Решение дифференциальных уравнений и систем

Нелинейные дифференциальные уравнения и системы с такими уравнениями, как правило, не имеют аналитических методов решения, и здесь особенно важна возможность из решения численными методами. В большинстве случаев желательно представление решений в графическом виде, что также позволяет MathCad. Для решения задач такого класса можно использовать ряд функций:

Odesolve(x, b, [step]) - возвращает функцию, которая является решением дифференциального уравнения. Используется в блоке с оператором Given.

x - переменная интегрирования, действительное число

b - конечная точка отрезка интегрирования

step - величина шага по переменной интегрирования (необязательный аргумент)

Rkadapt(y, x1, x2, n, F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта с переменным шагом для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе y, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от x1 до x2 при фиксированном числе шагов n;

rkfixed(y, x1, x2, n, F) - возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе y, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от x1 до x2 при фиксированном числе шагов n.

Для численного решения одиночного дифференциального уравнения в MathCAD имеется функция Odesolve, с помощью которой может быть решена как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, так и граничная задача. Эта функция входит в состав блока решения и является его заключительным ключевым словом. Пример использования функции приведен на рис.68.

 

 

Рис.68. Пример решения дифференциального уравнения второго порядка с помощью функции Odesolve.

 

Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка решаются с помощью функции Rkfixed.

На рис.2 приведен пример применения функции rkfixed для решения дифференциального уравнения, описывающего процесс свободных затухающих колебаний вели­чины электрического заряда q (К) на конденса­торе с емкостью С (Ф), включенного в замкнутый контур, содержащий также сопротивление R (Ом) и индуктивность L (Гн).

Этот процесс описывается дифферен­циальным уравнением второго порядка

где =d²q/dt² – ускорение изменения заряда, К/с2;

=dq/dt – скорость изменения заряда, К/с;

b – коэффициент затухания, 1/с, ;

w_c– круговая частота собственных колебаний контура, 1/с,

Исходные данные к решению задачи:

Начальное условие: t=0, V_q=0, q=q₀.

Номер варианта	R, Ом	L, Гн	C, Ф	q0, K
			0, 0050 0, 0035 0, 0040 0, 0075 0, 0070

Процесс затухания колебаний рассчитать до t_k

Исходное дифференциальное уравнение второго порядка может быть преобразовано в систему дифференциальных уравнений первого порядка.

Для этого введем подстановки:

q₀=q

q₁=

Дифференциальное уравнение второго порядка преобразуем в систему дифференциальных уравнений первого порядка:

Правые части системы дифференциальных уравнений записываются в вектор правых частей системы уравнений D(t, q).

Матрица Z размерности n строк по числу точек вывода результатов решения и m+1 столбцов, равным числу уравнений в системе. В столбцах матрицы содержатся значения переменных соответственно t, , . На рис.2 представлен график изменения заряда от времени.

 

 

 

Рис.69. Пример решения дифференциального уравнения второго порядка с помощью функции rkfixed.