Е уравнение Максвелла как обобщение закона Био-Савара-Лапласа. Уравнение непрерывности. Ток смешения.

План

I. 1-е уравнение Максвелла, как обобщение закона Био-Савара-Лапласа для постоянного тока.

II. Уравнение непрерывности - дифференциальная форма закона сохранения электрического заряда.

III. Гипотеза Максвелла о токе смещения. 1-е уравнение Максвелла для переменного тока.

I. Согласно закону Био-Савара-Лапласа магнитная напряженность бесконечного прямого проводника, по которому течет постоянный ток, равна:

,

где - в СИ, - в гауссовой системе.

На рис. 10 изображены силовые линии и вектор в некоторых точках.

Рис. 10. Циркуляция вдоль силовых линий.

Видно, что вектор циркулирует вдоль силовых линий. Запишем значение в гауссовой системе единиц:

(1.29)

Формула (1.29) показывает, что причина - сила тока и следствие - магнитная напряженность разделены расстоянием (радиус силовой линии), что соответствует концепции дальнодействия. Необходимо написать такое уравнение, в котором причина и следствие находились бы в одной точке.

Но сначала перейдем к интегральной форме. Для этого умножим (1.29) слева и справа на - длину окружности, т.е. длину силовой линии радиуса . Тогда получим:

или

(1.30)

Покажем, что левая и правая части теперь имеют интегральную форму. Вычислим циркуляцию вдоль силовой линии радиуса , т.е.

Выберем , совпадающим по направлению с , затем используем постоянство по величине на данной силовой линии и получаем:

Итак,

(1.31)

Теперь нам надо показать, что тоже есть некоторый интеграл. Для этого
введем известное из курса общей физики понятие вектора плотности тока проводимости .

Рис. 11. Вектор

Для случая произвольно ориентированной площадки проводника, через которую протекает ток , получаем:

Тогда

и сила тока равна:

(1.32)

Подставляем полученные интегральные выражения (1.31) и (1.32) вместо (1.30) и получаем:

(1.33)

Используем теорему Стокса для :

(1.34)

Совместное рассмотрение (1.33) и (1.34) позволяет записать:

Для элемента поверхности , следовательно, выполняете равенство:

Поскольку , то можно написать:

Но элемент поверхности выбран произвольно, поэтому равенство выполняется и для векторов:

(1.35)

Это искомое 1-е уравнение Максвелла для постоянного тока. Возникает вопрос, применимо ли оно и для описания поля переменного тока?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо ввести некоторый критерий, конечно, в дифференциальной форме, позволяющий отделять случай постоянного тока от случая переменного тока. Для этого сделаем отступление и рассмотрим закон сохранения электрического заряда.

II. Пусть в некотором объеме V находится заряд . За счет чего может происходить изменение заряда ? Только за счет втекания или вытекания зарядов через поверхность , ограничивающую объем V (см. Рис.12), т.е. за счет силы тока или иначе, потока вектора плотности тока через .

Рис. 12. Заряд в объеме V.

Других способов изменения заряда нет в природе. Это фундаментальный закон природы.

Закон можно записать в интегральной форме:

(1.36)

Рассмотрим три разных случая:

1) Пусть - это означает, что заряды вытекают из объема V. Согласно (1.36) , т.е. заряд убывает, что логично.

2) Если , т.е. заряды втекают в объем V через поверхность , то согласно (1.36) Это значит, что заряд увеличивается.

3) Если , то и - заряд сохранится. Значит в исходном уравнении (1.36) знаки выбраны правильно.

Теперь переходим к дифференциальной форме закона. Пусть заряд распределен по объему с плотностью . Тогда заряд представим так:

Находим

При этом сделано предположение, что объем не меняется, а все изменение заряда происходит за счет изменения объемной плотности. С учетом полученного выражения вместо (1.36) запишем:

(1.37)

Применим 1-ю теорему Остроградского-Гаусса к вектору :

(1.38)

и подставим правую часть (l.38) в (1.37):

(1.39)

Для элемента объема справедливо равенство:

Так как , то получаем:

(1.40)

Это и есть искомое дифференциальное уравнение, которое называется уравнением непрерывности.

Рассмотрим возможные частные случаи.

1) Если , то – т.е. плотность заряда в данной точке убывает, если ток вытекает.

2) Если , то - т.е. плотность заряда в данной точке увеличивается, если ток втекает.

3) Если при , то и – ток течет, но плотность заряда не меняется.

Случаи 1 и 2 - это случаи переменного тока. При этом

(1.41)

Случай 3 - случай постоянного тока. При этом

(1.42)

Итак, получены критерии, позволяющие отделить случай переменного тока
от постоянного тока, это условия (1.41) и (1.42).

III. Проверим, удовлетворяет ли уравнение (1.35) требованиям уравнения﷑непрерывности. Для этого образуем дивергенцию от уравнения (1.35):

Согласно тождеству векторного анализа получаем, что
и, следовательно, .

Это означает, что уравнение (1.35) удовлетворяет уравнению непрерывности только для постоянного тока. Для переменного тока, как мы получили ранее, , но уравнение (1.35) этого не дает. Возникает противоречие между фундаментальным законом (уравнение непрерывности) и частным уравнением (1.35).

