Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ТЕМА № 3. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ




Понятие предиката. Множество определения и множество истинности предиката. Кванторы общности и существования. Операции над предикатами: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Их множества истинности. Необходимые и достаточные условия.

Литература: [1] с. 51-65; [2] с. 29-50; [3] с. 65-81; [4] с. 43-51; [5] с. 33-60; [6] с. 45-50; [7] с. 57-77.

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ (задания I уровня)

 

1А. Определите, какие из данных предложений являются высказываниями, а какие – предикатами и объясните, почему:

а) студент ….. является старостой группы;

б) озеро х находится в Сибири;

в) слово у отвечает на вопрос «как»;

г) разность чисел 5 и 2 равна 2;

д) при х=2 выполняется 2х=4;

е) число 5 больше 0.

 

1Б. Среди данных записей выделите высказывания, числовые выражения, предикаты:

а) 2+5<12; б) 1/2 = 3/6; в) 10:2+3-5·6;

г) 30 – 4·7=28+40:8; д) 2х –12<22; е) 16х/2=24.

 

2А. Определите, какие из данных предложений являются высказываниями, а какие – предикатами и объясните, почему:

а) число ….. отрицательное;

б) город Брест находится в Беларуси;

в) абитуриент ….. зачислен на 1 курс университета;

г) х=3 является корнем уравнения 2х+1=7;

д) слова а и в – синонимы;

е) сумма чисел 2 и 7 равна 9.

 

2Б. Среди предложенных записей выделите высказывания, предикаты, выражения с переменной:

а) 2+у<10; б) 3х–4у+9; в) 3х>9;

г) 2∙12+40>–11; д) х2+6х–5; е) 3+2≠5.

 

3А. Определите, какие из данных предложений являются высказываниями, а какие – предикатами и объясните, почему:

а) город х стоит на берегу Волги;

б) разность чисел х и 2 больше 5;

в) треугольник является геометрической фигурой;

г) в группе 20 студентов;

д) сумма двух слагаемых;

е) число х – корень уравнения х+2=17.

 

3Б. Запишите следующие предложения с помощью математических знаков, укажите среди них высказывания и предикаты, объясните свое решение:

а) сумма чисел 3 и 9 равна 11;

б) число 7 увеличить в 2 раза;

в) разность чисел х и 2 равна 7;

г) число 0 больше числа –5.

 

4А. Среди следующих предложений выделите высказывания и предикаты, ответ обоснуйте:

а) число у является делителем числа 16;

б) звук ….. – гласный;

в) ни один человек не весит более 500 кг;

г) хотя бы одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5 является решением уравнения

х2–1=0;

д) множества пересекаются;

е) число 12 имеет конечное число делителей.

 

4Б. Запишите следующие предложения с помощью математических знаков, укажите среди них высказывания и предикаты, объясните свое решение:

а) число х больше ½;

б) разность чисел 42 и 11 равна 18;

в) число х уменьшить в 10 раз;

г) произведение чисел 5 и х равно 25.

 

5А. Среди следующих предложений выделите высказывания и предикаты, ответ обоснуйте:

а) слово ….. является наречием;

б) простое число имеет только два делителя;

в) для любого натурального числа n верно 3n+2>0;

г) график функции у=х2 симметричен относительно оси ординат;

д) прямые параллельны;

е) число х – простое.

 

5Б. Запишите следующие предложения с помощью математических знаков, укажите среди них высказывания и предикаты, объясните свое решение:

а) сумма чисел 2х и 11;

б) число 6 равно числу 11;

в) число х меньше 0;

г) из суммы чисел 3 и 7 вычесть 4.

 

0А. Среди следующих предложений выделите высказывания и предикаты, ответ обоснуйте:

а) слово ….. обозначает признак предмета;

б) число х делится без остатка на 3;

в) город ….. находится в Беларуси;

г) неправда, что подснежники появляются весной не первыми;

д) высказывания ложны;

е) 25 при делении на 6 дает в остатке 1.

Решение:

а) Это предложение является предикатом, поскольку оно превращается в высказывание (истинное или ложное) при подстановке вместо пропущенного конкретных слов. Например, «слово «стол» обозначает признак предмета» - ложно; «слово «красный» обозначает признак предмета» - истинно.

б) Это предложение является предикатом, который при, например, х=9 обращается в истинное высказывание, а при х=4 в ложное.

