ТЕМА № 5. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

 

Бинарные отношения между элементами одного и двух множеств. Отношения обратное и противоположное данному. Свойства бинарных отношений. Отношения эквивалентности и порядка.

Литература: [1] с. 67-89; [2] с. 87-104; [3] с. 38-57; [4] с. 28-42; [5] с. 95-103; [6] с. 76-82; [7] с. 22-36.

 

 

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ (задания I уровня)

 

1А. Даны множества Х={5, 7, 8, 9, 10} и У ={3, 4, 5, 6, 9}. Между ними установлено соответствие R: «Число х на 2 больше числа у», где хÎ Х, уÎ У. Какие из следующих записей являются другими способами задания отношения R: а) Г={(3, 5), (5, 7), (6, 8), (9, 10)}; б) Г={(5, 3), (7, 5), (8, 6)}; в) R: «х=2+у», где хÎ Х, уÎ У; г) Г={(5, 3), (7, 4), (7, 5), (7, 6), (7, 3), (8, 4), (8, 3), (8, 5), (8, 6)}.

 

1Б. Дано множество А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, элементы которого связаны отношением R: «Число х на 4 больше числа у», где х, уÎ А. Какие из графов соответствуют отношению R:

 

а)2 4 б) 2 4 в) 2 4 г)2

12 6 12 4

12 6 6 6

10 8 12

10 8 10• 8 •

10 8

 

2А. Известно, что Г – график бинарного соответствия между элементами множеств А и В, аÎ А, вÎ В. Какие из следующих предложений являются истинными при условии, что А и В – любые множества и (а, в)Î Г: а) ГÌ А; б) ГÌ В; в) ГÌ А´ В; г) (А´ В)Ç Г=Г; д) (А´ В)Ç Г= А´ В; е) (А´ В)È Г=Г; ж) (А´ В)\Г=Æ

 

2Б. На множестве У={у|уÎ Z, –13£ у£ –2} задано отношение R: «х=2у». Какие из следующих утверждений истинны:

а) (-6, -3)Î R; б) (-3, -6)Î R; в) (-4, -2)Î R;

г) (-8, -4)Ï R; д) -12R-6; е) 2R1.

 

3А. Даны множества А={а, е, и} и В={б, г, д, ж, з}. Между ними установлено соответствие R: «Буква х предшествует в алфавите букве у», где хÎ А, уÎ В. Какие из следующих записей являются другими способами задания соответствия R:

а) Г={(а, б), (а, г), (а, д), (а, ж), (а, з), (е, б), (е, г), (е, д), (е, ж), (е, з), (и, б), (и, г), (и, д), (и, ж), (и, з)};

 

б) А R В

а• • ж

е• • б

•г

• з

и• • д

 

 

в) Г={(а, б), (а, г), (а, д), (а, ж), (а, з), (е, ж), (е, з)};

г) Г={(е, б), (е, г), (е, д), (и, б), (и, г), (и, д), (и, ж), (и, з)}.

 

3Б. На множестве Х={х | хÎ N, х≤ 6} задано отношение Р: {(6, 6), (6, 3), (6, 2), (6, 1), (5, 5), (5, 1), (4, 4), (4, 2), (4, 1), (3, 3), (3, 1), (2, 2), (2, 1), (1, 1)}. Какие из предложений являются другими формами записи отношения Р:

а) Р= {(х, у) | х, уÎ Х, х≥ у}; б) Р= {(х, у) | х, уÎ Х, х=2у};

в) Р= {(х, у) | х, уÎ Х, х – кратно у}; г) Р= {(х, у) | х, уÎ Х, х=ку, кÎ N}.

 

4А. Известно, что Г – график бинарного соответствия между элементами множеств А и В, аÎ А, вÎ В. Какие из следующих предложений являются истинными при условии, что А и В – любые множества и (а, в)Î Г:

а) аÎ Г; б) вÎ Г; в) (а, в)Î А´ В; г) (а, в)Ì А´ В;

д) {(а, в)}Ì Г; е) (в, а)Î Г; ж) {(в, а)}Ì А´ В.

