Математические модели случайных сигналов

Математическая основа такой модели – это аппарат теории вероятности и теории случайных процессов. Семейство возможных реализаций y_i(t) подчиненных определенным вероятным характеристикам, образует случайный сигнал y(t).

 

 

б)

а)

 

Рис. 5.7. Случайные сигналы во временном сечении t₁:

а) сигнал Y₁(t), б) сигнал Y₂(t)

 

	а)
		б)

 

Рис. 5.8. Корреляционные функции случайных сигналов:

а) R₁(t) для сигнала Y₁(t), б) R₂(t) для сигнала Y₂(t)

 

Такими характеристиками могут быть закон распределения случайных величин или его числовые характеристики (математическое ожидание, среднеквадратичное отклонение) и корреляционная функция или спектральная плотность мощности сигнала.

Случайный сигнал Y(t) в некотором временном сечении t₁ (рис. 5.7., 5.8.)

Можно рассматривать как случайную величину Y(t₁), реализациями которой являются значения y_i(t_i). Для описания сигнала Y(t) в этот момент времени применим одномерный закон распределения F(y, t₁). Если этот закон не зависит от времени т.е.

F(y, t₁)=F(y, t₂)=F(y),

t₁≠ t₂,

то такие сигналы являются стационарными (в широком смысле).

Закон распределения F(y) определяет пространственную по оси ординат структуру сигнала Y(t). Иногда вместо F(y) могут быть использованы его характеристики: математическое ожидание M(y) и среднее квадратичное отклонение σ _у. Описание Y(t) только законами распределения F(y) оказывается недостаточным, поскольку оно не характеризует изменение сигнала во времени.

Так, например, сигналы изображенные на рис.5.7, а и 5.7, б могут иметь одинаковые законы распределения, однако обладают разной динамикой изменения во времени.

Для оценки динамических свойств сигнала используют понятия корреляционной функции R(t). Для стационарных сигналов с математическим ожиданием равным нулю R(t) определяется математическим ожиданием произведения значения реализации y(t) в момент времени t и t+τ по формуле:

,

(5.11)

где N - число реализации случайного сигнала.

R(τ) характеризует статистическую связь между значениями случайных сигналов в различные моменты времени. Чем меньше значение корреляционной функции, тем меньше в среднем зависит значение сигнала y(t₁+τ) в момент времени t₁+τ от значения y(t₁) в момент времени t₁.

На рис. 5.8, а, б качественно изображены корреляционные функции R₁(τ) и R₂(τ) соответствующие сигналам Y₁(t) и Y₂(t). R₁(τ) относительно слабо затухает с увеличением τ, что говорит о сильной корреляции y(t₁) и y(t+τ), для функции Y₁(t) это отражается в относительно плавном изменении сигналов. Для функции Y₂(t) (рис. 5.7, б) свойственна слабая корреляция реализаций функции в интервале τ между моментами времени t₁ и t+ , т.е. с изменением времени корреляция круто падает (рис. 5.8, б).