в) Это предложение является предикатом, который при, например, подстановке города Бреста обращается в истинное высказывание, а при подстановке города Парижа – ложное высказывание.

г) Это предложение является высказыванием, поскольку можно сказать, что оно истинно.

д) Это предложение является высказыванием, поскольку можно сказать, что оно ложно (т.к. кроме ложных есть и истинные высказывания).

е) Это предложение является истинным высказыванием, поскольку, действительно, 25=6× 4+1.

0Б. Среди следующих предложений выделите высказывания, предикаты, числовые выражения:

а) 15х–11; б) 2х+5≤6: в) 2+3>13;

г) 2∙8+11–13; д) 5/12-1/2= – 1/12; е) 7х=х2+6х+1.

Решение:

в, д – высказывания, т.к. это числовые выражения, соединенные знаками >,=, из которых д - истинно, в - ложно.

б, е – предикаты, т.к. это высказывания, содержащие переменные. При подстановке числовых значений вместо х мы получим высказывания.

г – числовое выражение.

а – не является ни высказыванием, ни предикатом, ни числовым выражение, это выражение с переменной.

 

 

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ (задания II уровня)

 

1А. На множестве геометрических фигур задан предикат Р(х): «Фигура х - многоугольник». Прочитайте следующие высказывания и определите их значения истинности:

а) А (∆); б) А (трапеция); в) А (квадрат);

г) А (семиугольник); д) А (окружность); е) А (луч).

 

1Б. На множестве х={х||х|≤4, хÎZ} дан предикат С(х): «х2+3х–4=0». Какие из значений переменной х=2, х=1, х=0, х=–4 принадлежат множеству истинности предиката С(х)?

 

2А. На множестве целых чисел задан предикат В(х,у): «х кратно у». Прочитайте следующие высказывания и определите их значения истинности: а) В(3, 4); б) В(12, 6); в) В(17, 17); г) В(0, 8); д) В(7, 0); е) В(2, 4).

 

2Б. На множестве Д={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} задан предикат Р(х): «х – делитель числа 24». Прочитай высказывания и определите их значения истинности: а) Р(2); б) Р(3); в) Р(5); г) Р(9); д) Р(10). Запишите множество истинности предиката Р(х).

 

3А. На множестве натуральных чисел задан предикат А(х): «х – нечетное число». Найдите значения истинности следующих высказываний: а) А(1); б) А(2); в) А(17); г) А(0); д) А(½); е) А(14);

 

3Б. На множестве целых неотрицательных чисел, меньших 30, задан предикат S(х): «Число х при делении на 7 дает в остатке 1 или 2». Какие из значений переменной х=11, х=15, х=23, х=22 принадлежат множеству истинности предиката S(х)? Запишите, из каких чисел состоит множество истинности.

 

4А. На множестве слов русского языка задан предикат В(х): «Слово х - глагол». Запишите следующие высказывания и определите их значения истинности: а) В(идешь); б) В(нести); в) В(решенный); г) В(ответ); д) В(заниматься); е) В(спешка).

 

4Б. На множестве целых чисел задан предикат V(х): «2х2–8≤0». Какие из значений переменной х=4, х=–4, х=0, х=–1 принадлежат множеству истинности предиката V(х)? Запишите, из каких чисел состоит его множество истинности.

 

5А. На множестве животных задан предикат R(х): «Животное х – домашнее». Запишите следующие высказывания и определите их значения истинности: а) R(заяц); б) R(крыса); в) R(курица); г) R(крот); д) R(лошадь); е) R(корова).

 

5Б. На множестве натуральных чисел, не превосходящих 20, задан предикат К(х): «Число х делится на 4 нацело». Прочитайте высказывания и определите их значения истинности: а) К(6); б) К(8); в) К(9); г) К(16). Запишите множество истинности предиката К(х).

 

0А. На множестве фигур плоскости задан предикат Q(х): «Фигура х имеет ось симметрии». Прочитайте следующие высказывания и определите их значения истинности: а) Q(прямоугольник); б) Q(ромб); в) Q(трапеция); г) Q(окружность); д) Q(равнобокая трапеция).