 

4Б. На множестве Х={1, 2, 3, 4, 5, 6} задано отношение S: {(х, у) | х–у=2, х, уÎ Х}. Какие из рисунков соответствуют отношению S:

а) у б) у

 

-2 х 1

-1 0 1 2 3 4 5 6 х

 

у

в) у г)

 

0 1 2 х 0 1 2 3 4 х

-2

 

 

5А. Даны множества Х={1, 2, 3, 4} и У={2, 4, 6}. Между ними установлено соответствие R: «Число х не больше числа у», где хÎ Х, уÎ У. Какие высказывания являются истинными:

а) Г={(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6)} – график соответствия R;

б) (1, 2)Î Х´ У; в) (1, 2)Î Г; г) (2, 2) Î Г;

д) (4, 6)Î Г; е) (3, 4)Î Г; ж) (3, 4)Î Х´ У.

 

5Б. На множестве Х={–3, –1, 1, 2, 3, 4} задано отношение R: «х=у+2». Какие, из следующих утверждений истинны:

а) –1R–3; б) 1R3; в) 3R1; г) R(1)= –1; д) R(4)=2; е) R(2)= –1.

 

0А. Даны множества Х={1, 2, 3, 4} и В={5, 6, 7}, между которыми установлено соответствие R:

 

Среди предложенных записей найдите другие способы задания соответствия R:

а) R={(х, у)| хÎ А, уÎ В, у–х£ 4};

б) R={(1, 5), (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7)};

в) R={(1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7)}

Решение: выбраны ответы а и б, т.к. графу соответствуют пары, указанные в множестве R={(1, 5), (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7)} (ответ б). Рассматривая пары этого соответствия, замечаем, что у – х £ 4, значит, соответствие R можно также задать следующим образом: R ={ (х, у)| хÎ А, уÎ В, у – х £ 4} (ответ а).

0Б. На множестве М={а, б, в, г, д} задано отношение R: «Буква х находится в алфавите непосредственно после буквы у». Какие из следующих утверждений истинны:

а) Г={(б, а), (в, б), (г, в), (д, г), (а, б), (б, в), (в, г), (г, д)} – график отношения R;

б) Г={(б, а), (в, б), (г, в), (д, г)} – график отношения R;

в) ГÌ М²; г) R(б)=а; д) гRв.

Решение:

б) Г={(б, а), (в, б), (г, в), (д, г)} – график отношения R;

г) R(б)=а;

д) гRв;

в) ГÌ М².

 

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ (задания II уровня)

 

1А. На множестве А={4, 2, 6, 3, 5, -3, -8, -6, 0} заданы бинарные отношения: а) R: «а< в»; б) S: «Число а противоположно числу в», где а, вÎ А. Задайте каждое из данных отношений другими способами.

 

1Б. Отношение R в множестве А={а, в, с, е} задано графиком: Г={(а, в), (а, с), (в, с), (в, е), (с, е)}. Каковы область определения и множество значений отношения R? Постройте граф этого отношения. Найдите R(a), R(в), R(c), R(e), R^-1(a), R^-1(c).

 

2А. Дано множество А={2, 4, 6, 8}. Найдите декартов квадрат множества А. Запишите графики отношений: а) Р: «а> в»; б) R: «Число а – делитель числа в», а, вÎ А. Постройте графы и графики этих отношений.

 

2Б. Отношение Q задано при помощи таблицы. Постройте граф и график отношения Q, укажите его область определения и множество значений. Найдите: Q(4), Q(-2), Q^-1(1), Q^-1(2).

 

-4	-3	-3	-3	-2	-2	-2	-1

 

3А. Дано множество А={2, 3, 4, 6, 9, 10}. Найдите декартов квадрат множества А. Запишите графики отношений:

а) Q: «Число а делится на число в», а, вÎ А.

б) Т: «Число а не больше, чем число в», а, вÎ А.

Постройте графы и графики данных отношений.

3Б. Отношение S в множестве Х={-2, -1, 0, 1, 2, 3} задано графиком Г={(-2, 0), (-1, 1), (0, 2), (1, 3)}. Каковы область определения и множество значений отношения S? Постройте граф и график этого отношения. Найдите S(1), S(0), S(-1), S^-1(2), S^-1(3).

