Основные свойства поля. Скалярный потенциал, его связь с работой.

Уравнение означает, что электростатическое поле безвихревое, имеет незамкнутые силовые линии, связано с зарядами. Силовые линии начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных.

Основные свойства поля обусловлены его безвихревым характером. Рассмотрим эти свойства.

1) Вычислим работу по перемещению заряда по замкнутому контуру, используя уравнение (2.1) и теорему Стокса:

Итак, работа по замкнутому контуру равна нулю:

2) Покажем, что работа, совершаемая по перемещению заряда между двумя точками поля, не зависит от формы пути. На рисунке 16 это точки и D. Указаны два разных пути – через точку K и через точку M.

Требуется доказать, что работа в этом случае одинакова:

 

Рис. 16 Замкнутый путь

Докажем это свойство, используя только что доказанное №1.

Согласно свойству 1 работа по замкнутому контуру Ее можно разбить на работу из точки через в точку и из точки через точку в :

Отсюда

Но работа

т.к. (см. рис. 16)

А это работа

следовательно

Рассматривая совместно (2.4) и (2.5) получаем

что и требовалось доказать.

Итак, работа, совершаемая по перемещению заряда между двумя точками поля, не зависит от формы пути. Необходимо выяснить, от чего, от какой величины она зависит.

3) Сначала снова используем уравнение и тождество векторного
анализа . Уравнение (2.1) удовлетворяется, как видим,
если положить:

Выберем знак. Для положительного точечного заряда согласно определениям
вектора и градиента скаляра имеем в точке М (см. Рис.17)

Рис. 17

Поэтому в дальнейшем е электродинамике всегда полагают:

(2.6)

Это основная формула, связывающая вектор и скаляр . Необходимо выяснить, что собой представляет введенный таким образом скаляр

4) Для этого найдем элементарную работу, т.е. работу, совершаемую по перемещению единичного положительного заряда на бесконечно малом пути

при этом использовались выражения для и в декартовых
координатах.

Итак,

(2.7)

Формула (2.7) означает, что в безвихревом поле элементарная работа
по перемещению единичного положительного заряда – есть полный дифференциал введенного нами скаляра

5) Найдем, наконец, работу между двумя точками поля, например, точками 1 и 2:

Итак,

(2.8)

Согласно (2.8) работа зависит от разности значений скаляра в начале
и конце пути. Следствия 4) и 5) показывают, что скаляр характеризует
способность поля совершать работу. Поэтому называется скалярным потенциалом поля или просто потенциалом.

В некоторых случаях, если в бесконечности , можно получить
простое определение потенциала. Пусть в формуле (2.8) вторая точка находится в бесконечности. Тогда откуда

Если , то

(2.9)

Это означает, что потенциал можно определить как работу, совершаемую
полем по перемещению единичного положительного заряда из данной точки
в бесконечность. Подчеркнем, что такое определение возможно лишь в предположении, что в бесконечности . Реально это соответствует случаям,
когда заряженные объекты занимают конечную область пространства. В этом
случае потенциал с увеличением расстояния убывает и можно положить,
что в бесконечности он обращается в нуль.

 

§10. Дифференциальные уравнения для потенциала, их общие решения.
Нормировка потенциала. Решение 2-й задачи.

 

Найдем дифференциальные уравнения для потенциала. Для этого запишем
4-е уравнение Максвелла и уравнение связи:

Используем тождество векторного анализа

при этом полагая

Тогда

Подставим вместо из (2.6) выражение для

Согласно векторному анализу

Тогда

С учетом этих преобразований вместо 4-го уравнения Максвелла получаем уравнение для :

Или разделив обе части уравнения на , получим:

Это дифференциальное уравнение для в неоднородной среде. Стандартного решения оно не имеет.

Для однородной среды . Тогда вместо уравнения (2.10)
получаем:

Это уравнение Пуассона для потенциала .

Если , то получается уравнение Лапласа:

Уравнение Лапласа – однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка
в частных производных. Оно описывает потенциал поля вне заряженного
тела в однородной среде. Общее решение уравнения:

Постоянную интегрирования можно выбрать в виде где – заряд тела (см. Приложение III). Тогда:

Постоянную определим из условия нормировки. Нормировка потенциала – процедура придания однозначности потенциалу. Иначе говоря, выбор определенного значения , так как согласно (2.13) и (2.14) определяется неоднозначно.

Как видно из решений (2.13) и (2.14), убывает с ростом . Вполне

разумно потребовать, чтобы в бесконечности обращался в нуль;
если , то . Тогда для бесконечности имеем:

 

откуда .

После нормировки общее решение запишется так:

Формально оно совпадает с потенциалом поля точечного заряда, известного
из курса общей физики.

Решение уравнения Пуассона найдем не строго, чисто качественно.
Для этого разбиваем весь объем , заряженный с объемной плотностью на элементарные объемы Причем имеет заряд такой, чтобы его можно было считать точечным.

Рис. 18 Объем

Тогда можно применить полученное решение (2.15) для :

Потенциал от всех элементов объема находим по принципу суперпозции:

Итак,

Это и есть искомое решение уравнения Пуассона, строго оно получается в курсе "методы математической физики".

Решения (2.15) и (2.16) отличаются при . В самом деле, согласно (2.15) при . Это означает, что применять решение (2.15) при нельзя, нарушается требование точечности заряда.

Решение (2.16) не расходится при . Рассмотрим решение для :

Если не уменьшается с уменьшением . при этом может обращаться в нуль, либо быть постоянным. Так что (2.16) является более общим решением.

В электродинамике дискутируется проблема, обусловленная неоднозначностью потенциала, существует две точки зрения:

1) неоднозначен и поэтому является вспомогательной функцией, никакого

физического смысла не имеет.

2) неоднозначен, но можно придать ему однозначность и физический смысл

Автор придерживается второй точки зрения.

Отметим, что неоднозначность потенциала не влияет на значение напряженности и работы. В самом деле:

,

т.к.

Аналогично для работы находим:

Напряженность и работа имеют одно вполне определенное значение.

К этой проблеме мы будем возвращаться скова в последующих главах.

Теперь учтем все возможные случаи распределения заряда и запишем потенциал:

Тогда электрическая напряженность равна:

Это и есть решение 2-й задачи электростатики в общем виде.

 

§ 11. Разложение потенциала системы зарядов на больших расстояниях,