Основні теоретичні відомості. 1. Загальні відомості.Електричний фільтр являє собою частотно-вибірний пристрій, який пропускає сигнали певних частот та затримує або послабляє сигнали інших1. Загальні відомості. Електричний фільтр являє собою частотно-вибірний пристрій, який пропускає сигнали певних частот та затримує або послабляє сигнали інших частот. Розрізняють фільтри нижніх частот, фільтри верхніх частот, смуго-пропускаючі та смуго-загороджуючі фільтри. Фільтр нижніх частот (ФНЧ) являє собою пристрій, що пропускає сигнали низьких частот та затримує сигнали високих частот. Він розглядається у якості базового при аналізі та синтезі фільтрів. Інші фільтри можуть бути побудовані на основі ФНЧ. Діапазони або смуги частот, у яких сигнали проходять, називаються смугами пропускання і в них значення амплітудно-частотної характеристики (АЧХ) відносно велике, а у ідеальному випадку – постійне. Діапазони частот, у яких сигнали подавлюються складають смуги затримки і в них значення АЧХ відносно мале, а ідеальному випадку – дорівнює нулю. На рис. 1, представлено АЧХ ідеального 1 та реального 2 ФНЧ. Для ідеального ФНЧ визначається одна смуга пропускання 0< ω < ω зр та одна смуга затримки ω > ω зр. Частота ω зр між цими смугами визначається як частота зрізу. Для реального випадку смуга пропускання визначається як інтервал частот 0< ω < ω зр, смуга затримки як частоти ω > ω 1, перехідна область як діапазон частот ω зр < ω < ω 1. На практиці неможливо реалізувати ідеальну характеристику, оскільки для цього треба сформувати дуже вузьку перехідну область. Отже основною проблемою при конструюванні ФНЧ є наближення реальної АЧХ до ідеальної.
Рис. 1. АЧХ фільтра нижніх частот: 1 – ідеальна; 2 – реальна
На практиці у якості смуги пропускання обирається діапазон частот, де значення АЧХ перевищує деяке заздалегідь визначене число А 1, а смугу затримки створює діапазон частот у якому АЧХ менше деякого визначеного значення А 2. Якщо мінімальне згасання обрати за нормований рівень 0 (А 1 на рис.1), то логарифмічна характеристика ФНЧ має вигляд, представлений на рис. 2. Максимальне згасання в децибелах у смузі пропускання складає α 1, а мінімальне згасання у смузі затримки α 2 (А 1 та А 2 – відповідні значення АЧХ). Згасання α 1 не може перевищувати 3 дБ, в той самий час типове значення α 2 значно більше та може знаходитися у межах 20≤ α 2≤ 100 дБ (в цьому випадку маємо 10-1≥ А 2≥ 10-4).
Рис.2. Логарифмічна характеристика ФНЧ
Коефіцієнт підсилення ФНЧ являє собою значення його передаточної функції при s =0 або, що еквівалентно, значення його АЧХ на частоті ω =0. Відповідно, коефіцієнт підсилення реального фільтра з АЧХ, представленою на рис. 1, дорівнює А. Існує багато типів ФНЧ, що задовольняють набору технічних характеристик А, А 1, А 2, ω зр та ω 1, що наведені на рис.1, або α 1, α 2, ω зр та ω 1 – на рис.2. Фільтри Баттерворта, Чебишева, інверсні Чебишева та еліптичні складають чотири найбільш відомі класи. Характеристика фільтра Чебишева містить пульсації (коливання передачі) у смузі пропускання та монотонна у смузі затримання. На рис. 3 зображена характеристика фільтра Чебишева 6-го порядку. Інверсна характеристика фільтра Чебишева монотонна у смузі пропускання та має пульсації у смузі затримки (див. рис. 4). АЧХ оптимального ФНЧ задовольняє позначеним на рис. 1 та 2 умовам для даного порядку n та допустимого відхилення у смугах пропускання та затримки при мінімальної ширині перехідної області. Таким чином, якщо задані значення А, А 1, А 2, n та ω зр, то значення частоти ω 1 мінімальне. Для поліноміальної характеристики оптимальною є характеристика фільтра Чебишева.