Решение:

а) «Прямоугольник имеет ось симметрии» - это высказывание истинно, т.к. прямоугольник имеет оси симметрии:

 

 
 

 


б) «Ромб имеет ось симметрии» - это высказывание истинно, т.к. ромб имеет 2 оси симметрии:

 
 


в) «Любая трапеция имеет ось симметрии» – это высказывание ложно, т.к. не любая трапеция имеет ось симметрии, а только равнобокая трапеция.

г) «Окружность имеет ось симметрии» – это высказывание истинно, т.к. окружность имеет бесконечное множество осей симметрии:

 
 


д) «Равнобокая трапеция имеет ось симметрии» – это высказывание истинно, т.к. равнобокая трапеция имеет ось симметрии:

 
 


0Б. На множестве целых чисел задан предикат G(х): «-х2+5х+6≥0». Какие из значений переменной принадлежат множеству истинности предиката G(х): х=0, х=2, х=4? Запишите множество истинности предиката G(х).

Решение:

Дан предикат G(х): «-х2+5х+6≥0». Найдем множество истинности предиката G(х) (т.е. множество значений переменной, обращающих предикат в истинное высказывание).

2+5х+6≥0

2+5х+6=0

Д=25-4× 6(-1)=49≥0 х1= = –1 х2= = 6

– + –

хÎ[–1;6]

Предикат G(х)задан на множестве целых чисел, значит, Т G(х)={-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. х=0, х=2, х=4 принадлежат Т G(х).

Ответ: 0 ÎТ G(х), 2Î Т G(х), 4Î Т G(х).

Т G(х)={-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}.

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ (задания III уровня)

 

1А. На множестве N натуральных чисел заданы предикаты Р(х): «Число х четно» и Q(х): «Число х делится на 4». Переведите на обычный язык высказывания, записанные языком символов, и укажите среди них истинные: а) (∀хÎN) Р(х)∨Q(х); б) (ƎхÎN) Q(х)∧Р(х); в) (ƎхÎN) ∨Q(х); г) (∀хÎN) Р(х) ÞQ(х).

 

1Б. Из предиката Р(х): «Диагонали четырехугольника х не равны», заданного на множестве Х всех четырехугольников, образованы высказывания: а) ("хÎХ) Р(х); б) ($хÎХ) Р(х). Переведите их на обычный язык и постройте отрицания этих высказываний двумя способами.

 

2А. На множестве Х четырехугольников заданы предикаты: А(х): «Фигура х - параллелограмм», С(х): «Фигура х - ромб». Переведите на обычный язык следующие высказывания, записанные символически: а) ("хÎХ) А(х)ÚС(х); б) ("хÎХ) С(х)ÞА(х); в) ($хÎХ) С(х)ÞА(х); г) ("хÎХ) Þ . Какие из них истинны?

 

2Б. Из предиката А(х): «Насекомое х - вредитель», заданного на множестве Х всех насекомых, образованы высказывания: а) ("хÎХ) А(х); б) ($хÎХ) А(х). Переведите их на обычный язык и постройте отрицания этих высказываний двумя способами.

 

3А. На множестве Х треугольников заданы предикаты Р(х): «Треугольник х - равносторонний»; Q(х): «Треугольник х -равнобедренный» и R(х): «Треугольник х – прямоугольный». Сформулируйте высказывания и установите их значение истинности: а) (∀хÎХ) Р(х)∧R(х); б) (ƎхÎХ) Q(х)∧R(х); в) (∀хÎХ) Р(х)Þ Q (х); г) (∀хÎХ) .

 

3Б. Из предиката Т(х): «Треугольник х - остроугольный», заданного на множестве Х всех треугольников, образованы высказывания: а) ("хÎХ) Т(х); б) ($хÎХ) Т(х). Переведите их на обычный язык и постройте отрицания этих высказываний двумя способами.

 

4А. На множестве N натуральных чисел заданы предикаты: L(х): «Число х кратно 3»; D(х): «Число х кратно 5»; К(х): «Число х кратно 15». Сформулируйте высказывания и установите их значения истинности: а) (∀хÎN) L(х) ÞК(х); б) (ƎхÎN) L(х)∧Д(х); в) (ƎхÎN) L(х)∧Д(х)ÞК(х); г) (∀хÎN) К(х).

 

4Б. Из предиката М(х): «В треугольнике х все стороны равны», заданного на множестве всех треугольников, образованы высказывания: а) ("хÎХ) М(х); б) ($хÎХ) М(х). Переведите их на обычный язык и постройте отрицания этих высказываний двумя способами.

