E уравнение Максвелла как обобщение закона электромагнитной индукции

Явление электромагнитной индукции было открыто Фарадеем в 1832 году.
Оно заключается в следующем: при любом изменении магнитного потока, пронизывающего произвольную поверхность , опирающуюся на замкнутый проводящий контур , в контуре возникает индукционный ток. (Рис. 8)

 

Рис. 8. Поток вектора через поверхность .

 

 

Закон электромагнитной индукции с учетом правила Ленца имеет вид:

(1.20)

где - эдс индукции, - магнитный поток, - электродинамическая
постоянная в гауссовой системе.

При этом эдс индукции возникает (наводится) в контуре , а магнитный поток меняется через поверхность , и необязательно через всю поверхность. Может, как показывают многочисленные эксперименты, даже через некоторые участки поверхности. Впечатляющие опыты, в которых участвуют простые школьные приборы (демонстрационный гальванометр, катушка индуктивности и постоянный магнит) сейчас доступны для наблюдения явления на уроках в школе.

Закон (1.20) имеет интегральную форму, что мы сейчас и покажем, а
уж затем перейдем к дифференциальной форме.

Рассмотрим левую часть (1.20). По определению эдс - это работа, совершаемая по перемещению единичного положительного заряда вдоль замкнутого контура под действием некоторой электрическое напряженности, в данном случае наведенной, т.е. индуцированной напряженности . Тогда можно записать:

Итак, получили, что:

(1.21)

Теперь переходим к правой части (1.20). Используем определение магнитного потока:

находим

_.

При этом, считая поверхность фиксированной, предполагаем, что изменение магнитного потока происходит за счет изменения магнитной индукции . Тогда производную можно внести под знак интеграла. Итак, получаем:

(1.22)

Подставляем найденные выражения в (1.20)

(1.23)

Используем теорему Стокса:

Применяем теорему Стокса, полагая _, Тогда:

(1.24)

Рассматривая совместно (1.23) и (1.24), получаем:

Для элемента поверхности выполняется равенство:

Но так как , то

(1.25)

Мы получили пока соотношение для проекции на нормаль некоторых векторов. Но поскольку элемент поверхности выбран произвольно, нормаль ориентировано в пространстве соответственно произвольно (см. рис.8), то из равенства нормальных составляющих векторов следует равенство векторов:

(1.26)

Это и есть искомое 2-е уравнение Максвелла.

Физический смысл 2-го уравнения Максвелла: вихрь электрической напряженности в некоторой точке создается изменением вектора магнитной индукции в той же самой точке. Иначе говоря, переменным магнитным полем порождается вихревое электрическое поле. Вихревое поле имеет замкнутые силовые линии. Если в какой-то точке и направлено вверх (см. рис 9), то направлен вниз. В окрестности этой точки происходит циркуляция вектора в плоскости, перпендикулярной .

Рис 9. Связь и .

2-е уравнение Максвелла показывает, что Фарадей открыл новое по качеству электрическое поле - вихревое, и новый способ создания электрического
поля - с помощью переменного магнитного поля!

Но как будет показано в главе II, электрическое поле может быть и безвихревым, т.е. . Силовые линии такого поля незамкнуты, связаны с электрическими зарядами.

2-е уравнение Максвелла является обобщением закона электромагнитной индукции:

1) Закон электромагнитной индукции соответствует концепции дальнодействия. В самом деле, как, мы уже отмечали, изменение магнитного поля может происходить в какой-то одной части поверхности S, а
индукционный ток возникает вдоль контура . Это означает, что причина
- изменение магнитного потока и следствие - ток в контуре разделены в
пространстве.

2-е уравнение Максвелла соответствует концепции близкодействия, так
как причина - скорость изменения вектора и следствие - вихрь электрической напряженности связаны в одной и той же точке поля. При этом, как мы покажем в следующих пунктах, 2-е уравнение Максвелла описывает любую точку поля.

2) Максвелл раскрыл сущность явления электромагнитной индукции - возникновение вихревого электрического поля при изменении магнитного поля,
это означает, что явление электромагнитной индукции есть объективное
свойство электромагнитного поля.

3) Проводящий контур играет второстепенную роль - роль индикатора, позволяющего обнаружить явление. Но само явление может происходить и без
контура. Например, в нашей аудитории, так как везде есть свет, а это электромагнитные волны, в которых связаны переменные во времени и вихревые электрическое и магнитное поля (см. Глава V).

4) Роль вещества, отметим снова, второстепенная. Запишем уравнение для вакуума. В вакууме тогда и уравнение имеет вид:

(1.27)

но в среде , тогда уравнение примет вид:

(1.28)

Для ферромагнетиков , следовательно ферромагнитные материалы усиливают явление. Это широко применяется в технике.

Вообще значение открытия Фарадеем явления электромагнитной индукции и выяснения Максвеллом сущности явления для современное цивилизации огромно и его трудно переоценить!