Модель квазидетерминированных сигналов

Представление сигналов возможно двух видов:

· временное;

· спектральное.

 

При временном представлении сигнала применяют некоторые функции типа f(a₁, a₂, …, a_n, t) наиболее близко описывающие изменение сигнала во времени. Один из параметров a₁, a₂, …, a_n зависит от измеряемой величины x(t). Приведем несколько примеров наиболее часто встречающихся математических моделей квазидетерминированных сигналов.

1) Скачкообразное изменение x(t) создаёт на выходе безинерционного измерительного преобразователя выходной сигнал y(t), который может быть описан функциями исключения (5.1)и скачка (5.2)

,	(5.1)
,	(5.2)

где k – коэффициент преобразования; a=kx(t) – параметр.

 

 

Рис. 5.3. График функции исключения

 

2) Периодическое гармоническое изменение сигнала – это описание амплитудно-модулированного сигнала изображённого на рис. 5.2, а. Математически такой сигнал описывается уравнением

,

(5.3)

где ω ₀ – частота несущих колебаний (несущая частота); m – коэффициент амплитудной модуляции.

3) Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

 

 

 

Рис. 5.4. График периодической последовательности прямоугольных импульсов

,

(5.4)

где Y_m – амплитуда импульсов; τ – длительность импульсов; Т – период следования импульса, .

С учётом выражения (5.4) формула для амплитудно-импульсного модулированного сигнала имеет вид

.

(5.5)

 

4) Сигналы сложной структуры для описания таких сигналов используют бесконечный ряд вида

,

(5.6)

где V_i(t) – базисные функции (полиномы Лагранжа); C_i – весовые коэффициенты.

На практике используют конечную сумму аппроксимирующей функции

,

(5.7)

где y^*(t) – приближённое значение y(t).

Степень приближения определяется погрешностью

.

(5.8)

 

Спектральное представление сигнала основывается на преобразовании Фурье. Применяя разложение в ряд Фурье периодического сигнала y(t) позволяет его значении описать в виде суммы гармонической составляющей

,

(5.9)

где А₀ – постоянная составляющая;

А_n и φ _n – соответственно амплитуда и фаза n- ой гармоники.

Множество значений А_n и φ _n образуют соответственно амплитудный и фазовый спектры сигналов.

Частотным диапазономназывают характеристику сигнала, определяющую необходимую полосу пропускания СИ. Эта полоса необходима для передачи сигнала с требуемой точностью.

Для непрерывного сигнала y(t) при линейной зависимости y(t)=kx(t) спектр сигнала повторяет спектр измеряемой величины x(t). При таком сигнале СИ должно иметь полосу пропускания, определяемую спектром x(t), т.е. спектры x(t) и y(t) совпадают.

При амплитудной модуляции гармонического сигнала спектр имеет более сложную зависимость от спектра x(t), если , где Ω – частота модуляции. С учетом уравнений (5.3) и (5.9) получаем функцию

.

(5.10)

Спектр А_n показан на рис. 5.5

 

 

Рис. 5.5. Спектр амплитудного модулированного гармонического сигнала

 

Для неискажённой передачи этого сигнала СИ должно иметь полосу пропускания частот одного диапазона от ω ₀-Ω до ω ₀+Ω. При модуляции импульсных сигналов спектр имеет достаточно сложную структуру. На рис. 5.6 в качестве примера показан вид спектра амплитудно-импульсного сигнала.

 

Рис. 5.6. Спектр амплитудно-импульсного сигнала

 

Спектр такого сигнала бесконечен по частоте. В этом случае при определенном требовании к полосе пропускании СИ выходит из допустимой погрешности сигнала за счет искажения его частотного диапазона.

Таким образом, описание сигнала квазидетерминированными моделями даёт хорошее описание происходящего во времени процесса СИ.

При известном x(t) эти модели дают точное описание сигнала y(t) (эту точность можно оценить по математической модели). Однако на практике x(t) неизвестно поэтому на основании приведённых моделей обычно определяют предельные характеристики сигнала y(t): диапазон изменения сигнала и его информативного параметра, частотный диапазон и др.