I. Четвертое уравнение Максвелла как обобщение экспериментального закона Кулона

План:

I. Полевая трактовка закона Кулона. Напряженность и индукция поля
точечного заряда.

II. 2-я (электростатическая) теорема Остроградского-Гаусса.

III. 4-е уравнение Максвелла как обобщение закона Кулона.

1. Закон Кулона - закон взаимодействия неподвижных точечных зарядов.

Точечный заряд - это абстракция. Точечным зарядом можно считать заряд тела, размерами которого можно пренебречь или, например, размеры взаимодействующих заряженных тел достаточно малы по сравнению с расстоянием между ними.

Рассмотрим два точечных заряда и , находящихся на расстоянии (рис. 3).

рис 3. Два точечных заряда.

Сила, действующая на , по закону Кулона равна:

- коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.
В СИ: , где - диэлектрическая проницаемость вакуума.

В гауссовой системе . В дальнейшем используется гауссова система единиц – для преемственности с другими разделами теоретической физики.
Тогда закон кулона записывается так:

(1.1)

Формула 1.1 показывает, что может происходить как притяжение, если и разноименные заряды, так и отталкивание, если и - одноименные.

Закон Кулона соответствует концепции дальнодействия, так как сила, действующая на , имеет причину - заряд , находящийся от на расстоянии .

Наша "сверхзадача" - перейти к такой форме, которая связывала бы причину
и следствие в одной точке пространства. Для этого вводим понятие поля.
Сначала определим вектор напряженности поля заряда в точке 2, где
находится заряд :

Эта формула не совсем удобна, так как имеет разное значение в разных средах (зависит от ). Введем вектор электрической индукции поля
заряда , равный:

Проведем обобщение этой формулы:

1) сначала отвлечемся от точки 2 и напишем формулу для любой точки поля: ,

2) затем напишем для любого заряда , создающего поле:

(1.2)

 

Формула (1.2) означает, что поле вектора обладает сферической
симметрией. (Рис.4, а и б).

а)

б)

Рис 4. Силовые линии точечного заряда: а) положительный заряд, б) отрицательный заряд.

 

Это хорошо известные "школьные" картинки. Они показывают, что силовые линии могут выходить (" вытекать") из заряда - случай a), могут входить (" втекать") в заряд - случай б). Что является дифференциальной причиной такого "истока" и "стока" в данной точке поля, нам и предстоит выяснить. Но сначала докажем интегральную теорему для потока вектора электрической индукции, это и есть 2-я (электростатическая) теорема Остроградского-Гаусса.

II. 2-я (электростатическая) теорема Остроградского-Гаусса

Необходимо вычислить поток вектора электрической индукции через
произвольную замкнутую поверхность в случае произвольного распределения заряда, т.е. . Вычисление проведем в несколько этапов, постепенно обобщая результаты.

I. Сначала вычислим элементарный поток вектора электрической индукции т.е. поток вектора через элементарную площадку отстоящую от точечного заряда на расстоянии .

Для определенности пусть заряд - положительный. Тогда (см. рис. 5)

Рис.5

где - элементарная площадка, перпендикулярная радиусу-вектору и равная .

Подставляем вместо его значение для точечного заряда, т.е. и получаем, что поток равен , где - элемент телесного угла, под которым из точки, где расположен заряд , видны поверхности и . При этом равен

(1.3).

Обратите внимание на эту формулу. Она показывает, что может
иметь разные знаки, а именно:

(1.4а)

(1.4б)

Учитывая (1.3) получаем для потока выражение:

(1.5)

2. Вычислим поток вектора электрической индукции через произвольную
замкнутую поверхность от одного точечного заряда. Для этого используем только что доказанный результат. Рассмотрим два случая:

а) Заряд находится внутри замкнутой поверхности S. Тогда согласно рис. 6:

поскольку полный телесный угол, под которым изнутри видна замкнутая поверхность, равен .

рис 6.

Итак, в этом случае поток равен

(1.6)

б) Заряд находится вне замкнутой поверхности S. Тогда поток

Рассмотрим два элемента поверхности и , которые из точки, где расположен заряд, видны под одним и тем же по величине телесным углом (рис.7).

рис 7.

Однако площадка видна под положительным телесным углом , потому что нормаль образует острый угол с радиусом-вектором. Площадка видна под отрицательным телесным углом , так как нормаль образует тупой угол с радиусом-вектором. В сумме же эти два телесных угла компенсируют друг друга, т.е. . В итоге . Тогда поток будет равен

(1.7)

Рассматривая совместно (1.6) и (1.7), запишем:

(1.8)

 

Итак, для одного точечного заряда теорема доказана.

