Примеры. 1) В пространстве геометрических векторов с обычным скалярным произведением неравенства Коши–Буняковского и Минковского имеют вид:

1) В пространстве геометрических векторов с обычным скалярным произведением неравенства Коши–Буняковского и Минковского имеют вид:

, .

Первое неравенство в силу означает, что , второе − что длина стороны треугольника не превосходят суммы длин двух других сторон.

2) В неравенства Коши–Буняковского и Минковского дают:

.

3) В с обычным скалярным произведением и имеем

неравенство Коши–Буняковского

;

неравенство Минковского

.

4) В со скалярным произведением с положительно определённой симметрической матрицей имеем

неравенство Коши–Буняковского

;

неравенство Минковского

.

Замечание. Если векторное пространство дано над полем , то аналогично строится теория унитарных (или эрмитовых) пространств. В этом случае аксиомы 1) и 4) принимают соответственно вид:

1) ,

4) и , если .

Отметим, что неравенство Коши–Буняковского в этом случае принимает вид:

.

В –мерном комплексном координатном пространстве C стандартное скалярное произведение векторов C задается формулой

.

2°. Ортогональные и ортонормированные системы векторов.

Из неравенства Коши–Буняковского следует, что корректно можно ввести следующее

Определение 3. Для любых принадлежащих евклидовому пространству определен угол между ними: .

Определение 4. Элементы называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, то есть . Тогда .

Очевидно, что если ортогонален , то ортогонален .

Лемма 1. Нулевой вектор ортогонален любому вектору из и является единственным вектором, обладающим этим свойством.

Доказательство самостоятельно.

Определение 5. Сумму двух ортогональных векторов назовем гипотенузой треугольника, построенного на векторах .

Лемма 2. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство: .■

Обобщение. Если − взаимно ортогональны Þ

.

Определение 6. Система векторов евклидова пространства называется ортогональной, если она либо состоит из одного вектора, либо её векторы попарно ортогональны.

Теорема 3. Всякая ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства является линейно независимой.

Доказательство: Пусть − ортогональная система векторов и пусть

с некоторыми постоянными .

Умножая это равенство скалярно на , получаем

Т.к.

все − линейно независимы. ■

Определение 7. Ортогональная система, состоящая из векторов единичной длины, называется ортонормированной.

Определение 8. В –мерном евклидовом пространстве система ортонормированных векторов образует ортонормированный базис.

Теорема 4. Во всяком –мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство: Т.к. пространство − –мерное, то существуют векторов , которые линейно независимы. Покажем, что можно построить и векторы , получающиеся как линейные комбинации , которые образуют ортонормированный базис. Доказательство методом математической индукции:

Если − очевидно, т.к.

Пусть удалось построить векторов , которые попарно ортогональны, их нормы равны единице, и получены как линейные комбинации . Будем искать вектор . Выберем так, чтобы был ортогонален . Умножая скалярно на , в силу ортонормированности имеем:

Þ //т.к. // Þ

Очевидно, что полученный , т.к. он является линейной комбинацией Þ Þ система − ортонормированная и получена как линейная комбинация . ■

Замечание 1. В доказательстве теоремы 4 использовался следующий алгоритм ортогонализации системы векторов, известный как алгоритм Грамма–Шмидта:

пусть − линейно независимы. Тогда попарно ортогональные единичные вектора получаются по следующим формулам:

 

(4)

 

Замечание 2. В любом евклидовом пространстве можно построить много ортонормированных базисов. Примером ортонормированного базиса в с обычным скалярным произведением могут служить вектора

Рассмотрим произвольный ортонормированный базис -мерного евклидова пространства . Пусть − произвольный вектор и

.

Умножая обе части равенства скалярно на получим:

,

т.е. координаты произвольного вектора относительно ортонормированного базиса равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие базисные векторы. Поскольку скалярное произведение на вектор , естественно назвать проекцией на , то, следовательно, координаты произвольного относительно ортонормированного базиса равны проекциям этого элемента на соответствующие базисные элементы.

Таким образом, ортонормированный базис похож на декартовый прямоугольный базис.

3°. Выражение скалярного произведения через компоненты сомножителей. Матрица Грама.

Пусть в произвольном евклидовом пространстве задан базис . Это позволяет представить в виде . Вычислим скалярное произведение :

.

Отсюда следует, что если базис − ортонормированный, то есть , то

.

Теорема 5. В ортонормированном базисе скалярное произведение любых двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Если же базис { } − произвольный, то произведения обозначим и введем в рассмотрение квадратную матрицу

= = ,

 

называемую матрицей Грамма базиса { }. В силу коммутативности скалярного произведения , т.е. матрица Грама симметрическая.

