

№2.8 Имеются данные по предприятиям за отчетный год:

Заводы	I квартал	II квартал
План выпуска продукции млн. руб.	% выполнения плана	Фактический выпуск, млн. руб.	% выполнения плана

 

Определите средний процент выполнения плана выпуска продукции за I и II кварталы. Сделайте выводы.

 

№ 2.9 Бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8 – часового рабочего дня. Первый токарь затрачивал на одну деталь 10 мин., второй – 15 мин., третий – 12 мин., четвертый – 14 мин., пятый – 16 мин.

Определите среднее время, необходимое для изготовления одной детали.

 

№2.10 По двум предприятиям, вырабатывающим продукцию «А», имеются следующие данные:

Номер завода	Базисный год	Отчетный год
Затраты времени на единицу продукции, мин.	Изготовлено продукции, тыс. шт.	Затраты времени на единицу продукции, мин.	Затраты времени на всю продукцию, мин.
				30 000 50 000

Вычислите средние затраты времени на одну деталь в целом по двум предприятиям за базисный и отчетный годы. Какие виды и формы средних величин Вы применили, почему?

 

№2.11 Стоимость стратегически важных товаров, задержанных и не пропущенных таможенной службой при вывозе из России в январе 2005 г., характеризуется следующими данными:

 

Страны	Стоимость задержанных товаров, млн. руб.	В % от общей стоимости вывозимых товаров
Латвия Эстония Беларусь

 

Вычислить общий средний процент задержанных таможенной службой товаров по совокупности стран.

 

№ 2.12 Заработная плата бригады строителей по отдельным профессиям за месяц характеризуется следующими данными:

 

Маляры	Штукатуры	Кровельщики
Зарплата, руб.	Число рабочих, чел.	Зарплата, руб.	Число рабочих, чел.	Зарплата, руб.	Число рабочих, чел.
Итого:		-		-

 

Определить среднюю заработную плату рабочих по каждой профессии и в целом по бригаде.

 

№2.13 Определить средний процент брака в составе всей произведенной продукции по следующим данным:

 

Изделия	% брака	Стоимость брака, тыс. руб.
	1, 5 2, 0 0, 8

 

 

№2.14 В трех партиях выпущенных цехом деталей оказалось забракованными:

 

Партия	Количество забракованных деталей	% забракованных деталей от общего числа деталей в партии
		2, 7 2, 1 1.9

 

Вычислить средний процент брака во всех трех партиях вместе.

№2.15 Распределение рабочих предприятия по степени выполнения норм выработки за 1 квартал характеризуется следующими показателями:

 

Группы рабочих по выполнению норм выработки, (%)	Число рабочих
апрель	май	июнь
До 90 90- 100 100 – 110 110 – 120 120 – 130 130 – 140 140 - 150			-
Итого:

 

Определите моду и медиану, и средний процент выполнения норм выработки по каждому ряду распределения. Сделайте выводы.