РАЗДЕЛ V. ОПТИКА

5.1. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

1. Показатель преломления среды:

,

где c – скорость света в вакууме,

- скорость света в среде.

2. Световой поток:

,

где ω – телесный угол.

3. Светимость источника:

.

4. Сила света:

.

5. Яркость светящегося тела:

, ,

где I – сила света,

i – угол падения света.

Если яркость не зависит от направления, то по закону Ламберта:

.

6. Освещенность:

.

7. Скорость света в среде:

,

где c – скорость света в вакууме, n – показатель преломления среды.

8. Оптическая длина пути луча света:

,

где l – геометрическая длина пути луча в среде с показателем преломления n.

9. Оптическая разность хода двух лучей:

.

Зависимость оптической разности фаз с оптической разностью хода:

,

где λ – длина световой волны.

10. Условия максимального усиления света при интерференции.

.

Условия максимального ослабления света:

.

11. Оптическая разность хода лучей, возникающая при отражении монохроматического света от тонкой пленки:

или ,

где d – толщина пленки,

n – показатель преломления пленки,

a – угол падения, b – угол преломления света в пленке.

12. Радиус светлых колец Ньютона в отраженном свете:

,

где k – номер кольца (k = 1, 2, 3, …), R – радиус кривизны линзы.

Радиус темных колец Ньютона в отраженном свете:

.

13. Угол j отклонения лучей, соответствующий максимуму (светлая полоса) при дифракции на одной щели, определяется из условия:

где a – ширина щели, k – порядковый номер максимума.

14. Угол j отклонения лучей, соответствующий максимуму (светлая полоса) при дифракции света на дифракционной решетке, определяется из условия:

,

где d – период дифракционной решетки.

15. Разрешающая способность дифракционной решетки:

,

где Δ λ – наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий (λ и λ +Δ λ), при которой они могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки,

N – полное число щелей решетки.

16. Формула Вульфа-Брэгга:

,

где q – угол скольжения (угол между направлением пучка параллельных рентгеновских лучей, падающих на кристалл, и гранью кристалла).

Формула Вульфа-Брэгга определяет направление лучей, при которых возникает дифракционный максимум.

17. Закон Брюстера:

,

где – угол падения, при котором отразившийся от диэлектрика луч полностью поляризован,

– относительный показатель преломления второй среды относительно первой.

18. Закон Малюса:

,

где I ₀ – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор,

I – интенсивность этого света после анализатора,

a – угол между направлением колебания света, падающего на анализатор, и плоскостью пропускания анализатора (если колебания падающего света совпадают с этой плоскостью, то анализатор пропускает данный свет без ослабления).

19. Угол поворота плоскости поляризации монохроматического света при прохождении через оптически активное вещество:

а) в твердых телах:

,

где a – постоянная вращения, d – длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе.

б) в растворах:

,

где [a] – удельное вращение, p – массовая концентрация оптически активного вещества в растворе.

20. Релятивисткая масса:

или ,

где m ₀ – масса покоя частицы, - ее скорость, c – скорость света в вакууме, b - скорость частицы, выраженная в долях скорости света (b= /c).

21. Взаимосвязь массы и энергии релятивисткой частицы:

или ,

где E₀ = m₀c² – энергия покоя частицы.

22. Полная энергия свободной частицы:

,

где T – кинетическая энергия релятивисткой частицы.

23. Кинетическая энергия релятивисткой частицы:

или .

24. Импульс релятивисткой частицы:

или .

25. Связь между полной энергией и импульсом релятивисткой частицы:

.

26. Закон Стефана-Больцмана:

,

где R_e – излучательность (энергетическая светимость) абсолютно черного тела, s – постоянная Стефана-Больцмана, T – термодинамическая температура Кельвина.

27. Закон смещения Вина:

,

где λ ₀ – длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения, в – постоянная Вина (в = 2, 9 10^-3 мК).

28. Энергия фотона:

или ,

где h – постоянная Планка, ћ – постоянная Планка, деленная на 2π, v – частота фотона, ω – циклическая частота.

29. Масса фотона:

,

где - скорость света в вакууме, - длина волны фотона.

30. Импульс фотона:

.

31. Формула Эйнштейна для фотоэффекта:

,

где - энергия фотона, падающего на поверхность металла; - работа выхода электрона; - кинетическая энергия фотоэлектрона.

32. Красная граница фотоэффекта:

или ,

где - минимальная частота света, при которой ещё возможен фотоэффект;

- максимальная длина волны света, при которой ещё возможен фотоэффект;

- постоянная Планка; - скорость света в вакууме.