Максвелл разрешил это противоречие следующим образом. Он предположил, что в случае переменного тока в уравнение (1.35) надо к вектору добавить еще некоторый вектор, который он назвал вектором плотности тока смещения, т.е. . Иначе, вместо (1.35) надо записать:

(1.43)

Выясним, как этот дополнительный вектор устраняет противоречие, т.е. согласует уравнение (1.43) с требованиями уравнения непрерывности (1.41)
и (1.42).

Для этого снова образуем дивергенцию от обеих частей уравнения (1.43):

.

Но , следовательно , . Иначе:

(1.44)

Теперь имеются две возможности

1) Если , то - удовлетворяется случай постоянного тока.

2) Если , то - удовлетворяется случай переменного тока.

Это означает, что противоречие с уравнением непрерывности устраняется. Остается найти явный вид . Для этого используем уравнение непрерывности (1.40) и соотношение (1.44). Тогда получаем:

Выразим из 4-го уравнения Максвелла: и подставим в предыдущую формулу:

(1. 45)

Докажем следующее важное свойство для любого вектора :

В самом деле,

.

Это означает, что операторы и коммутируют, т.е. их можно переставлять. Аналогично доказывается, что

(1.46)

(1.47)

Используя (1.46) для вектора , можно (1.45) переписать так:

.

Максвелл предположил, что искомый вектор равен:

(1.49)

Подставив (1.49) в уравнение (1.43), получаем:

(1.50)

 

Это и есть искомое 1-е уравнение Максвелла.

Физический смысл уравнения (1.50): в природе существуют две причины возбуждения вихря магнитной напряженности - это плотность тока проводимости и плотность тока смещения . Ток проводимости обусловлен движением свободных заряженных частиц, а ток смещения есть скорость изменения вектора электрической индукции в данной точке поля. Иначе - магнитное вихревое поле в данной точке создается плотностью тока проводимости и скоростью изменения вектора электрической индукции. Магнитное поле вихревое, имеет замкнутые силовые линии.

1-е уравнение Максвелла есть обобщение закона Био-Савара-Лапласа.
1) Закон Био-Савара-Лапласа соответствует концепции дальнодействия,
так как причина - сила тока и следствие - магнитная напряженность
находятся в разных точках.

1-е уравнение Максвелла соответствует концепции близкодействия,
так как две причины - плотность тока проводимости и скорость изменения
вектора электрической индукции находятся в той же самой точке поля,
что и вихрь магнитной напряженности -

2) Закон Био-Савара-Лапласа - закон постоянного тока.

1-е уравнение Максвелла обобщено и на случай переменного тока.
3) В вакууме, где нет проводящего тока вещества, закон Био-Савара-Лапласа
при никакую дать не может.

1-е уравнение Максвелла в вакууме (при , ) имеет вид:

(1.51)

Уравнение (1.51) показывает, что вихревое магнитное поле создается переменным электрическим полем. Это свойство самого электромагнитного поля,
как и явление электромагнитной индукции. Отсюда - исключительное значение
гипотезы Максвелла о токе смещения. Отметим лишь в общих чертах некоторые моменты.

1. С введением плотности тока смещения в виде (1.49) в уравнениях электродинамики появляется симметрия, отражающая симметрию свойств поля, что особенно хорошо видно на уравнениях для вакуума:

- теоретическое предсказание Максвелла,

- открытое Фарадеем явление электромагнитной индукции и его обобщение Максвеллом.

2. Гипотеза о токе смешения "примирила" систему уравнений Максвелла
с основными законами сохранения в электродинамике: с законом сохранения
электрического заряда, с законом сохранения и превращения энергии электромагнитного поля, с законом сохранения импульса поля и вещества.

3. Гипотеза о токе смещения привела к тому, что, как выяснилось в начале
XX века, система уравнений Максвелла полностью соответствует требованиям
специальной теории относительности (см. Глава VIII).

4. Гипотеза о токе смещения оказалась очень плодотворной. Например, она
позволила Максвеллу предсказать теоретически существование электромагнитных волн в природе.

Необходимо отметить, что плотность тока проводимости и плотность
тока смешения имеют различную природу, но вызывают одинаковое магнитное действие - вихрь магнитной напряженности -

§ 5. Система уравнений Максвелла

Запишем систему уравнений Максвелла для среды, причем в левом столбце в СИ, в правом - в гауссовой системе единиц:

СИ	Гаусс
Три уравнения связи

 

Запись уравнений в разных системах единиц, как это и должно быть, не
изменяет их физического смысла. Последние три уравнения (для ) называются уравнениями связи и имеют некоторые ограничения, которые мы рассмотрим подробно в Главе V I.

Отметим формальные свойства уравнений:

1) Система уравнений Максвелла - это система дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных, что соответствует концепции
близкодействия.

2) Уравнения Максвелла – линейные, что соответствует принципу суперпозиции.

3) Уравнения Максвелла симметричны, что отражает свойства поля, и асимметричны, что отражает свойства вещества.