Рис. 3. АЧХ фільтра Чебишева 6-го порядку
Рис. 4. АЧХ інверсного фільтра Чебишева 6-го порядку Фільтр Чебишева має АЧХ, що визначається за формулою:
де ε та K – константи, параметри фільтра; Cn – поліном Чебишева першого роду ступені n, що має вид
АЧХ досягає свого найбільшого значення K в тих точках де Cn =0. Оскільки ці точки розподілені по смузі пропускання, то характеристика фільтра Чебишева містить пульсації у смузі пропускання та монотонна в інших областях. Розмах пульсацій визначається параметром ε, їх кількість – ступінню n. На рис. 5 наведено деякі характеристики фільтру Чебишева для K =1 та ω зр=1 с-1. Фільтр Чебишева також називають рівнохвильовим фільтром оскільки усі пульсації рівні за значенням. Для K =1 розмах пульсацій
Таким чином, RW можна зменшити обравши значення параметра ε досить малим.
Рис. 5. АЧХ фільтра Чебишева нижніх частот
Мінімально допустиме згасання у смузі пропускання – постійний розмах пульсацій, часто виражається у децибелах
та може використовуватися як характеристика фільтра Чебишева. Наприклад, фільтр з нерівномірністю передачі 0, 5 дБ має таке значення ε =0, 3493, що α =0, 5. В загальному випадку, розв’язуючі рівняння (4) відносно ε, можна отримати
Найбільш допустимий розмах пульсацій має фільтр Чебишева з нерівномірністю передачі 3 дБ, для якого ε ≈ 1. За АЧХ на рис.1 та 6 визначаємо
Для даного випадку також можна точно визначити А 2, що встановило б значення частоти ω 1. Частота ω зр=1 с-1 являє собою точку зрізу або граничну точку смуги частот з пульсаціями. Якщо необхідно визначити частоту ω 3дБ, тобто точку в якої характеристика спадає на 3 дБ, то отримують
Необхідно відзначити, що ω зр= ω 3дБ, якщо ε ≈ 1, і в цьому випадку отримуємо фільтр Чебишева з нерівномірністю передачі 3 дБ. Передаточна функція фільтра Чебишева у загальному випадку має вид:
Для нормованого фільтра, тобто при ω зр=1 с-1, передаточну функцію можна записати у вигляді добутку співмножників для n =2, 4, 6 …
або для n =3, 5, 7 …
Поліноми знаменника для добутку співмножників (8) та (9) табульовані та приведені у довідниках. ФЧХ фільтра Чебишева для 2-6-го порядків наведені на рис. 6. Можна відмітити, що ФЧХ фільтрів Чебишева високих порядків гірше ФЧХ фільтрів більш низьких порядків (більш нелінійні). Це узгоджується з фактом, що АЧХ фільтра Чебишева високого порядку краще АЧХ фільтра більш низького порядку.
