Граничные условия для нормальных и касательных составляющих векторов электромагнитного поля

План:

I. Необходимость граничных условий. Переходный слой.

II. Граничные условия для нормальных составляющих векторов электромагнитного поля.

III. Граничные условия для касательных составляющих векторов электромагнитного поля.

I. Граничные условия в электродинамике играют двоякую роль:
1) это дополнительные условия, так как при интегрировании уравнений Максвелла появляются произвольные постоянные интегрирования и введение дополнительных условий позволяет их определить для конкретного случая.

Аналогичная ситуация имеется и в классической механике. Вспомните, например, движение тела под действием силы тяжести. В зависимости от
дополнительных условий, а в механике, как правило, это начальные значения положения и скорости тела, получается различное по характеру движение.
2) это условия, позволяющие ограничивать область пространства, в которой рассматривается данное поле.

В электродинамике существует проблема - на границе между двумя средами может происходить скачок характеристик среды . Это может
приводить к тому, что векторы поля на границе терпят разрыв. Чтобы обойти эту трудность сначала вместо границы выбирают переходный слой. В переходном слое характеристики среды меняются непрерывно от значений
, до . Проведя необходимые преобразования, для перехода к границе высоту (толщину) переходного слоя устремляют к нулю и получают граничные условия.

В электродинамике используются два типа граничных условий - для нормальных составляющих, т.е. для проекций векторов на нормаль к поверхности, и для касательных составляющих, т.е. для проекций на касательное
направление При этом вектор нормали направлен в сторону перехода
от 1-й среды ко 2-й (рис. 13).

Рис. 13. Векторы и к поверхности раздела

2 а) Граничные условия для нормальных составляющих вектора электрической индукции.

Выберем в переходном слое цилиндр, частично заходящий в первую и вторую среды. Основания цилиндра и равны - поверхности на границе в окрестности точки А. (Рис. 14).

Рис. 14 Цилиндр в переходном слое

Нормали и и общая нормаль на границе указаны на рисунке 14.
Для любой точки поля внутри цилиндра записываем 4-е уравнение Максвелла:

Интегрируем уравнение по объему цилиндра:

По 1-й теореме Остроградского-Гаусса получаем:

при этом , где - заряд, находящийся внутри цилиндра.

Тогда

(1.65)

Запишем подробно:

Пусть и выбраны достаточно малыми, такими, чтобы на каждое из этих поверхностей значение было постоянно. Тогда

.

На боковой поверхности значение как раз и меняется. Однако по теореме
о среднем можно преобразовать:

Рассмотрим проекции: , но поскольку и направлены противоположно, то

Для получаем, учитывая, что и направлены в одну строну,

.

Тогда

подставим в (1.65) и получим:

(1.66)

Теперь переходим к границе, это значит, что , , , . Тогда получим:

.

Разделим на и введем , где - поверхностная плотность зарядов. Тогда окончательно получим:

(1.67)

Это и есть искомое граничное условие. Оно означает, что при переходе через границу двух сред нормальная составляющая вектора электрической индукции меняется скачком, если граница заряжена с поверхностной плотностью . Величина скачка равна: и определяется только значением плотности зарядов на поверхности раздела двух сред и не зависит от свойств этих сред.

Если граница не заряжена с поверхностной плотностью, т.е. , то скачка нет и нормальная составляющая непрерывна:

(1.68)

Задание №1. Написать граничные условия для нормальных составляющих вектора электрической напряженности, используя условие (1.67), уравнение
связи и предполагая, что .

2 б) Граничное условие для нормальных составляющих вектора магнитной
индукции.

Для получения этого условия можно использовать рисунок 14. Затем, полагая, что во всех точках поля внутри цилиндра выполняется 3-е уравнение Максвелла , проводим аналогичные преобразования и получаем:

(1.69)

Условие (1.69) означает, что нормальная составляющая вектора магнитной
индукции всегда непрерывна, т.е. .

Задание № 2. Написать граничные условия для нормальных составляющих вектора магнитной напряженности, используя условие (1.69), уравнение связи
и полагая, что .

3 а) Граничные условия для касательных составляющих вектора магнитной
напряженности.

Выберем в переходном слое рамку со сторонами , причем и равны , векторы и направлены так, как показано на рис. 15.

Рис.15. Рамка в переходном слое.

Для любой точки поля внутри рамки записываем 1-е уравнение Максвелла и проектируем его на нормаль к поверхности рамки:

,

Интегрируем по площади поверхности рамки и получаем:

(1.70)

По теореме Стокса преобразуем:

Затем разбиваем интеграл по замкнутому контуру рамки на интегралы по ее сторонам:

Считая и достаточно малыми, получаем:

,

Рассмотрим

,

при этом учтено, что векторы и направлены противоположно. Тогда:

.

Аналогично, учитывая, что и параллельны, получим:

По теореме о среднем преобразуем:

В правой части

,

где – это сила тока, текущего через площадь рамки.

По теореме о среднем преобразуем:

.

Тогда вместо (1.70) после всех преобразований получаем:

.

При переходе к границе , , , , остается:

Разделим на и вводим , где - линейная плотность поверхностного тока. Окончательно получаем:

(1.71)

Это и есть искомое граничное условие для касательных составляющих .

(1.71) означает, что если по границе раздела течет поверхностный ток
линейной плотностью, то касательная составляющая меняется скачком,
т.е. . Величина скачка определяется только значением плотности , т.е. .

Если по границе раздела поверхностный ток не течет, то скачка нет, касательная составляющая непрерывна, т.е. .

Это всегда имеет место на границе двух диэлектриков, на границе диэлектрик-вакуум.

Задание № 3. Написать граничные условия для касательных составляющих
вектора магнитной индукции , используя (1.71) и уравнение связи , предполагая, что .

3. б) Граничное условие для касательной составляющей вектора электрической напряженности .

Используя рис.15 и 2-е уравнение Максвелла , проводя аналогичные преобразования 3. а), получаем:

(1.72)

Условие (1.72) означает, что касательная составляющая всегда непрерывна, скачка нет, т.е. .

Задание № 4. Написать граничные условия для касательных составляющих,
используя условие (1.72) уравнение связи и полагая .

Задание № 5. После выполнения заданий 1 - 4 составить таблицу всех
граничных условий для нормальных и касательных составляющих векторов .