Решение типовых задач. №1. Для изучения расхода сырья на единицу продукции проведена двухпроцентная случайная выборка, в результате которой получены следующие обобщенные данные:

 

№1. Для изучения расхода сырья на единицу продукции проведена двухпроцентная случайная выборка, в результате которой получены следующие обобщенные данные:

 

Расход сырья на единицу, г.	Обследовано изделий, шт. (f)
18 – 20 20 – 22 22 – 24 24 – 26 26 и выше

 

Определить:

1) средний расход сырья на одно изделие;

2) дисперсию и среднее квадратическое отклонений;

3) коэффициент вариации;

4) с вероятностью 0, 954: предельную ошибку выборочной средней и возможные пределы расхода сырья для всей партии изделий;

5) возможные пределы удельного веса изделий с расходом сырья от 20 до 24 г.

 

 

Решение:

Все необходимые расчеты представим в таблице 4.1.

Таблица 4.1.

 

Расход сырья на ед.г.	Число изделий, шт.,	Середина интервала, (Х)
А
18-20 20 – 22 22 – 24 24 – 26 Свыше 26				-3, 6 -1, 6 0, 4 2, 4 4, 4	12, 96 2, 56 0, 16 5, 76 19, 36	64, 8 71, 68 8, 32 69, 12 58, 08
Итого						272, 0

 

Средний расход сырья на одно изделие в выборке равен:

г.

 

Вычислим дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

 

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии

 

Коэффициент вариации:

%.

 

Предельная ошибка выборочной средней:

 

Следовательно, границы генеральной средней будут находиться в пределах

или

 

С вероятностью 0, 954 можно утверждать, что расход сырья на единицу продукции всей партии может изменяться от 22, 273 до 22, 927 г.

Ошибка выборочной доли определяется по формуле:

 

Сначала определим выборочную долю (частость):

или 80 %

 

Выборка показала, что расход сырья от 20 до 24 граммов на единицу продукции приходится на 80% изделий. Определим предельную ошибку доли:

или 7.9 %

 

С учетом ошибки генеральная доля ожидается в границах:

или

 

Следовательно, с вероятностью 0, 954 можно утверждать, что во всей партии продукции удельный вес изделий с расходом сырья от 20 до 24 граммов ожидается в пределах не менее 72, 1 % и не более 87, 9 %.

На практике применяют не только случайный отбор или механический, но и другие виды. Особое значение придается типической выборке, т.е. такой, когда генеральная совокупность разбивается на группы по изучаемому признаку, а затем из каждой группы производится отбор единиц, как правило пропорционально объему единиц в группах. Типическая выборка обеспечивает наибольшую репрезентативность.

Для типической выборки предельная ошибка репрезентативности определяется по формуле ,

где - средняя дисперсия из групповых дисперсий.

 

№2. По материалам выборочного обследования 625 семей области получены следующие данные:

Таблица 4.2

 

Семья	Обследовано семей,	Доля расходов на платные услуги, %	Доля расходов на платные услуги, в коэффициентах	Дисперсия доли,
Городских поселений Сельской местности		37, 0   24, 0	0, 37   0, 24	0, 2331   0, 1824
	n=625	-	-	-

 

Выборка 2%-ная проведена по методу типического пропорционального отбора. В группах применялся механических отбор семей.

С вероятностью 0, 954 определить пределы доли расходов на платные услуги жителями области.

Решение:

Доля расходов на платные услуги жителями области находится в пределах:

.

 

Следовательно, для решения необходимо предварительно определить среднюю долю расходов по 2 группам населения, а затем ее ошибку.

Средняя доля равна:

или 34, 4 %.

 

Для расчета ошибки выборки типического отбора надо вычислить среднюю из групповых дисперсий. В графе 5 таблицы 4.2 показан расчет групповых дисперсий доли. Вычислим среднюю из них:

.

 

Теперь вычислим предельную ошибку типической выборки:

, 3, 7%;

 

или

 

Таким образом, можно с вероятностью 0, 954 утверждать, что доля расходов населения области на платные услуги ожидается в пределах не менее 30, 7 % и не более 38, 1 %.

Аналогично вычисляется ошибка типической выборки для выборочной средней (для варьирующего признака).

 

№3. В механическом цехе завода в десяти бригадах работает 100 рабочих. В целях изучения квалификации рабочих была произведена 20% - ная серийная бесповторная выборка, в которую вошли 2 бригады. Получено следующее распределение обследованных рабочих по разрядам:

 

Рабочие	Разряды рабочих в бригаде 1	Разряды рабочих в бригаде 2	Рабочие	Разряды рабочих в бригаде 1	Разряды рабочих в бригаде 2

 

Необходимо определить с вероятностью 0, 997 пределы, в которых находится средний разряд рабочих механического цеха.