33. Формула Комптона:

или ,

где - длина волны фотона, рассеянного на угол после столкновения с электроном; - масса покоящегося электрона.

34. Комптоновская длина волны:

.

35. Давление света при нормальном падении на поверхность:

,

где - облучённость поверхности; - объёмная плотность лучистой энергии; - коэффициент отражения света поверхностью.

5.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. От двух когерентных источников S₁ и S₂ (l = 0, 8 мкм) лучи попадают на экран (рис.1). На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную плёнку (n = 1, 33), интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьшей толщине d_min плёнки это возможно?

Решение. При падении световой волны на тонкую прозрачную пленку или пластинку толщиной b происходит отражение от обеих поверхностей пластинки, при этом возникают две световые волны, которые могут интерферировать.

Рис. 1.

Интерференция при отражении от тонких пленок или пластинок.

- длина отрезка BC;

- сумма длин отрезков AO и OC.

Отсюда следует:

. (1)

Проведем в (1) преобразование: :

.

Найдем разность хода и разность фаз, учитывая, что при отражении света от границы раздела оптически менее плотной с оптически более плотной средой разность хода увеличивается на , а фаза волны увеличивается на p:

, (2)

.

Условие максимума при интерференции будет выполняться при определенной длине волны для заданного угла падения q₁, при этом поверхность окрасится одним цветом. При изменении угла падения, цвет будет изменяться. Если пластинка имеет переменную ширину, то окраска меняется на разных участках. Толщину пленки можно определить, измеряя угол падения света и длину отраженной волны.

Изменение интерференционной картины на противоположную означает, что на тех участках экрана, где наблюдались интерференционные максимумы, стали наблюдаться интерференционные минимумы. Такой сдвиг интерференционной картины возможен при изменении оптической разности хода лучей на нечётное число половин длин волн, т.е.

, (3 )

где D₁ – оптическая разность хода лучей до внесения плёнки;

D₂ – оптическая разность хода лучей после внесения плёнки;

Наименьшей толщине плёнки d_min соответствует k = 0. При этом формула (3) примет вид:

; (4)

Выразим оптические разности D₁ и D₂

,

.

Подставим выражения D₁ и D₂ в формулу (4):

, или .

Отсюда

.

Подставив числовые значения, найдём:

Пример 2. На дифракционную решётку (рис. 2) в направлении нормали к её поверхности падает монохроматический свет. Период решётки d = 2 мкм. Каков наибольший порядок дифракционного максимума, который даёт эта решётка в случае красного (l₁ = 0, 7 мкм) и в случае фиолетового (l₂ = 0, 41 мкм) света?

Решение. Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально на решетку. Каждая из щелей решетки дает на экране дифракционную картину. Линза собирает волны от всех щелей, идущие под углом j. Амплитуды колебаний, создаваемых каждой щелью в точке О будут одинаковы.

В центре экрана амплитуда

A = NА₀ ,

где N – число щелей.

А₀ – амплитуда колебаний от одной щели.

Результирующая амплитуда колебаний возрастает в N раз, а интенсивность – в N² раз, так как волны, идущие от всех щелей при j = 0 сходятся в точке О без дополнительной разности хода (свойство собирающей линзы). Оптическая разность хода волн, идущих вдоль главной оптической оси, равна нулю.

Рис. 2.

Волны, идущие от разных щелей под углом j, сходятся в точке Р, проходят различные пути и имеют разность фаз d.

Колебания от всех щелей можно считать когерентными. Согласно результату, полученному при расчете многолучевой интерференции:

, (1)

где I_j – интенсивность создаваемая одной щелью.

Заметим, что в случае некогерентных колебаний результирующая картина от N щелей давала бы интенсивность:

.

Поскольку оптическая разность хода от соседних щелей , то разность фаз

, (2)

где l - длина волны в данной среде.

Подставив в (1) выражение для интенсивности света, создаваемой одной щелью I_j и разность фаз (2), получим:

, (3)

где I₀ – интенсивность колебаний в точке М, соответствующая углу j = 0.

1. Интенсивность света от каждой щели в отдельности обращается в ноль при условии:

, , (4)

где - порядок минимума.

Отсюда следует .

2. Максимум интенсивности света достигается при условии:

, 0, 1, 2…, (5)

где – порядок главных максимумов.

С увеличением числа щелей дифракционной решетки увеличивается интенсивность главных максимумов и уменьшается их ширина, следовательно, возрастает четкость дифракционной картины.

График функции для N = 4, , представлен на рис 3.

Главные максимумы 3, 6, и т.д. порядка пропадают, так как они приходятся на минимумы интенсивности от одной щели.

