Решение. Так как обкладки конденсаторов соединены, то заряд, появляющийся под действием приложенного напряжения на первом конденсаторе

Так как обкладки конденсаторов соединены, то заряд, появляющийся под действием приложенного напряжения на первом конденсаторе, равен заряду, появляющемуся на втором конденсаторе (явление электростатической индукции). Поскольку заряд связан с емкостью конденсатора и напряжением на нем соотношением q = CU, то мы можем записать

C ₁U ₁ = C ₂U ₂.

С другой стороны,

U ₁ + U ₂ = U.

Решая совместно эту систему уравнений, найдем напряжение на первом и втором конденсаторе

,

.

Подставляя эти значения в формулу для энергии конденсатора, получим

;

.

 

Подставим значения величин и получим

W_Э1 = 2× 10^-6 Дж = 2 мкДж, W_Э2 = 1× 10^-6 Дж = 1 мкДж.

6. Медный проводник (удельное сопротивление меди r = 17 нОм·м) подключен к источнику с ЭДС, e = 4 В. Внутреннее сопротивление источника r = 0, 1 Ом. Сечение проводника S = 0, 085 мм², длина l = 9, 5 м. Считая, что ток течет по всему поперечному сечению проводника, найти величину напряженности электрического поля внутри него.

Решение

Чтобы найти напряженность электрического поля в проводнике, воспользуемся законом Ома в дифференциальной форме:

j = sE,

где j – плотность тока; E – вектор напряженности электрического поля; s – электропроводность вещества проводника, равная 1/ r.

Величина искомой напряженности электрического поля в проводнике определяется соотношением:

E = j / s = rj. (1)

Таким образом, задача нахождения напряженности поля сводится к задаче нахождения величины плотности тока j в цепи.

Плотность тока можно найти, если известна сила тока I, протекающего по проводнику

j = I / S. (2)

Полный ток в цепи найдем из закона Ома для полной цепи:

I = e / (R + r), (3)

где r – внутреннее сопротивление источника; R - сопротивление проводника.

Для R справедливо соотношение:

R = rl/S. (4)

Объединяя формулы (1) - (4), окончательно запишем

E = rj = rI / S = re / (R + r)S = re / (rl / S + r)S. (5)

Подстановка в (5) численных данных позволяет написать ответ

Е = 0, 4 В/м.

7. Падение напряжения в проводнике, состоящем из двух последовательно соединенных кусков медной проволоки одинаковой длины (l ₁ = l ₂ = 10 м), но разного диаметра (d₁ = 2d₂), равно 10 В. Найти удельную тепловую мощность тока во втором куске проволоки. Удельное сопротивление меди r = 17 нОм·м.

Решение

Удельная тепловая мощность тока (плотность тепловой мощности)

w = sE ² = E² = rj ².

Поэтому, чтобы найти w₂, необходимо определить две величины: количество теплоты Q₂, которое выделяется в более тонком проводнике в единицу времени, и объем этого проводника.

Количество теплоты Q₂ можно найти, если учесть, что ток в проводниках один и тот же, а сопротивления проводников отличаются в 4 раза.

.

Согласно закону Джоуля-Ленца, представленному в интегральной форме,

 

,

где Q₁ – тепло, выделяющееся в единицу времени в более толстом проводнике.

Общая энергия, которая выделяется во всем проводнике, рассчитывается по формуле

, (1)

где U –падение напряжения в проводнике.

Из уравнения (1) следует, что количество теплоты, выделяющееся во втором проводнике в единицу времени,

. (2)

 

В уравнении (2) все величины, кроме сопротивления второго участка проводника, известны. Однако в знании R₂ нет необходимости. Действительно, если связать между собой объем второго проводника с его сопротивлением

,

то нетрудно видеть, что удельная тепловая мощность тока во втором проводнике не зависит от его сопротивления

. (3)

Подставляя в соотношение (3) численные данные, получаем ответ

w ₂ = 3, 76× 10 ⁷ Вт/м³.

8. Заряд сферического конденсатора из-за того, что через диэлектрическую прокладку протекает ток, уменьшается за время t в n раз. Найти удельное сопротивление r прокладки, если ее диэлектрическая проницаемость равна e.

Решение

Сопротивление диэлектрика между обкладками сферического конденсатора можно найти, просуммировав сопротивления сферических слоев толщиной dr, граничащих друг с другом:

, (1)

где a, b – радиусы соответственно внутренней и внешней обкладок сферического конденсатора; e₀ – электрическая постоянная; C – емкость сферического конденсатора находится по формуле

.

Из уравнения (1) следует, что для определения величины удельного сопротивления материала прокладки достаточно найти произведение емкости конденсатора на полное сопротивление прокладки:

. (2)

Это можно сделать, если учесть, что за время dt конденсатор теряет заряд:

, (3)

где I – ток утечки. Знак «-» в (3) учитывает тот факт, что заряд конденсатора со временем убывает.

По закону Ома

, (4)

где U – разность потенциалов между обкладками конденсатора,

, (5)

где q – заряд конденсатора.

Объединяя формулы (3) – (5), получаем дифференциальное соотношение, в которое входит искомое произведение CR:

.

После интегрирования получаем

, (6)

где q₁ – начальный заряд конденсатора; q₂ – конечный.

Подставляя CRиз (6) в (2), окончательно имеем

.