Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ТЕМА № 5. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ






 

Бинарные отношения между элементами одного и двух множеств. Отношения обратное и противоположное данному. Свойства бинарных отношений. Отношения эквивалентности и порядка.

Литература: [1] с. 67-89; [2] с. 87-104; [3] с. 38-57; [4] с. 28-42; [5] с. 95-103; [6] с. 76-82; [7] с. 22-36.

 

 

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ (задания I уровня)

 

1А. Даны множества Х={5, 7, 8, 9, 10} и У ={3, 4, 5, 6, 9}. Между ними установлено соответствие R: «Число х на 2 больше числа у», где хÎ Х, уÎ У. Какие из следующих записей являются другими способами задания отношения R: а) Г={(3, 5), (5, 7), (6, 8), (9, 10)}; б) Г={(5, 3), (7, 5), (8, 6)}; в) R: «х=2+у», где хÎ Х, уÎ У; г) Г={(5, 3), (7, 4), (7, 5), (7, 6), (7, 3), (8, 4), (8, 3), (8, 5), (8, 6)}.

 

1Б. Дано множество А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, элементы которого связаны отношением R: «Число х на 4 больше числа у», где х, уÎ А. Какие из графов соответствуют отношению R:

 

а)2 4 б) 2 4 в) 2 4 г)2

12 6 12 4

12 6 6 6

10 8 12

10 8 10• 8 •

10 8

 

2А. Известно, что Г – график бинарного соответствия между элементами множеств А и В, аÎ А, вÎ В. Какие из следующих предложений являются истинными при условии, что А и В – любые множества и (а, в)Î Г: а) ГÌ А; б) ГÌ В; в) ГÌ А´ В; г) (А´ В)Ç Г=Г; д) (А´ В)Ç Г= А´ В; е) (А´ В)È Г=Г; ж) (А´ В)\Г=Æ

 

2Б. На множестве У={у|уÎ Z, –13£ у£ –2} задано отношение R: «х=2у». Какие из следующих утверждений истинны:

а) (-6, -3)Î R; б) (-3, -6)Î R; в) (-4, -2)Î R;

г) (-8, -4)Ï R; д) -12R-6; е) 2R1.

 

3А. Даны множества А={а, е, и} и В={б, г, д, ж, з}. Между ними установлено соответствие R: «Буква х предшествует в алфавите букве у», где хÎ А, уÎ В. Какие из следующих записей являются другими способами задания соответствия R:

а) Г={(а, б), (а, г), (а, д), (а, ж), (а, з), (е, б), (е, г), (е, д), (е, ж), (е, з), (и, б), (и, г), (и, д), (и, ж), (и, з)};

 

б) А R В

а• • ж

е• • б

•г

• з

и• • д

 

 

в) Г={(а, б), (а, г), (а, д), (а, ж), (а, з), (е, ж), (е, з)};

г) Г={(е, б), (е, г), (е, д), (и, б), (и, г), (и, д), (и, ж), (и, з)}.

 

3Б. На множестве Х={х | хÎ N, х≤ 6} задано отношение Р: {(6, 6), (6, 3), (6, 2), (6, 1), (5, 5), (5, 1), (4, 4), (4, 2), (4, 1), (3, 3), (3, 1), (2, 2), (2, 1), (1, 1)}. Какие из предложений являются другими формами записи отношения Р:

а) Р= {(х, у) | х, уÎ Х, х≥ у}; б) Р= {(х, у) | х, уÎ Х, х=2у};

в) Р= {(х, у) | х, уÎ Х, х – кратно у}; г) Р= {(х, у) | х, уÎ Х, х=ку, кÎ N}.

 

4А. Известно, что Г – график бинарного соответствия между элементами множеств А и В, аÎ А, вÎ В. Какие из следующих предложений являются истинными при условии, что А и В – любые множества и (а, в)Î Г:

а) аÎ Г; б) вÎ Г; в) (а, в)Î А´ В; г) (а, в)Ì А´ В;

д) {(а, в)}Ì Г; е) (в, а)Î Г; ж) {(в, а)}Ì А´ В.