 

5А. На множестве действительных чисел заданы предикаты: N(х): «Число х – натуральное; Z(х): «Число х – целое; Q(Х): «Число х -рациональное». Сформулируйте высказывания и определите их значения истинности: а) (∀х) Z(х)ÞQ(х); б) (Ǝх) N(х)∧Z (х); в) (∀х) ; г) (Ǝх) .

 

5Б. Из предиката L(х): «Трапеция х - равнобокая», заданного на множестве Х трапеций, образованы высказывания: а) (∀хÎХ) L(х); б) (ƎхÎХ) L(х). Переведите их на обычный язык и постройте отрицания этих высказываний двумя способами.

 

0А. На множестве Х четырехугольников заданы предикаты: А(х): «Фигура х - параллелограмм»; Е(х): «Фигура х имеет центр симметрии»; D(х): "Фигура х имеет ось симметрии". Сформулируйте высказывания и определите, какие из них истинны: а) (ƎхÎХ) А(х)∧Д(х); б) (∀хÎХ) Е(х)∨Д(х); в) (∀хÎХ) А(х)ÞЕ(х); г) (ƎхÎХ) ÞЕ(х).

Решение:

а) «Существует параллелограмм, который имеет ось симметрии» – истинно, т.к. ось симметрии имеет прямоугольник, а прямоугольник является параллелограммом.

 
 

 

 


б) «Любой четырехугольник имеет центр симметрии или ось симметрии» - ложно, т.к. не любой четырехугольник имеет центр симметрии или ось симметрии. Например,

 
 


в) «Любой четырехугольник, являющийся параллелограммом, имеет центр симметрии» - истинно, т.к. любой параллелограмм имеет центр симметрии – это точка пересечения его диагоналей.

 
 


г) «Некоторые четырехугольники, которые имеют ось симметрии, имеют и центр симметрии» - истинно, т.к. некоторые четырехугольники, имеющие ось симметрии, имеют и центр симметрии (например, прямоугольник).

 
 


А некоторые четырехугольники, которые имеют ось симметрии, не имеют центра симметрии (например, равнобокая трапеция).

 
 

 

 


0Б. Из предиката S(х): «Число х является натуральным», заданного на множестве действительных чисел R, образованы высказывания: а) ("хÎR) S(х); б) ($хÎR) S(х). Переведите их на обычный язык и постройте отрицания этих высказываний двумя способами.

Решение:

а) А: «Любое действительное число принадлежит множеству натуральных чисел» - Л.

Ā: «Неверно, что любое действительное число принадлежит множеству натуральных чисел» - И.

Ā: «Существует действительное число, которое не принадлежит множеству натуральных чисел» - И.

б) В: «Существуют действительные числа, которые принадлежат множеству натуральных чисел» - И.

: «Не верно, что существуют действительные числа, которые принадлежат множеству натуральных чисел» - Л.

: «Любое действительное число не принадлежит множеству натуральных чисел» - Л.

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ (задания IV уровня)

 

1А. На множестве Х ={-3, -2, -1, 0, 1, 1, 2, 3, 4} заданы предикаты А(х): «Число х кратно 3» и В(х): «х–1>0». Найдите множества истинности предикатов А(х) и В(х). Сформулируйте предикаты и найдите их множества истинности: а) А(х)ÞВ(х); б) Þ ; в) А(х)ÚВ(х); г) ÙВ(х); д) А(х)ÛВ(х).

 

1Б. Даны предикаты А(х), В(х), С(х), области истинности которых ТА, ТВ, ТС. Изобразите штриховкой области истинности следующих предикатов: а) А(х)ÚВ(х); б) А(х)ÙВ(х)ÚС(х); в) А(х)ÞВ(х); г) ÞС(х).

ТА

 

 

2А. На множестве Х={0, 1, 2,…20} заданы предикаты: А(х): «Число х кратно 6» и В(х): «Число х кратно 3». Сформулируйте конъюнкцию, дизъюнкцию, отрицание, импликацию и эквиваленцию этих предикатов и найдите их множества истинности.

 

2Б. На рисунке изображены множества истинности предикатов А(х), В(х), С(х). Заштрихуйте множества истинности следующих предикатов: а) А(х)Ù ; б) А(х)ÚВ(х)ÙС(х); в) ÞС(х); г) .