 

4А. Элементы множеств Х и У находятся в отношении у=х–3. постройте график данного отношения, если:

а) Х=У=R; б) Х=[-2, 2], У=R; в) Х={-2, -1, 0, 1, 2}, У=Z.

 

4Б. На рисунке изображен график отношения Е, заданного на множестве R. Каковы область определения и множество значений отношения Е? Постройте график отношения Е^-1.

 

у

3

 

-2 0 1 х

 

5А. Постройте график отношения у> 3х–2, заданного на множестве Х, если: а) Х=R; б) Х=Z.

 

5Б. На рисунке изображен график отношения S, заданного на множестве R. Найдите область определения и множество значений отношения S? Найдите S^-1(1), S^-1(2).

 

у

3

 

-1 0 1 х

-2

 

0А. На множестве А={х|хÎ N, х≤ 6} заданы бинарные отношения:

а) R: «Число а вдвое больше числа в»;

б) Q: «Число а делится на в», где а, вÎ А. Задайте каждое из данных отношений другими способами.

Решение:

А={1, 2, 3, 4, 5, 6}

а) 1 способ: R ={(2, 1), (4, 2), (6, 3)}; R ={(х, у)| х, уÎ А; х=2у}.

2 – графический. 3 – с помощью графа:

 

R

 

4 – в виде таблицы:

х	2	4	6
у	1	2	3

 

б) 1 способ: Q={(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (4, 2), (6, 2), (6, 3)}

Q={(х, у)| х, уÎ А; х = у× к; кÎ N}.

2 способ: графический 3 способ: с помощью графа:

0Б. Отношение задано таблицей:

 

х
у		-1			-1			-1

 

Постройте граф и график отношения R, укажите его область определениях и множество значений у. Найдите R(0), R(1), R^-1(1), R^-1(2).

Решение:

график отношения R график отношения R

R(0) ={1, - 1, 2},

R(1) ={-1, 1, 2},

R^-1(1) ={0, 1, 2},

R^-1(2) ={0, 1}

Область определения Х ={0, 1, 2}

Множество значений У={-1, 1, 2}

 

 

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ (задания III уровня)

 

1А. На множестве Х={2, 3, 4, 6, 8, 9} задано отношение R: «Число х кратно числу у», где х, уÎ Х. Постройте граф и график отношений R. Сформулируйте обратное и противоположное отношения, постройте их граф и график.

 

1Б. На множестве Х={а, в, с, d} заданы графики отношений

Р={(а, а), (а, в), (а, с), (с, с), (d, d)};

R={(в, а), (а, в), (в, с), (с, в), (в, d), (d, в), (с, d), (d, с)};

S={(а, а), (в, в), (с, с), (d, d), (в, с), (с, в), (с, d), (d, с)}.

Какие из данных отношений являются:

а) рефлексивными; б) симметричными; в) транзитивными.

 

2А. Бинарное отношение R задано на множестве {1, 2, 3, 4, 5, 6} графом, показаным на рисунке. Задайте это отношение характеристическим свойством. Запишите график отношения R. Назовите его область определения и множество значений. Постройте графы отношений, обратного и противоположного отношению R. Укажите характеристические свойства отношений R^-1 и .

 

 

1

2 4

5 6

 

2Б. На множестве прямых плоскости задано отношение S перпендикулярности прямых. Обладает ли это отношение свойством рефлексивности, свойством транзитивности? Ответ обоснуйте.

 

3А. На множестве Х={1, 2, 3, 4, 5, 6} задано отношение R: «Число х меньше числа у», где х, уÎ Х. Постройте граф и график отношения R. Сформулируйте и постройте граф и график обратного и противоположного отношений.

 

3Б. На множестве Х={2, 4, 6, 8} задано отношение R: «х≤ у», х, уÎ Х. Запишите график отношения R. Постройте его граф. Обладает ли отношение R свойством рефлексивности, симметричности, транзитивности? Как это выражается на графе?

 

4А. На рисунке показан график отношения Т, заданного на множестве {-3, -2, -1, 1, 2}. Запишите множество элементов, принадлежащих отношению Т. Укажите его характеристическое свойство. Постройте граф отношения Т. Назовите характеристические свойства отношений и Т ^-1, запишите их графики.