 

4Б. На множестве Х={1, 2, 3, 4, 5, 6} задано отношение S: {(х, у) | х–у=2, х, уÎ Х}. Какие из рисунков соответствуют отношению S:

а) у б) у

 

-2 х 1

-1 0 1 2 3 4 5 6 х

 

у

в) у г)

 

0 1 2 х 0 1 2 3 4 х

-2

 

 

5А. Даны множества Х={1, 2, 3, 4} и У={2, 4, 6}. Между ними установлено соответствие R: «Число х не больше числа у», где хÎ Х, уÎ У. Какие высказывания являются истинными:

а) Г={(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6)} – график соответствия R;

б) (1, 2)Î Х´ У; в) (1, 2)Î Г; г) (2, 2) Î Г;

д) (4, 6)Î Г; е) (3, 4)Î Г; ж) (3, 4)Î Х´ У.

 

5Б. На множестве Х={–3, –1, 1, 2, 3, 4} задано отношение R: «х=у+2». Какие, из следующих утверждений истинны:

а) –1R–3; б) 1R3; в) 3R1; г) R(1)= –1; д) R(4)=2; е) R(2)= –1.

 

0А. Даны множества Х={1, 2, 3, 4} и В={5, 6, 7}, между которыми установлено соответствие R:

 
 

 


Среди предложенных записей найдите другие способы задания соответствия R:

а) R={(х, у)| хÎ А, уÎ В, у–х£ 4};

б) R={(1, 5), (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7)};

в) R={(1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7)}

Решение: выбраны ответы а и б, т.к. графу соответствуют пары, указанные в множестве R={(1, 5), (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7)} (ответ б). Рассматривая пары этого соответствия, замечаем, что у – х £ 4, значит, соответствие R можно также задать следующим образом: R ={ (х, у)| хÎ А, уÎ В, у – х £ 4} (ответ а).

0Б. На множестве М={а, б, в, г, д} задано отношение R: «Буква х находится в алфавите непосредственно после буквы у». Какие из следующих утверждений истинны:

а) Г={(б, а), (в, б), (г, в), (д, г), (а, б), (б, в), (в, г), (г, д)} – график отношения R;

б) Г={(б, а), (в, б), (г, в), (д, г)} – график отношения R;

в) ГÌ М2; г) R(б)=а; д) гRв.

Решение:

б) Г={(б, а), (в, б), (г, в), (д, г)} – график отношения R;

г) R(б)=а;

д) гRв;

в) ГÌ М2.

 

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ (задания II уровня)

 

1А. На множестве А={4, 2, 6, 3, 5, -3, -8, -6, 0} заданы бинарные отношения: а) R: «а< в»; б) S: «Число а противоположно числу в», где а, вÎ А. Задайте каждое из данных отношений другими способами.

 

1Б. Отношение R в множестве А={а, в, с, е} задано графиком: Г={(а, в), (а, с), (в, с), (в, е), (с, е)}. Каковы область определения и множество значений отношения R? Постройте граф этого отношения. Найдите R(a), R(в), R(c), R(e), R-1(a), R-1(c).

 

2А. Дано множество А={2, 4, 6, 8}. Найдите декартов квадрат множества А. Запишите графики отношений: а) Р: «а> в»; б) R: «Число а – делитель числа в», а, вÎ А. Постройте графы и графики этих отношений.

 

2Б. Отношение Q задано при помощи таблицы. Постройте граф и график отношения Q, укажите его область определения и множество значений. Найдите: Q(4), Q(-2), Q-1(1), Q-1(2).

 

-4 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -1

 

3А. Дано множество А={2, 3, 4, 6, 9, 10}. Найдите декартов квадрат множества А. Запишите графики отношений:

а) Q: «Число а делится на число в», а, вÎ А.

б) Т: «Число а не больше, чем число в», а, вÎ А.

Постройте графы и графики данных отношений.

3Б. Отношение S в множестве Х={-2, -1, 0, 1, 2, 3} задано графиком Г={(-2, 0), (-1, 1), (0, 2), (1, 3)}. Каковы область определения и множество значений отношения S? Постройте граф и график этого отношения. Найдите S(1), S(0), S(-1), S-1(2), S-1(3).

 

4А. Элементы множеств Х и У находятся в отношении у=х–3. постройте график данного отношения, если:

а) Х=У=R; б) Х=[-2, 2], У=R; в) Х={-2, -1, 0, 1, 2}, У=Z.

 

4Б. На рисунке изображен график отношения Е, заданного на множестве R. Каковы область определения и множество значений отношения Е? Постройте график отношения Е-1.

 

у

3

 

 
 


-2 0 1 х

 

5А. Постройте график отношения у> 3х–2, заданного на множестве Х, если: а) Х=R; б) Х=Z.

