Гипербола

Гипе́рбола (др.-греч. ὑπερβολή, от ὑπερ – «верх» + βαλειν – «бросать») – геометрическое место точек M плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек F ₁ и F ₂ (называемых фокусами) постоянно. Точнее, | | F ₁M| – | F ₂M|| = 2 a, причем | F ₁ F ₂| > 2 a >0.

Другие определения гиперболы:

- геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы. Заданная постоянная > 1 называется эксцентриситетом гиперболы.

- множество точек, образуемое в результате сечения кругового конуса плоскостью, отсекающей обе части конуса. Другими результатами сечения конуса плоскостью являются парабола, эллипс, а также такие вырожденные случаи, как пересекающиеся и совпадающие прямые и точка, возникающие, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса.

Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола может быть определена как коническое сечение с эксцентриситетом, большим единицы.

 

 

 

Гипербола состоит из двух отдельных кривых, которые называют ветвями.

Ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы называются вершинами.

Кратчайшее расстояние между двумя ветвями гиперболы называется большой осью гиперболы.

Середина большой оси называется центром гиперболы.

Расстояние от центра гиперболы до одной из вершин называется большой полуосью гиперболы. Обычно обозначается a.

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием. Обычно обозначается c.

Оба фокуса гиперболы лежат на продолжении большой оси на одинаковом расстоянии от центра гиперболы. Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется действительной или поперечной осью гиперболы.

Прямая, перпендикулярная действительной оси и проходящая через её центр называется мнимой или сопряженной осью гиперболы.

Отрезок между фокусом гиперболы и гиперболой, перпендикулярный её действительной оси, называется фокальным параметром.

 

 

Характеристики гиперболы подчиняются следующим соотношениям:

a ² + b ² = c²,

e = c / a,

b ² = a ² (e² – 1), a = , b = ,

с = ,

p =

 

Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду , где a и b – полуоси

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а вершина гиперболы лежит на продолжении полярной оси, то

r = .