у

• 3

• • 2 •

• •1 • •

-3 -2 -1 0 1 2 3 х

• • •

• -2

 

4Б. Известно, что отношение К, заданное на множестве Х={3, 4, 5}, рефлексивно и транзитивно. Какое из следующих множеств задает отношение К: а) {(3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4), (5, 5)}; б) {(3, 3), (4, 4), (5, 5), (3, 4), (4, 5), (5, 4)}. Объясните, почему.

 

5А. На множестве Х={1, 2, 3, 4, 5, 6} задано отношение S: «Число х предшествует числу у в натуральном ряду», х, уÎ Х. Постройте граф и график отношений R. Сформируйте и постройте граф и график обратного и противоположного отношений.

5Б. На множестве Х={0, 1, 2, 3} задано отношение

S={(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (0, 1), (1, 2), (0, 2), (1, 0), (2, 1), (2, 0)}.

Определите свойства отношения S и постройте его график. Как отражаются свойства отношения на его графике?

0А. На множестве Х={х|хÎ N, х≤ 4} задано отношение S: «Число х меньше числа у», х, уÎ Х. Постройте граф и график отношений S. Сформулируйте обратное и противоположное отношения и постройте их граф и график.

Решение: Х={1, 2, 3, 4}. S={(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

S^-1: «Число у больше числа х» - обратное соответствие

S^-1={(2, 1), (3, 1), (4, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3)}

 

: «Число х больше либо равно числа у» - противоположное соответствие.

={(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (3, 2), (4, 2), (4, 3)}.

 

 

0Б. На множестве Х={1, 3, 5, 7, 9} задано отношение R: «Число х больше числа у на 2», где х, уÎ Х. Запишите график отношения R. Постройте его график и граф. Обладает ли отношение R свойствами рефлексивности, симметричности? Как это определить по графу? По графику?

Решение: Г={(3, 1), (5, 3), (7, 5), (9, 7)} – график отношения R.

Отношение R не обладает свойством рефлексивности. Т.к. любой элемент из множества Х, не находится в отношении R с самим собой, а именно: не существует числа, которое было бы на 2 больше самого себя. На графе нет петель. График отношения R не лежит на биссектрисе 1 и 3 координатных углов.

Отношение R, заданное на множестве Х, не обладает свойством симметричности, т.к. для любого элемента из множества Х из того, что х находится в отношении R с у не следует, что у находится в отношении R с х (хRу Þ уRх) – «л.» Т.е. если число у больше числа х на 2, то не верно, что число у больше числа х на 2. На графе стрелки между любыми двумя элементами идут болько в одном направлении. График отношения R не симметричен относительно биссектрисы 1 и 3 координатных углов.

 

 

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ (задания IV уровня)

 

1А. Выясните, какими свойствами обладают данные отношения. Назовите среди них отношения эквивалентности и отношения порядка:

а) «а равно в» (в множестве треугольников);

б) «а меньше или равно в» (в множестве Z);

в) «а является собственным подмножеством в»

(в множестве геометрических фигур).

 

1Б. В множестве учащихся класса выделены подмножества отличников, спортсменов и мальчиков. Можно ли сказать, что множество учащихся разбито на эти три подмножества? Почему?

 

2А. Выясните, какими свойствами обладают данные отношения. Назовите среди них отношения эквивалентности и отношения порядка:

а) «а концентрично в» (в множестве окружностей на плоскости);

б) «а следует за в» (в множестве N);

в) «а является дополнением в до прямоугольника»

(в множестве геометрических фигур).

 

2Б. На плоскости проведена прямая l. Можно ли сказать, что множество всех прямых плоскости разбивается на три класса: параллельные l, перпендикулярные l и пересекающие l? Почему?

 

3А. Выясните, какими свойствами обладают данные отношения. Назовите среди них отношения эквивалентности и отношения порядка:

а) «а равно в» (в множестве Q);

б) «а является подмножеством в»

(в множестве геометрических фигур);

в) «а кратно в» (в множестве N).

 

3Б. Можно ли разбить множество треугольников на равнобедренные, разносторонние, равносторонние? Ответ обоснуйте.