Рис. 6. ФЧХ фільтрів Чебишева 2. Вибір мінімального порядку. Чим вище порядок фільтру Чебишева, тим краще його АЧХ. Але більш високий порядок ускладнює схемну реалізацію фільтра, а отже – підвищує його вартість. Таким чином, розробник має визначити мінімально необхідний порядок фільтру, що задовольняє заданим вимогам. Припустимо, що у зображеної на рис. 2 загальної характеристиці задані максимально допустиме згасання у смузі пропускання α 1 (дБ), мінімально допустиме згасання у смузі затримки α 2 (дБ), частота зрізу ω зр (с-1) або f зр (Гц) та максимально допустима ширина перехідної області TW, що визначається наступним чином:
Відповідно, смуга затримки повинна починатися з деякої частоти ω 2≤ ω 1. Необхідно знайти мінімальний порядок n фільтра Чебишева, що буде задовольняти усім цим умовам. Підставивши наведені вище умови у (1), та розв’язавши його відносно n отримаємо для K =1:
Рівняння (10) можна представити у вигляді:
Цей вираз дозволяє визначити залежність порядку n від ширини перехідної області, а не від частоти ω 1. Параметр TW /ω зр називається нормованою шириною перехідної області і є безрозмірним. Нехай α 1=3 дБ, α 2=20 дБ, f зр=1000 Гц, а ширина перехідної області не повинна перевищувати 300. З рівняння (12):
Мінімальний порядок фільтра Чебишева, що задовольняє цим умовам:
Оскільки порядок повинен бути цілим числом, то беремо ближнє найбільше ціле число n =4. Рівняння (11) та (12) можна використати для визначення для знаходження ширини перехідної області TW:
Знайдемо ширини перехідної області TW для випадку α 1=3 дБ, α 2=20 дБ, f зр=1000 Гц, n =4:
Отже 3. Визначення передаточної функції та побудова на ПЕОМ частотних характеристик фільтру Чебишева. Для ФНЧ другого порядку з частотою зрізу ω зр типова поліноміальна передаточна функція має вид:
де K – коефіцієнт підсилення фільтру; В та С – нормовані коефіцієнти (див табл. 1); ω зр=2·π f зр. Для фільтрів більш високих порядків рівняння (14) описує передаточну функцію типової ланки другого порядку, де K – коефіцієнт підсилення ланки; В та С –коефіцієнти ланки (див табл. 1). Наприклад необхідно розробити фільтр Чебишева 4-го порядку з нерівномірністю передачі α =0, 5 дБ, частотою зрізу ω зр=1000 Гц та коефіцієнтом передачі K =4. Фільтр буде складатися з двох ланок 2-го порядку, з передаточною функцією, що визначається рівнянням (14). Оберемо коефіцієнт підсилення кожної ланки K 1= K 2=2, щоб забезпечити необхідний коефіцієнт підсилення самого фільтру K=K 1· K 2=4. З табл. 1 знаходимо В 1=0, 350706 та С 1=1, 063519, В 2=0, 846680 та С 2=0, 356412. Отже передаточна функція фільтру матиме вигляд:
АЧХ та ФЧХ фільтру представлено на рис.8.
Рис. 8. АЧХ та ФЧХ фільтру Чебишева 4-го порядку
4. Технічна реалізація фільтрів Чебишева. Заключним етапом при проектуванні ФНЧ є його технічна реалізація. Одним з способів реалізації фільтру Чебишева другого порядку є ланка зображена на рис. 9. Ця схема реалізує передаточну функцію (14) ФНЧ з наступними параметрами:
Опори, що задовольняють системі (15) визначаються наступним чином:
Для реалізації фільтра парного порядку n > 2 ланки зображені на рис. 9 з'єднуються каскадно.
Рис. 9. Схема фільтра Чебишева 2-го порядку
Методика розрахунку фільтра Чебишева полягає у наступному. 1. Визначаються нормовані коефіцієнти B та C. 2. Обирають номінальне значення ємності C 2≈ 10/ f зр (мкФ) та номінальне значення ємності C 1, що задовольняє умові:
3. За формулами (16) розраховуємо опори R 1, R 2, R 3 та R 4. (Для випадку K > 1. Розрахунок для інших випадків див. […]). 4. Обираємо номінальні значення опорів найближчі до розрахованих та реалізуємо фільтр або його ланки за схемою на рис. 9.
Таблиця 1. Нормовані коефіцієнти фільтрів Чебишева
Таблиця 2. Вихідні дані для дослідження
|
, (1)
(2).
. (3)
, (4)
. (5).
, 
.
. (6)
. (7)
, (8)
. (9)
. (10)
. (11)
. (12)
.
.
. (13)
.
Гц. Цей результат відповідає попередньому прикладу, де TW≤ 300 Гц.
, (14)
.
;
; (15)
.
;
(16)
.
.