Дифракционная решетка применяется для спектрального анализа излучения. Пусть дифракционный максимум порядка наблюдается под углом , тогда из условия:

,

можно определить длину волны излучения:

. (6)

Рис. 3.

Максимальное число наблюдаемых дифракционных спектров определяется из условия:

.

Находим:

, (7)

поскольку .

Угловая ширина максимума к-го порядка:

. (8)

Угловая дисперсия решетки:

. (9)

Пусть на решетку падает немонохроматический свет. Для каждой длины волны условие максимума выполняется при различных углах j, поэтому дифракционная картина представляет собой ряд цветных полос, т.е. дифракционный спектр. Получение и анализ спектров имеет большое значение в оптике. Изучение спектров испускания и поглощения позволяет установить энергетические уровни атомов.

На основании известной формулы (5) для дифракционной решётки напишем выражение для порядка дифракционного максимума:

, (10)

где d – период решётки, j - угол между направлением на дифракционный максимум и нормалью к решётке, l - длина волны монохроматического света. Т.к. sinj не может быть больше 1, то, как это следует из формулы (10), число m не может быть больше , т.е.

. (11)

Подставив в формулу (11) числовые значения, получим: для красных лучей , для фиолетовых лучей .

Если учесть, что порядок максимумов является целым числом, то для красного цвета m_max = 2 и для фиолетового m_max = 4.

Пример 3. Естественный луч света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погружённой в жидкость. Отражённый от пластины луч образует угол α = 97° с падающим лучом. Определить показатель преломления жидкости, если отражённый свет максимально поляризован.

Решение. При падении естественного света на прозрачный диэлектрик отраженная и преломленная волна является частично поляризованными.

Отраженная волна поляризована преимущественно в плоскости, перпендикулярной к плоскости падения, а преломленная – в плоскости падения (рис. 4).

 

 

Рис. 4.

Естественный свет можно представить в виде двух волн, плоско поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях, одна из которых выбрана лежащей в плоскости падения, а другая перпендикулярна плоскости падения света.

Шотландский физик Д. Брюстер установил закон зависимости угла падения света, при котором отраженный свет полностью поляризован, от относительного показателя преломления .

Закон Брюстера

При падении под углом отраженный свет полностью поляризован, а преломленный свет частично поляризован с максимальной степенью поляризации.

Согласно закону Брюстера, луч света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относительному показателю преломления:

, (1)

где n ₂₁ – показатель преломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости). Относительный показатель преломления равен отношению абсолютных показателей преломления. Следовательно, из (1) находим . Т.к. угол падения равен углу отражения, то , откуда

. (2)

Подставив числовые значения в (2), получим:

.

Пример 4. Две призмы Николя N₁ и N₂ расположены так, что угол a между их плоскостями пропускания составляет 60°. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света: 1) при прохождении через один николь N₁; 2) при прохождении через оба николя. Коэффициент поглощения света в николе k = 0, 05. Потери на отражение света не учитывать.

Решение. Естественный свет, падая на грань призмы Николя, расщепляется вследствие двойного лучепреломления на два луча: обыкновенный и необыкновенный. Оба луча одинаковы по интенсивности и полностью поляризованы. Обыкновенный луч поглощается призмой. Необыкновенный луч проходит через призму, уменьшая свою интенсивность вследствие поглощения. Таким образом, интенсивность света, прошедшего через первую призму:

.

Относительное уменьшение интенсивности света получим, разделив интенсивность естественного света, падающего на первый николь, на интенсивность поляризованного света:

. (1)

Подставив числовые значения, найдём:

.

Таким образом, интенсивность уменьшается в 2, 1 раза.

Плоскополяризованный луч света интенсивности падает на второй николь N₂ и также расщепляется на два луча различной интенсивности: обыкновенный и необыкновенный. Обыкновенный луч полностью поглощается призмой. Интенсивность необыкновенного луча , вышедшего из призмы N₂, определяется законом Малюса (без учёта поглощения света во втором николе):

, (2)

где a - угол между плоскостью колебаний в поляризованном луче и плоскостью пропускания николя N₂. Учитывая потери интенсивности на поглощение во втором николе, получим:

. (3)

Найдём искомое уменьшение интенсивности света при прохождении через оба николя, разделив интенсивность , естественного света на интенсивность света, прошедшего систему из двух николей:

.

Заменяя отношения его выражением по формуле (1), получим:

. (4)

Подставляя данные, произведём вычисления:

.

Таким образом, после прохождения света через два николя, интенсивность его уменьшится в 8, 86 раза.

 

Пример 5. Определить импульс и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью v = 0, 9 с, где с - скорость света в вакууме.