4) Уравнений Максвелла в данной форме четыре. Как известно из векторного
анализа, для характеристики поля вектора необходимо знать и
. Но поскольку поле - электромагнитное, то в уравнении поля должно быть две дивергенции ( и ) и два ротоpa ( и ). Для описания поля к системе уравнений Максвелла необходимо добавить три основных закона сохранения (см.§ 4) и граничные условия.

§ 6. Закон сохранения и превращения энергии электромагнитного поля. Теорема Умова-Пойнтинга.

В 1874 г. русский физик Умов защитил докторскую диссертацию на тему:
«Уравнения движения энергии в телах». В 1884 г. английский физик Пойнтинг опубликовал работу «О переносе энергии в электромагнитном поле».

В дифференциальной форме уравнение Умова имеет вид:

- сравните с уравнением непрерывности!

Где - объемная плотность данного вида энергии, - вектор Умова - вектор плотности потока этой энергии.

В интегральной форме теорема Умова может быть записана в вид:

(1.52)

Уравнение (1.52) означает, что изменение данного вида энергии в объеме V может происходить за счет превращения в другой вид энергии с выделением
тепла и за счет втекания или вытекания, т.е. потока данного вида
энергии через поверхность . Знаки выбраны так же, как и в (1.36)
(см. § 4), чтобы правильно описывать физический процесс.

Докажем теорему Умова для электромагнитного поля и выясним вид и для поля. Для этого сначала запишем согласно теореме Умова количество тепла, выделившегося в объеме V:

(1.53)

Перейдем теперь к доказательству теоремы для электромагнитного поля. Пусть в объеме V, содержащем поле и вещество, под действием поля выделилось некоторое количество тепла в единицу времени:

(1.54)

где - дифференциальная форма закона Джоуля-Ленца, известная из курса общей физики.

Наша "сверхзадача" - преобразовать (1.54) так, чтобы можно было сравнить с (1.53).

Рассмотрим по этапам эти преобразования

1) Выразим из 1-го уравнения Максвелла:

(1.55)

2) Подставим (1.55) в (1.54), сразу разбивая на два интеграла:

(1.56)

3) Используем тождество векторного анализа:

Пусть , тогда:

.

Отсюда

.

Заменим из 2-го уравнения Максвелла на и получим

(1.57)

Это, как видно, преобразование для подинтегрального выражения в первом интеграле (1.56).

4) Подставим (1.57) в (1.56), сразу объединяя похожие члены с и в один интеграл:

(1.58)

5) В первом интеграле (1.58):

(1.59)

Докажем это. Рассмотрим правую часть и покажем, что получится левая:

где использованы , , что и требовалось доказать.

6) Подставим (1.59) в первый интеграл (1.58) и получим:

(1.60)

7) Преобразуем снова первый интеграл. Считая объем V фиксированным, выносим из-под знака интеграла:

8) Преобразуем второй интеграл, используя 1-ю теорему Остроградского-Гаусса:

9) Подставим эти преобразованные интегралы в (1.60) и получим окончательно

(1.61)

Сравниваем (1.61) с (1.53) и даем интерпретацию и для электромагнитного поля согласно (1.61):

(1.62)

(1.63)

где формула (1.62) - формула для энергии электромагнитного поля,
(1.63) - формула для вектора плотности потока электромагнитной энергии, называемая вектором Умова-Пойнтинга.

Подведем итоги:

1. Доказана теорема Умова-Пойнтинга, т.е. выполнение закона сохранения
и превращения энергии для электромагнитного поля.

2. Получены в явном виде формулы для энергии и вектора плотности потока
энергии электромагнитного поля.

Обсудим подробнее эти формулы.

1) Энергия электромагнитного поля:

.

Эта формула означает, что энергия поля распределена (иногда говорят
"размазана") по всему объему, занятому полем, с объемной плотностью:

(1.64)

Объемная плотность электромагнитной энергии , но всегда энергия
всего поля - положительна. При этом энергия поля и плотность энергии разделяется на электрическую и магнитную . Энергия не аддитивна, так как есть еще энергия взаимодействия.

 

Например, для двух полей плотность энергии

.

Покажем это. Пусть в некоторой точке согласно принципу суперпозиции

Найдем

Тогда

где - энергия взаимодействия, причем энергия взаимодействия может быть положительна, отрицательна или равна нулю, но не превышает энергии поля. Покажем это. Рассмотрим или или , что соответствует

.

Это же свойство имеется и для магнитной энергии.

2) Вектор плотности потока электромагнитной энергии - вектор Умова-
Пойнтинга означает, что энергия электромагнитного поля распространяется в пространстве. Материальным носителем энергии является электромагнитное поле. Вся жизнь на Земле обязана энергии Солнца, а доставляется она на Землю электромагнитными волнами!

П. Л. Капица в статье "Энергия и физика" (см. книгу "Эксперимент, теория, практика") отмечал большое значение теоремы Умова-Пойнтинга в связи с предлагаемыми проектами получения электромагнитной энергии. Незнание теоремы Умова-Пойнтинга превращало некоторые предлагаемые проекты в "прожекты", технически неосуществимые в масштабах страны.