 
 

 


ТА ТВ

 

ТС

 

 

3А. На множестве Х={1, 2,…15} заданы предикаты: А(х): «Число х - четное» и В(х): «Число х кратно 3». Сформулируйте конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию этих предикатов, найдите множества истинности, а также множества истинности предикатов: а) ÞВ(х); б) ÙВ(х).

 

3Б. На рисунке изображены множества истинности предикатов Q(х), S(х), P(х). Найдите и заштрихуйте множества истинности следующих предикатов: а) Q(х)ÚР(х)ÚS(х); б) ÙS(х); в) P(х)Þ S(х); г) .

ТR ТS

ТP

 

4А. На множестве Х={1, 2, 3…20} заданы предикаты: А(х): «Число х - простое», В(х): «Число х – четное». Сформулируйте конъюнкцию, дизъюнкцию, отрицание, импликацию, эквиваленцию предикатов А(х) и В(х), и найдите их множества истинности.

 

4Б. Даны предикаты М(х), N(х), К(х), области истинности которых ТМ, ТN, ТК. Найдите и изобразите штриховкой области истинности предикатов: а) М(х)ÚN(х)ÚК(х); б) ÞN(х); в) Ù ; г) М(х)ÙК(х)Þ .

 
 


ТМ

ТN ТК

 

5А. На множестве Х ={-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} заданы предикаты А(х): «2х–1<3» и В(х): «2х>0». Сформулируйте предикаты и найдите их множества истинности: а) А(х)ÚВ(х); б) А(х)ÞВ(х); в) Þ ; г) ÙВ(х); д) В(х)ÛА(х).

 

5Б. Даны предикаты А(х), В(х), С(х) с областями истинности ТА, ТВ, ТС. Найдите и изобразите штриховкой области истинности предикатов: а) А(х)Ù ; б) А(х)Ù ∧В(х); в) В(х)ÞС(х); г) А(х)ÙВ(х)Þ .

ТА

ТС

ТВ

 

 

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ (задания V уровня)

 

1А. Каким: необходимым или достаточным является условие х>0 для того, чтобы: точка М(х,у) находилась: а) в I четверти; б) в IV четверти; в) в правой полуплоскости. Ответ обоснуйте.

 

1Б. Сформулируйте и выясните истинность теорем: обратной, противоположной, противоположной обратной для теорем:

а) если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны;

б) прямая, перпендикулярная радиусу окружности и проходящая через его конец, есть касательная к окружности.

 

2А. Каким: необходимым или достаточным является условие х>0, у>0 для того, чтобы: точка М(х,у) находилась: а) в верхней полуплоскости; б) в правой полуплоскости; в) в I четверти. Ответ обоснуйте.

 

2Б. Сформулируйте и выясните истинность теорем: обратной, противоположной, противоположной обратной для теорем:

а) около всякого правильного многоугольника можно описать окружность;

б) если прямая в плоскости, проходящая через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и наклонной.

3А. Каким: необходимым или достаточным является условие х=0, для того, чтобы: точка М (х,у) находилась: а) в начале координат; б) на оси ординат. Ответ обоснуйте.

 

3Б. Сформулируйте и выясните истинность теорем: обратной, противоположной, противоположной обратной для теорем:

а) если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна и самой плоскости;

б) если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180О, то около него можно описать окружность.

 

4А. Каким: необходимым или достаточным является условие у>0, для того, чтобы: точка М (х,у) находилась: а) в I четверти; б) во II четверти; в) в верхней полуплоскости. Ответ обоснуйте.

 

4Б. Сформулируйте и выясните истинность теорем: обратной, противоположной, противоположной обратной для теорем:

а) если хотя бы один из сомножителей делится на данное число, то и произведение делится на данное число;

б) диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

 

5А. Каким: необходимым или достаточным является условие х<0, для того, чтобы: точка М (х,у) находилась: а) во II четверти; б) в III четверти; в) в левой полуплоскости. Ответ обоснуйте.

 

5Б. Сформулируйте и выясните истинность теорем: обратной, противоположной, противоположной обратной для теорем:

а) если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3;

б) все точки, равноудаленные от концов отрезка, лежат на перпендикуляре, проходящем через середину данного отрезка.

 

 







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 2875. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.029 сек.) русская версия | украинская версия