Решение. Импульсом частицы называется произведение массы частицы на её скорость:

; (1)

Так как скорость электрона близка к скорости света, то необходимо учесть зависимость массы частицы от скорости, определяемую по формуле:

; (2)

где т - масса движущей частицы; т - масса покоящейся частицы;

- скорость частицы, выраженная в долях скорости света.

Заменив в формуле (1) массу т ее выражением (2) и, приняв во внимание, что , получим выражение для релятивистского импульса:

; (3)

Подставим числовые значения величин, входящих в формулу (3):

.

В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется как разность между полной энергией и энергией покоя этой частицы, т.е. . Т.к. и , то, учитывая зависимость массы от скорости, получим

,

или

; (4)

Подставив числовые данные, выраженные в единицах СИ, найдем:

.

Во внесистемных единицах энергия покоя электрона . Подставив это значение в формулу (4), получим:

.

Пример 6. Определить релятивистский импульс электрона, обладающего кинетической энергией .

Решение. Релятивистский импульс частицы определяется по формуле (см. пример 5)

,

но, т.к. в условии задачи дана не скорость электрона, а его кинетическая энергия, то решение задачи в общем виде сведется к отысканию формулы, выражающей импульс непосредственно через кинетическую энергию.

Установим связь между релятивистским импульсом покоя и полной энергией частицы. Полная энергия частицы прямо пропорциональна ее массе, т.е.

. (1)

Зависимость массы от скорости определяется формулой

; (2)

Заменив массу т в формуле (1) ее выражением (2) и, приняв во внимание, что произведение есть энергия покоя частицы , получим

; (3)

Возведя обе части равенства (3) в квадрат, найдем

,

откуда

. (4)

Очевидно, что , поэтому равенство (4) можно переписать в виде

,

откуда релятивистский импульс

.

Разность между полной энергией и энергией покоя есть кинетическая энергия частицы: .

Легко убедится, что , поэтому искомая связь между импульсом и кинетической энергией релятивистской частицы выразится формулой:

.

Вычисления удобно провести в два приема: сначала найти числовое значение радикала во внесистемных единицах, а затем перейти к вычислению в единицах СИ. Таким образом,

Пример 7. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, .

Определить энергетическую светимость (излучательность) поверхности тела.

Решение. Энергетическая светимость абсолютно черного тела, в соответствии с законом Стефана-Больцмана, пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры и выражается формулой

; (1)

где - постоянная Стефана-Больцмана;
Т - термодинамическая температура.

Температуру T можно вычислить с помощью закона смещения Вина

(2)

где - постоянная закона смещения Вина.

Используя формулы (1) и (2) получим:

. (3)

Выпишем числовые значения величин, входящих в эту формулу:

, , ,

и подставив числовые значения в формулу (3), произведём вычисления:

.

Пример 8. Определить максимальную скорость v _max фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовыми лучами с длиной волны λ ₁ = 0, 155 мкм; γ - лучами с длиной волны λ ₂ = 1 пм.

Решение. Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:

, (1)

где ε - энергия фотонов, падающих на поверхность металла; А - работа выхода, T_max - максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов. Энергия фотона вычисляется также по формуле:

, (2)

где h - постоянная Планка; с - скорость света в вакууме; λ - длина волны. Кинетическая энергия электрона может быть выражена или по классической формуле:

, (3)

или по релятивистской формуле:

, (4)

в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону. Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия ε фотона много меньше энергии покоя Е₀ электрона, то может быть применена формула (3), если же ε сравнима по величине с Е₀, то вычисление по формуле (3) приводит к ошибке, поэтому нужно, пользоваться формулой (4).

1. Вычислим энергию фотона ультрафиолетовых лучей по формуле (2):

,

или

.

Полученная энергия фотона (8 эВ)много меньше энергии покоя электрона (0, 51 МэВ). Следовательно, для данного случая кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена по классической формуле (3):

,

откуда

. (5)

Выпишем числовые значения величин: e₁ = 1, 28-10^-18Дж (вычислено выше), A = 4, 7 эВ = 4, 7 1, 6 10^-19 Дж = 0, 75 10^-18 Дж, т₀ = 9, 11 10^{-31 кг} .

Подставив числовые значения в формулу (5), найдём:

.

2.Вычислим энергию фотона γ - лучей:

,

или

.

Работа выхода электрона (А = 4, 4 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией фотона (ε ₂ = 1, 24 МэВ), поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона: . Т.к. в данном случае кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии (4). Из этой формулы найдём:

.

Заметив, что v = с β и T_max = ε ₂ получим:

.

Подставим числовые значения величин и произведём вычисления:

.