 

5Б. На рисунке изображен график отношения S, заданного на множестве R. Найдите область определения и множество значений отношения S? Найдите S-1(1), S-1(2).

 

у

3

 

 
 


-1 0 1 х

-2

 

0А. На множестве А={х|хÎ N, х≤ 6} заданы бинарные отношения:

а) R: «Число а вдвое больше числа в»;

б) Q: «Число а делится на в», где а, вÎ А. Задайте каждое из данных отношений другими способами.

Решение:

А={1, 2, 3, 4, 5, 6}

а) 1 способ: R ={(2, 1), (4, 2), (6, 3)}; R ={(х, у)| х, уÎ А; х=2у}.

2 – графический. 3 – с помощью графа:

       
 
   
 

 


R

 

4 – в виде таблицы:

х 2 4 6
у 1 2 3

 

б) 1 способ: Q={(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (4, 2), (6, 2), (6, 3)}

Q={(х, у)| х, уÎ А; х = у× к; кÎ N}.

2 способ: графический 3 способ: с помощью графа:

       
 
   
 


0Б. Отношение задано таблицей:

 

х
у -1 -1 -1

 

Постройте граф и график отношения R, укажите его область определениях и множество значений у. Найдите R(0), R(1), R-1(1), R-1(2).

Решение:

график отношения R график отношения R

       
 
   
 


R(0) ={1, - 1, 2},

R(1) ={-1, 1, 2},

R-1(1) ={0, 1, 2},

R-1(2) ={0, 1}

Область определения Х ={0, 1, 2}

Множество значений У={-1, 1, 2}

 

 

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ (задания III уровня)

 

1А. На множестве Х={2, 3, 4, 6, 8, 9} задано отношение R: «Число х кратно числу у», где х, уÎ Х. Постройте граф и график отношений R. Сформулируйте обратное и противоположное отношения, постройте их граф и график.

 

1Б. На множестве Х={а, в, с, d} заданы графики отношений

Р={(а, а), (а, в), (а, с), (с, с), (d, d)};

R={(в, а), (а, в), (в, с), (с, в), (в, d), (d, в), (с, d), (d, с)};

S={(а, а), (в, в), (с, с), (d, d), (в, с), (с, в), (с, d), (d, с)}.

Какие из данных отношений являются:

а) рефлексивными; б) симметричными; в) транзитивными.

 

2А. Бинарное отношение R задано на множестве {1, 2, 3, 4, 5, 6} графом, показаным на рисунке. Задайте это отношение характеристическим свойством. Запишите график отношения R. Назовите его область определения и множество значений. Постройте графы отношений, обратного и противоположного отношению R. Укажите характеристические свойства отношений R-1 и .

 

 

1

2 4

5 6

 

2Б. На множестве прямых плоскости задано отношение S перпендикулярности прямых. Обладает ли это отношение свойством рефлексивности, свойством транзитивности? Ответ обоснуйте.

 

3А. На множестве Х={1, 2, 3, 4, 5, 6} задано отношение R: «Число х меньше числа у», где х, уÎ Х. Постройте граф и график отношения R. Сформулируйте и постройте граф и график обратного и противоположного отношений.

 

3Б. На множестве Х={2, 4, 6, 8} задано отношение R: «х≤ у», х, уÎ Х. Запишите график отношения R. Постройте его граф. Обладает ли отношение R свойством рефлексивности, симметричности, транзитивности? Как это выражается на графе?

 

4А. На рисунке показан график отношения Т, заданного на множестве {-3, -2, -1, 1, 2}. Запишите множество элементов, принадлежащих отношению Т. Укажите его характеристическое свойство. Постройте граф отношения Т. Назовите характеристические свойства отношений и Т -1, запишите их графики.

у

• 3

• • 2 •

• •1 • •

-3 -2 -1 0 1 2 3 х

• • •

• -2

 

4Б. Известно, что отношение К, заданное на множестве Х={3, 4, 5}, рефлексивно и транзитивно. Какое из следующих множеств задает отношение К: а) {(3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4), (5, 5)}; б) {(3, 3), (4, 4), (5, 5), (3, 4), (4, 5), (5, 4)}. Объясните, почему.

 

5А. На множестве Х={1, 2, 3, 4, 5, 6} задано отношение S: «Число х предшествует числу у в натуральном ряду», х, уÎ Х. Постройте граф и график отношений R. Сформируйте и постройте граф и график обратного и противоположного отношений.