3. Пусть имеется система точечных зарядов . Вычислим
поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую, поверхность для системы точечных зарядов. Согласно принципу суперпозиции каждый заряд независимо от других создает свою и соответственно свой поток через поверхность . Но учитывать надо только заряды, находящиеся внутри поверхности согласно (1.8), так как заряды, находящиеся вне поверхности вклада в поток не дадут. Тогда каждый заряд, находящийся внутри поверхности дает поток:

, …,

.

Просуммируем эти потоки:

где и , .

Тогда поток равен:

(1.9)

Формально получен такой же результат, что и в (1.6), но он применим,
для более общего случая.

4. Рассмотрим непрерывное распределение заряда по объему V,
ограниченному поверхностью . Характеристикой такого распределения
является объемная плотность электрического заряда , определяемая
следующим образом:

(1.10)

При этом элемент объема имеет заряд , заряд же всего
объема вычисляется , где в общем случае может зависеть как от координат, так и от времени, т.е. .

Разбиваем мысленно объем V на элементарные объемы такие, что заряд объема можно было бы считать точечным. Тогда этот заряд равен . Согласно доказанной ранее теореме каждый такой точечный заряд создает свой поток, равный:

Здесь - вектор электрической индукции, создаваемой зарядом . Для этих зарядов так же выполняется принцип суперпозиции. Просуммируем все потоки от зарядов и перейдем к пределу суммы:

(1.11)

Рассмотрим по отдельности каждое выражение, вспоминая, что предел
такой суммы - соответствующий интеграл:

,

. (1.12)

Тогда вместо (1.11) на основании равенств (1.12) получаем, что

(1.13)

Итак, в случае произвольного распределения заряда (см. (1.9), (1.13)) поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность равен , где - заряд, находящийся внутри поверхности . Если внутри данной поверхности нет зарядов, то поток равен нулю. Это и есть 2-я теорема Остроградского-Гаусса. Она позволяет достаточно просто вычислять значение вектора для ряда случаев, т.е. решать конкретные задачи.

III. Переходим к нахождению 4-го уравнения Максвелла. Для этого рассмотрим совместно две интегральные теоремы - I-ю и 2-ю теоремы Остроградского-Гаусса. По 1-й теореме (из векторного анализа) запишем для потока любого вектора :

.

Для потока вектора получаем, полагая :

(1.14)

По 2-й теореме для потока вектора .

Будем считать, что заряд распределен по объему с плотностью .
Тогда для потока вектора можно записать:

(1.15)

В левой части (1.14) и (1.15) поток вектора , следовательно, можно
приравнять и правые части:

.

Для элемента объема получаем:

, ,

откуда следует, что

(1.16)

Это и есть искомое четвертое уравнение Максвелла.

Выясним его физический смысл. В теоретической физике уравнения записываются следующим образом: в правой части – причина, в левой – следствие. Согласно (1.16) в левой части стоит . Как известно из векторного анализа дивергенция характеризует источник поля данного вектора. Нас интересует, что является причиной образования источника поля в данной точке. Ответ в правой части уравнения (1.16) - причиной является объемная плотность заряда в этой же самой точке поля.

Итак, причиной источника поля является объемная плотность заряда в этой же самой точке. При этом возможны три случая:

1) если (положительные заряды), то - это означает, что в данной точке "исток" ("начало" силовых линий );

2) если (отрицательные заряды), то - это означает "сток" (конец силовых линий );

3) если , то , но - это означает, что линии идут непрерывно:

4-е уравнение Максвелла является обобщением закона Кулона.
1 закон Кулона соответствует концепции дальнодействия, как это уже
отмечалось, потому что причина – заряд и следствие - сила, действующая на заряд , находятся в разных точках пространства.

4-е уравнение Максвелла соответствует концепции близкодействия, так как
причина - объемная плотность заряда и следствие - связаны
в одной и той же точке. Таким образом, 4-е уравнение Максвелла описывает любую точку поля, даже такую, в которой отсутствует заряд (см. случай 3).

2 закон Кулона - закон взаимодействия точечных зарядов. 4-е уравнение
Максвелла применимо для любого распределения зарядов и даже тогда, когда .

3 закон Кулона - это закон электростатики. Так взаимодействуют неподвижные заряды.

4-е уравнение Максвелла - уравнение электродинамики. Оно применимо и в
случае .