Обозначим = , . Тогда скалярное произведение можно переписать в матричном виде:

.

Если { } − ортонормированный, то и .

Рассмотрим два базиса { } и { }, связанные при помощи матрицы перехода : если и , т.е. . Тогда для базиса { } матрица Грама имеет вид:

.

(5)

Эта формула даёт связь между матрицами Грама для двух связанных между собой базисов. Равенство (5) в матричном виде имеет вид:

,

(6)

что легко проверить прямыми вычислениями.

Рассмотрим последнюю формулу в частном случае, когда { } – ортонормированный. Тогда и формула (6) имеет вид:

Г =

вычисляя определитель в силу теоремы об определителе произведения матриц, имеем:

detГ = det( ) det = (det ) .

Так как { } – произвольный базис // т.к. det 0 //

Теорема 6. Определитель матрицы Грама любого базиса положителен.

Эта теорема может быть усилена:

Теорема 7. Пусть ,…, − произвольные (не обязательно линейно независимые) вектора в евклидовом пространстве. Тогда определитель матрицы

,

 

составленной из попарных скалярных произведений, положителен, если вектора линейно независимы, и равен нулю, если они линейно зависимы.

Доказательство: Первое утверждение теоремы следует из теоремы 6, т.к. если ,…, − линейно независимы, то они образуют базис в своей линейной оболочке.

Докажем второе утверждение. Если векторы – линейно зависимы, то выполнено равенство , где хотя бы одно . Умножая это равенство скалярно на каждый из векторов получим систему уравнений

,

которой удовлетворяет ненулевое решение определитель матрицы этой системы равен нулю.■

Замечание. Доказанная теорема обобщает неравенство Коши–Буняковского, которое имеет место при .

4˚. Ортогональное дополнение к линейному подпространству.

Определение 9. Два множества и векторов евклидова пространства называются ортогональными, если каждый вектор первого множества ортогонален к каждому вектору второго.

В частности, будем говорить, что вектор ортогонален к множеству , если ортогонален каждому .

Ортогональность и обозначается .

Лемма 3. Если два множества и ортогональны, то их пересечение либо пусто, либо состоит только из нулевого вектора.

Доказательство: На самом деле, если и . ■

Следствие. Сумма ортогональных подпространств всегда является прямой суммой.

Доказательство: Это следует из того, что их пересечение в силу леммы 3 состоит только из нулевого вектора сумма прямая. ■

Пусть – подпространство евклидового пространства.

Определение 10. Ортогональным дополнением подпространства E называется множество всех векторов, перпендикулярных каждому вектору из .

Ортогональное дополнение к обозначается .

Очевидно, что – линейное подпространство; на самом деле, если , а , то ( u+ v,w) = (u,w)+ (v,w) = О u + v U ,что и требовалось доказать.

Теорема 8. Евклидово пространство есть прямая сумма любого своего подпространства U и его ортогонального дополнения U .

Доказательство: Пусть dim U=k и пусть e ,…, e − ортонормированный базис в U. В силу теоремы 7 из параграфа 11 (Часть 1) эти вектора можно дополнить до базиса во всём пространстве . Применяя к ним процесс ортогонализации Грама-Шмидта, получим ортонормированный базис e ,…, e евклидова пространства .

Любой элемент х Е может быть разложен по этому базису:

x = x e +…+ x e + x e +… +x e ,

т.е. х=x +x , где x = x e +…+ x e U, а x = x e +… +x e U ,

в силу ортонормированности базиса. Следовательно, в силу следствия к лемме 3, сумма U и U – прямая сумма. ■

Следствие 1. (U ) = U.

Следствие 2. может быть единственным образом представлен в виде х= x +x , где x U, x U . При этом x называется ортогональной проекцией вектора на подпространство U, а x − ортогональной составляющей относительно U.

Задача. В Е подпространство U натянуто на векторы =(1,0,1,1), и =(0,1,1,–1). Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора =(1,2,0,1) на подпространство U.

Решение. 1 способ. Вектора и − ортогональны. Нормируя их, получаем:

= (1;0;1;1); = (0;1;1;–1). Если = x +x + x +x , то

x = (, ) = ; x = (, ) = Если x = x +x

x = x +x = (; ;1; ). ; ;–1; ).

2 способ. Применим процесс ортогонализации к базису в : .

Выберем = (0;0;1;0), = (0;0;0;1) ортогонализация даёт:

= – (, e ) e – (, e ) e = (– ;– ; ;0)

= (– ;– ; ;0). Аналогично, = (– ; ;0; ).

 

Решим систему:

x = , x = , x =- , x = x =x +x ; x =x +x .