5Б. На множестве Х={0, 1, 2, 3} задано отношение

S={(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (0, 1), (1, 2), (0, 2), (1, 0), (2, 1), (2, 0)}.

Определите свойства отношения S и постройте его график. Как отражаются свойства отношения на его графике?

0А. На множестве Х={х|хÎ N, х≤ 4} задано отношение S: «Число х меньше числа у», х, уÎ Х. Постройте граф и график отношений S. Сформулируйте обратное и противоположное отношения и постройте их граф и график.

Решение: Х={1, 2, 3, 4}. S={(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

S-1: «Число у больше числа х» - обратное соответствие

       
 
   
 


S-1={(2, 1), (3, 1), (4, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3)}

       
   
 
 

 


: «Число х больше либо равно числа у» - противоположное соответствие.

={(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (3, 2), (4, 2), (4, 3)}.

 

       
   
 

 


0Б. На множестве Х={1, 3, 5, 7, 9} задано отношение R: «Число х больше числа у на 2», где х, уÎ Х. Запишите график отношения R. Постройте его график и граф. Обладает ли отношение R свойствами рефлексивности, симметричности? Как это определить по графу? По графику?

Решение: Г={(3, 1), (5, 3), (7, 5), (9, 7)} – график отношения R.

 
 


Отношение R не обладает свойством рефлексивности. Т.к. любой элемент из множества Х, не находится в отношении R с самим собой, а именно: не существует числа, которое было бы на 2 больше самого себя. На графе нет петель. График отношения R не лежит на биссектрисе 1 и 3 координатных углов.

Отношение R, заданное на множестве Х, не обладает свойством симметричности, т.к. для любого элемента из множества Х из того, что х находится в отношении R с у не следует, что у находится в отношении R с х (хRу Þ уRх) – «л.» Т.е. если число у больше числа х на 2, то не верно, что число у больше числа х на 2. На графе стрелки между любыми двумя элементами идут болько в одном направлении. График отношения R не симметричен относительно биссектрисы 1 и 3 координатных углов.

 

 

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ (задания IV уровня)

 

1А. Выясните, какими свойствами обладают данные отношения. Назовите среди них отношения эквивалентности и отношения порядка:

а) «а равно в » (в множестве треугольников);

б) «а меньше или равно в » (в множестве Z );

в) «а является собственным подмножеством в »

(в множестве геометрических фигур).

 

1Б. В множестве учащихся класса выделены подмножества отличников, спортсменов и мальчиков. Можно ли сказать, что множество учащихся разбито на эти три подмножества? Почему?

 

2А. Выясните, какими свойствами обладают данные отношения. Назовите среди них отношения эквивалентности и отношения порядка:

а) «а концентрично в » (в множестве окружностей на плоскости);

б) «а следует за в » (в множестве N );

в) «а является дополнением в до прямоугольника»

(в множестве геометрических фигур).

 

2Б. На плоскости проведена прямая l. Можно ли сказать, что множество всех прямых плоскости разбивается на три класса: параллельные l, перпендикулярные l и пересекающие l? Почему?

 

3А. Выясните, какими свойствами обладают данные отношения. Назовите среди них отношения эквивалентности и отношения порядка:

а) «а равно в » (в множестве Q );

б) «а является подмножеством в »

(в множестве геометрических фигур);

в) «а кратно в » (в множестве N ).

 

3Б. Можно ли разбить множество треугольников на равнобедренные, разносторонние, равносторонние? Ответ обоснуйте.

 

4А. На множестве людей заданы отношения:

а) «а сестра в »;

б) «а имеет тот же цвет глаз, что и в »;

в) «а на 4 см выше, чем в ».

Выясните свойства этих отношений. Назовите отношения эквивалентности и порядка.

 

4Б. На плоскости проведена окружность. Можно ли разбить множество всех окружностей на два класса: касающихся данной окружности и пересекающихся с ней. Завершите классификацию окружностей.

 

5А. На множестве людей заданы отношения:

а) «а начальник в »;

б) «а друг в »;

в) «а родился в том же году, что и в ».

Выясните свойства отношений. Назовите отношения эквивалентности и порядка.

 

5Б. Можно ли разбить множество целых чисел на четные и нечетные? Ответ обоснуйте.

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ (задания V уровня)

 

1А. Выясните свойства следующих отношений в множестве Z:

а) (х–у)M3; б) х22; в) |х|< |у|.