 

4А. На множестве людей заданы отношения:

а) «а сестра в»;

б) «а имеет тот же цвет глаз, что и в»;

в) «а на 4 см выше, чем в».

Выясните свойства этих отношений. Назовите отношения эквивалентности и порядка.

 

4Б. На плоскости проведена окружность. Можно ли разбить множество всех окружностей на два класса: касающихся данной окружности и пересекающихся с ней. Завершите классификацию окружностей.

 

5А. На множестве людей заданы отношения:

а) «а начальник в»;

б) «а друг в»;

в) «а родился в том же году, что и в».

Выясните свойства отношений. Назовите отношения эквивалентности и порядка.

 

5Б. Можно ли разбить множество целых чисел на четные и нечетные? Ответ обоснуйте.

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ (задания V уровня)

 

1А. Выясните свойства следующих отношений в множестве Z:

а) (х–у)M3; б) х²=у²; в) |х|< |у|.

 

1Б. На рисунке с плотными стрелками обозначен граф отношения «а брат в», штриховыми – граф отношения «а сестра в». некоторые стрелки пропущены. Восстановите их. Кто из детей мальчик, кто – девочка?

А Б Г Д З

Ж И

 

В Е К

 

2А. Выясните свойства следующих отношений в множестве Z:

а) х: у=4; б) |х|+|у|= 3; в) х³=у³.

 

 

2Б. На рисунке изображен граф отношения «а дед в». Кем приходились друг другу отец и мать d?

 

в

а d

с

 

3А. Выясните свойства следующих отношений в множестве Z:

а) |х|+|у|≠ 4; б) х≠ у; в) (х²–у²) M4.

 

3Б. На рисунке изображен граф отношения «больше, чем» в множестве числовых выражений. Подберите выражения, которые можно поставить в прямоугольники. Проиллюстрируйте, что отношение «больше, чем» транзитивно.

 

 

4А. Какие из отношений в множестве Х являются отношениями эквивалентности? Для отношений эквивалентности укажите классы эквивалентности: а) Х=Z, (х-у) M3; б) Х=N, (х+у) M2; в) Х=Z, х²=у².

 

4Б. Даны графы отношения «меньше, чем». Какое из чисел А, В, С, Д самое большое? Какое самое маленькое? Придайте А, В, С и Д подходящие значения.

 

а) б)

А А

Д В Д В

С С

 

5А. Какие из отношений в множестве Х являются отношениями эквивалентности? Для отношений эквивалентности укажите классы эквивалентности: а) Х=N, (х-у) M3; б) Х= N_о, (х–у) M3 или (у–х) M3; в) Х=R, х–у=2.

 

5Б. Дан граф отношения «больше, чем». Точками изображены все элементы рассматриваемого множества, но один элемент t – неизвестен. Определите t, если: а) tÎ N, б) tÎ R.

8 5

 

 

2 t

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Виленкин Н. Я. Математика / Н. Я. Виленкин, А. М. Пышкало, В. Б. Рождественская [и др.] – М.: Просвещение, 1977. – 352 с.

2. Задачник-практикум по математике. / Н. Я. Виленкин, Н. Н. Лав-рова [и др.]; под ред. Н. Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1977. – 205 с.

3. Кожух І. Р. Матэматыка / І. Р. Кожух. – Мінск: Вышэйшая школа, 1993. – 350 с.

4. Кожух І. Р. Зборнік задач па матэматыцы: вучэб. дапам. для пед. ВНУ / І. Р. Кожух. – Мінск: Вышэйшая школа, 1994. – 162 с.

5. Лаврова Н. Н. Задачник-практикум по математике / Н. Н. Лаврова, Л. П. Стойлова. – М.: Просвещение, 1985. – 180 с.

6. Сендер А. Н. Методология формирования понятия о числе в начальном курсе математики / А. Н. Сендер. – Брест: БрГУ, 2003. – 164 с.

7. Стойлова Л. П. Математика: В 2 ч. / Л. П. Стойлова, Н. Я. Вилен-кин, Н. Н. Лаврова. – М.: Просвещение, 1990. Ч. 1. – 173 с.

 

Онискевич Татьяна Сергеевна