 

1Б. На рисунке с плотными стрелками обозначен граф отношения «а брат в», штриховыми – граф отношения «а сестра в». некоторые стрелки пропущены. Восстановите их. Кто из детей мальчик, кто – девочка?

А Б Г Д З

Ж И

 

В Е К

 

2А. Выясните свойства следующих отношений в множестве Z:

а) х: у=4; б) |х|+|у|= 3; в) х33.

 

 

2Б. На рисунке изображен граф отношения «а дед в ». Кем приходились друг другу отец и мать d?

 

в

а d

с

 

3А. Выясните свойства следующих отношений в множестве Z:

а) |х|+|у|≠ 4; б) х≠ у; в) (х2–у2) M4.

 

3Б. На рисунке изображен граф отношения «больше, чем» в множестве числовых выражений. Подберите выражения, которые можно поставить в прямоугольники. Проиллюстрируйте, что отношение «больше, чем» транзитивно.

 
 

 

 


4А. Какие из отношений в множестве Х являются отношениями эквивалентности? Для отношений эквивалентности укажите классы эквивалентности: а) Х=Z, (х-у) M3; б) Х=N, (х+у) M2; в) Х=Z, х22.

 

4Б. Даны графы отношения «меньше, чем». Какое из чисел А, В, С, Д самое большое? Какое самое маленькое? Придайте А, В, С и Д подходящие значения.

 

а) б)

А А

Д В Д В

               
     
 
   


С С

 

5А. Какие из отношений в множестве Х являются отношениями эквивалентности? Для отношений эквивалентности укажите классы эквивалентности: а) Х=N, (х-у) M3; б) Х= Nо, (х–у) M3 или (у–х) M3; в) Х=R, х–у=2.

 

5Б. Дан граф отношения «больше, чем». Точками изображены все элементы рассматриваемого множества, но один элемент t – неизвестен. Определите t, если: а) tÎ N, б) tÎ R.

8 5

 

 


2 t

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Виленкин Н. Я. Математика / Н. Я. Виленкин, А. М. Пышкало, В. Б. Рождественская [и др.] – М.: Просвещение, 1977. – 352 с.

2. Задачник-практикум по математике. / Н. Я. Виленкин, Н. Н. Лав-рова [и др.]; под ред. Н. Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1977. – 205 с.

3. Кожух І. Р. Матэматыка / І. Р. Кожух. – Мінск: Вышэйшая школа, 1993. – 350 с.

4. Кожух І. Р. Зборнік задач па матэматыцы: вучэб. дапам. для пед. ВНУ / І. Р. Кожух. – Мінск: Вышэйшая школа, 1994. – 162 с.

5. Лаврова Н. Н. Задачник-практикум по математике / Н. Н. Лаврова, Л. П. Стойлова. – М.: Просвещение, 1985. – 180 с.

6. Сендер А. Н. Методология формирования понятия о числе в начальном курсе математики / А. Н. Сендер. – Брест: БрГУ, 2003. – 164 с.

7. Стойлова Л. П. Математика: В 2 ч. / Л. П. Стойлова, Н. Я. Вилен-кин, Н. Н. Лаврова. – М.: Просвещение, 1990. Ч. 1. – 173 с.

 

Онискевич Татьяна Сергеевна

 

 







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 5929. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Типовые ситуационные задачи. Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт. ст. Влияние психоэмоциональных факторов отсутствует. Колебаний АД практически нет. Головной боли нет. Нормализовать...

Эндоскопическая диагностика язвенной болезни желудка, гастрита, опухоли Хронический гастрит - понятие клинико-анатомическое, характеризующееся определенными патоморфологическими изменениями слизистой оболочки желудка - неспецифическим воспалительным процессом...

Признаки классификации безопасности Можно выделить следующие признаки классификации безопасности. 1. По признаку масштабности принято различать следующие относительно самостоятельные геополитические уровни и виды безопасности. 1.1. Международная безопасность (глобальная и...

Виды и жанры театрализованных представлений   Проживание бронируется и оплачивается слушателями самостоятельно...

Что происходит при встрече с близнецовым пламенем   Если встреча с родственной душой может произойти достаточно спокойно – то встреча с близнецовым пламенем всегда подобна вспышке...

Реостаты и резисторы силовой цепи. Реостаты и резисторы силовой цепи. Резисторы и реостаты предназначены для ограничения тока в электрических цепях. В зависимости от назначения различают пусковые...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2023 год . (0.005 сек.) русская версия | украинская версия